高二物理竞赛一维双原子链的振动课件

§1、一维双原子链的振动考虑由P

、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链一、

运动方程及其解a

M

m{

mn&&n

b

mn

mn

1

2n

n

(设M

>

m)m

Aei

w

t

naq

M

m&&n

b

n

n

n

n

1

2m

n

{

n

Bei

w

t

n

aq

nnnnn-1

mn

nn

mn+1只考虑近邻原子间的弹性相互作用运动方程：试

解

：代入方程:

{2

b

Mw2

2

b

cos

aq

久期方程：

2

b

cos

aq

2

b

mw

2

0w

M

m

＝

1

2对于不在简约区中的波数q’

，一定可在简约区中找到唯一一个q

，使之满足：+

-两个色散关系即有两支格波：（w＋

：光学波；

w－

：声学波）简约区：

q

q

q

l

GlGl为倒格矢-

/a

0q

/a

二、

光学波和声学波的物理图象第n个原胞中P

、Q两种原子的位移之比

mn

A

i

aq

2

b

cos

aq

e

n

n

B

e

2

b

Mw

R

eiq

2iiaqaqiR±

:大于零的实数，

反映原胞中P

、Q两种原子的振幅比，

q±

:

两原子的振动位相差。

mn

2m

cos

aq

e

R

eiq

iiaqaqi

nn

M

m

M2

m2

2Mm

cos

aq

1

e

piip

q

aq

p

cos

aq

01.

光学波（optical

branch）p

pa

aQ

q

22物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，

即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动。当q®0时，q＋®p，原胞中两种原子振动位相完全相反。

m

m

n

n

n

q

0

M离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。

q

q＋在Ⅱ

、Ⅲ象限之间，

属于反位相型。p

3p对于单声子过程（一级近似），

电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。光波：

w＝c0q

，

c0为光速对于实际晶体，

w＋(0)在1013

~

1014Hz，对应于远红外光范围。

离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在w

»

w＋(0)附近的强烈吸收。w(q)w+(0)w=c0qw+q02.

声学波（acoustic

branch）

mn

2m

cos

aq

e

nn

M

m

M2

m2

2Mmcosaq

2m

cos

aq

ei

aq

R

eiq

M

m

q

1

aq

即：

p

qp

2

2

2q－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型iiaqaqi物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。当q®0时，q0,

原胞内两种原子的振动位相完全相同。q®0时

w2

1

1

w2

aq

2

aq

2

在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶格振动称为声学波或声学支。

w

a

q

q这与连续介质的弹性波

w＝vq

一致。

m

n

1

n

n

q

01

2

b

2

M

m当q®0时

q

p

0

p

a

aw

0

2b

w

002

b

w＋m1M1

p

p

w

a

w

a

2

bM2

bm2

b

m2b

Mq

0w(q)pa

w－q三、周期性边界条件周期性边界条件：

mN

n

mn

e

iNaq

1

q

h

h

=整数，

N：晶体链的原胞数Na

L2p

2p{

a体

的

的原胞数推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系式（s支格波），

其中：1支声学波,

（s-1）支光学波。晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度数。2p2p数体度晶由＝自N晶

动中振区格约晶简q的分布密度：

r

q

const.在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U0＝0）：U

l,a

l,b

Cab

l,lma

lmb

la,

b1,2,3l,

l0,1,2,

,

N1ma(l)和mb(l’)分别是第l和第l’个原子沿a和b方向的位移。

Cab

l,

l

Cba

l

,

l

力常数00

第l个原子的运动方程：mm&&a

l