高二物理竞赛薛定谔方程课件

寻找波函数满足的动力学方程

(x,t

)薛定谔方程一.自由粒子薛定谔方程E

(

x

,

t

)

(

x,t

)

t

i

－xi

(p x

Et

)一维自由粒子波函数

(

x,

t

)

0

e

微分,得到方程p2

m2xE

＝得一维自由粒子的薛定谔方程(x,

t)

22i

t

(x,

t)

2m

x2

tE

i

xpx

ix

(

x

,t

)

i

p

(

x

,

t

)

x 能量算符动量算符

2

(x,

t)x2

U

(x,

t)

(x,

t)2i

t

(x,

t)

2m推广到势场U(x,t)中的粒子三维情况：222m

i

(r,t)

t

(r,t)

U

(r

,t)

(r,t)

pU2

m2xE

＝薛定谔方程为：222 2x y k

z2

x

y2

z22E

U

(r

)2m2---能量算符---

E

i

tp

i(i

j

)

i

---动量算符---拉普拉斯算符22i

t

2m

U(r

)2f

(t)

dt

i

df

(t)

12

(r)

[

2m

(r

)

U

(r

)(r

)]

E

const设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能

U

(r

)

中不显含时间t，将其代入方程：波函数分离变量：

(r,t)

(r)f(t

)二、定态薛定谔方程能量不随时间变化的状态称为定态。dtdf

(t)

Ef

(t)i

i

Etf(t)

Ce解出：22m[

U

(r

)](r

)

E(r

)

2E为能量

i

Et

(r,

t)

(r)e2Et

(r)

2

(r,t)

2

(r)e

i----

定态薛定谔方程2f

(t)

dt

i

df

(t)

12

(r)

[

2m

(r

)

U

(r

)(r

)]

E

const与时间无关的薛定谔方程---能量本征值方程22m[

U

(r

)](r

)

E(r

)

2----

定态薛定谔方程22mH

U

(r

)2H

E量子力学哈密顿算符：(r

)

能量算符本征函数E能量算符本征值经典力学哈密顿函数：以动量和坐标表示的能量式子p22mH

U

(r

)1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量2．定态中粒子的几率密度不随时间变化3.自然条件：单值、有限和连续22m[

U

(r

)](r

)

E(r

)

2

i

Et

(r,t)

(r)e定态波函数:----

定态薛定谔方程2Et

(r)

2

(r,t)

2

(r)e

i几率密度:在量子力学中，力学量都是用算符表示的，要求某个力学量的量子力学可能取值，只要列出该力学量的本征值方程，求解本征值与本征函数即可。1933年诺贝尔物理学奖授予埃尔文·薛定谔（ErwinSchrödinger）和保罗·阿德里安·莫里斯·狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac），“因为发现了原子理论的新的生产形式”。埃尔文·薛定谔狄拉克解：由于粒子做一维运动，所以有

2

d

2dx2由于势能

U(x)

中不显含时间，i

Et

(x,t)

(x)e 方程的完整解为U

(x) (x)

E(x)一维定态薛定谔方程为

2 d2(x)

2m dx20xU(x)=0a故用定态薛定谔方程求解。2

a

b

0y

ay

by

0二阶常系数齐次线性方程的解特征根的情况通解的表达式实根

r1

r2实根

r1

r2复根

r1,2

iy

C1er1

x

C2er2

xy

(C1

C2

x)er1

xy

ex(C1cosx

C

2sinx)1．方程的通解x

0,x

a U

x

0,x

a(1)所以波函数为零，即

(x)

0粒子不可能跑到阱外去，0

x

a

Ed

22m dx22(2)时，U

0

，方程为

2 2dx d

2

2mE22mEdx2d

2

K2

0令K

二阶齐次微分方程，它的通解为

(x)

Asin

Kx

B

cos

Kx

式中A、B为两常数。U

(x)

(x)

E(x)

d (x)

2 22m dx20xU(x)=0a2．常数的确定及能量量子化根据波函数的标准条件，波函数应连续，x

0(0)

Bcos0

0x

a

(a)

A

sin

Ka

0A

0sinKa

0Ka

n

n

1,2,3(

n

0

？)a

(x)

Asin

n

x当n

0

时，

(x)

0表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。

B

00

(

x)

A

sin

Kx

B

cos

KxK2

2mE2