北师大版高中数学选择性必修第二册第二章测试题含答案解析

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北师大版高中数学选择性必修第二册第二章测试题含答案解析第二章导数及其应用一、单选题1．已知函数，则（

）A． B．0 C． D．12．一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（

）A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．33．函数的极大值为（

）A． B． C． D．4．已知曲线在处的切线为，点到切线的距离为为（

）A．1 B． C．2 D．5．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（

）A．B．C． D．7．已知函数，若，，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数恰有两个极值点，，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间有（

）A． B．(0，1) C．(2，＋∞) D．10．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是(

)A． B．C． D．11．下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（

）A．曲线 B．曲线C．曲线 D．曲线12．已知函数，则（

）A．函数（x）的图象关于直线对称B．函数（x）在区间（0，π）上单调递减C．函数在区间（0，π）上恒成立D．三、填空题13．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.14．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______．15．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))(n∈N)处的切线ln＋1，记ln＋1与x轴交点的横坐标为xn＋1，并称xn＋1为r的n＋1次近似值．设f(x)＝x3＋x－1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为________．16．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.四、解答题17．求下列函数的导数．(1)；(2)．18．已知函数.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.19．已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝处有极大值.(1)求a、b的值；(2)求f（x）在[0，2]上的值域.20．已知函数.(1)若与在处有相同的切线，求实数的取值；(2)若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.21．已知函数在时有极值0.(1)求函数的解析式；(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.22．已知，两地的距离是.根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：）应满足.假设油价是7元/，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元.(1)求的值；(2)如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？答案第=page5858页，共=sectionpages5252页参考答案：1．B【解析】【分析】先求导，再代入求值.【详解】，所以.故选：B2．B【解析】【分析】由平均速度的定义求解即可【详解】，故选：B3．C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得到极大值.【详解】由题意得.由，得；由，得或.则在和上单调递减，在上单调递增，故极大值.故选：C4．B【解析】【分析】先利用导数求得切线方程，然后利用点到直线的距离公式求得.【详解】，所以切线的斜率为，切点为所以切线方程为，所以.故选：B5．D【解析】【分析】求得，根据在区间上存在最小值，得到且，，设，根据且，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得，且在区间上存在最小值，即在区间上存在，使得且，，设，即满足，且，可得，解得，即实数的取值范围是.故选：D.6．D【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性即可得出结果.【详解】当时，，函数的定义域为，则，令，得；令，得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增.故选：D.7．B【解析】【分析】分析导数的单调性，利用中间值法可得出，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】因为，所以，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，又，，即，所以，故选：B.8．D【解析】【分析】根据题意，对函数求导数，得出导数有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出的取值范围．【详解】解：函数，，由于函数的两个极值点为，，即，是方程的两不等实根，即方程，且，；设，，因为恒过定点，设函数上点的切线恰过点，因为，则，即，解得，即，切线的斜率，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得，所以的取值范围是．故选：D．9．AC【解析】【分析】利用导数求得的单调递增区间.【详解】的定义域为，，所以在区间递增.故选：AC10．BC【解析】【分析】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于，从而得到正确选项．【详解】A．由，得，所以，因为，所以当时，，这与在定义域中小于不符，故A错误；B．由，得，所以，因为，所以在上恒成立，故B正确；C．由，得，所以，因为，所以恒成立，故C正确；D．由，得，所以，因为时，，，所以恒成立，与在定义域中小于不符，故D错误．故选：BC．11．BC【解析】【分析】利用导数的几何意义进行逐一判断即可.【详解】若，则，当时，，故选项A不符合题意；若，则，当时，，故选项B符合题意；若，则，当时，，故选项C符合题意；若，则，当时，，故选项D不符合题意，故选：BC12．BC【解析】【分析】验证可判断A；求导分析导函数正负，可判断B；令，求导分析单调性，可得，分析可判断C；由可判断D【详解】选项A，，故函数（x）的图象不关于直线对称，错误；选项B，令故在单调递减，故即，故在（0，π）上单调递减，正确；选项C，，故令故在单调递减，故即，正确；选项D，由选项C，可得，故，错误故选：BC13．【解析】【分析】由题意可得在R上单调递增，再由，利用函数的单调性转化为关于的不等式求解．【详解】定义在R上的函数的导函数，在R上单调递增，由，得，即．实数的取值范围为．故答案为：．14．【解析】【分析】由题可得，分，讨论，即得.【详解】由可得，当时，，在上单调递增，不满足题意；当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，要使得函数在区间上不单调，则，解得．故答案为：.15．##【解析】【分析】利用导数的几何意义根据r的2次近似值的定义求解即可【详解】由，得，取，，所以过点作曲线的切线的斜率为1，所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为1，即，因为，所以过点作曲线的切线的斜率为4，所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为，即，故答案为：16．【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，因为，所以为上的增函数，由得，则，因为，所以．令，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，所以，即，所以实数的取值范围为.故答案为：17．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）导数四则运算中的乘除法则.（2）求导数，主要考查复合函数，外导乘内导.(1)(2).18．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.(1)解：求导可得①时，令可得，由于知；令，得∴函数在上单调递减，在上单调递增；②时，令可得；令，得或，由于知或；∴函数在上单调递减，在上单调递增；③时，，函数在上单调递增；④时，令可得；令，得或，由于知或∴函数在上单调递减，在上单调递增；(2)由（1）时，，（不符合，舍去）当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可∴.综上，.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）由于在点处有极小值，所以，从而可求出、的值；（2）由（1）可得，得在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而可求出其值域.(1)因为函数在处有极大值，所以，①且②联立①②得：；(2)由（1）得，所以，由得；由得，所以，函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增；又，所以在上的值域为.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.(1)设公切线与的图像切于点，在处的切线为，由题意得：；(2)当时，，①，①式可化为为，令令，，在上单调递增，在上单调递减.，当时，由题意知：21．(1)(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.(1)由可得，因为在时有极值0，所以，即，解得或，当时，，函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.所以常数a，b的值分别为.所以.(2)由（1）可知，，令，解得，当或时，当时，，的递增区间是和，单调递减区间为，当有极大值，当有极小值，要使函数有三个零点，则须满足，解得.22．(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，待定系数即可；（2）根据题意求得以行驶所用时间，构造费用关于的函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得结果.(1)因为汽车以的速度行驶时，汽车的耗油率为，又当时，，解得.(2)若汽车的行驶速度为，则从地到地所需用时，则这次行车的总费用，则，令，解得，则当，，单调递减，即.故时，该次行车总费用最低.第二章导数及其应用（时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数的求导正确的是（

）A． B．C． D．【解析】由基本初等函数求导公式与运算法则知：，，，故A，C，D错误，B正确故选：B2．函数的极小值点是（

）A．2 B．（2，） C．-2 D．（-2，）【解析】由题意得：令，则当时，函数单调递增当时，函数单调递减当时，函数单调递增故时，取得极小值故选：A3．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【解析】函数的定义域是，，令，解得，所以函数在上单调递减．故选：D．4．函数，则等于(

)A．1 B．2 C．3 D．－4【解析】，，，，，，故选：D.5．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B．C． D．【解析】，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.故选：C6．如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（

）A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增【解析】由导数图象知，在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，A错误；在区间上大于0，在上小于0，函数f（x）先增后减，B错误；在区间上大于0，函数f（x）单调递增，C正确；在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，D错误.故选：C.7．已知函数，则（

）A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点【解析】的定义域为，，所以在区间递增；在区间递减.所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点.故选：A8．若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【解析】，所以.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，是可导函数，直线l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则(

)A． B． C． D．【解析】由图可知，f(3)＝1，故A正确；(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；，则，故C正确；，，故D正确.故选：ACD.10．对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中不具有性质的有（

）A． B．C． D．【解析】函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．对于A，，当时，只有唯一的解，故函数不具有性质；对于B，只有唯一的解，故函数不具有性质；对于C，是周期函数，对于任意的，有无数个解，故函数具有性质；对于D，在上单调递减，当时，不存在两个解，故函数不具有性质．故选：ABD11．函数在区间上（

）A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．函数存在唯一的零点 D．函数存在唯一的极值点【解析】因为，，所以，令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值即最小值，所以，即函数有最小值，无最大值，存在唯一的极值点，又，所以，所以恒成立，故函数在上不存在零点；故选：BD12．已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递增，故，可得，解得，故可取2，3.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．函数的定义域为R，，若对任意的，都有成立，则不等式的解集为___________.【解析】任意的，都有，即要解，设，则，在上单调递减，又而，即，即原不等式的解集为；故答案为：．14．若函数在上单调递增，则的取值范围是______．【解析】，在上单调递增，在上恒成立；令，则；①当时，，在上单调递增，，解得：，；②当时，令，解得：，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，又，解得：；综上所述：的取值范围为.15．已知是的极值点，则______．【解析】由题可得，由于是的极值点，则，故，经检验适合题意．故答案为：1.16．已知函数在上恰有一个极值，则___________.【解析】因为，所以.因为在上恰有一个极值，所以在上恰有一个变号零点，即函数上恰有一个变号零点.令，则.当时，；当时，.故在，上单调递减，在上单调递增.因为，，，所以的大致图象如图所示，因为函数在恰有一个变号零点，所以，此时函数在上恰有一个极值.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数．(1)当时，求的单调区间及极值；(2)当时，若有极小值，求实数a的取值范围．【解析】(1)当时，，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；故f(x)的单调减区间为，单调增区间为，f(x)的极小值为，无极大值；(2)有极小值在x＞0时有左负右正的变号零点﹒，令，则，令，解得．、、的变化情况如下表：0减极小值增①若，即，则，∴不存在变号零点，不合题意．②若，即时，(a)，(1)．∴，使得；当时，，，f(x)单调递减，当，时，，，f(x)单调递增，∴f(x)有极小值f().综上，．18．已知函数（为自然对数的底数）．(1)当时，求的极值；(2)若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围．【解析】(1)当时，，令，则，又因为的定义域为，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，，无极大值.(2)∵，在区间上有三个不同的极值点，所以在区间上有三个不同的穿过轴的根，又因为故只需在区间上有两个不同根，且均不为1，即，令，记，则，由，得，所以h(x)在区间上单调递减，在区间（1，2）上单调递增，所以，又，，所以.故.19．已知函数在时取得极值．(1)求在处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值.【解析】(1)，所以，，解得，，，当时，当或时，所以在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，符合题意，又，，即切点为，切线的斜率，在处的切线方程为；(2)因为，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，

、，20．若.(1)当，时，讨论函数的单调性；(2)若，且有两个极值点，，证明：.【解析】(1)因为当，时，，令，解得或2，当时，若或时，若时，即在，上单调递增，在上单调递减，当时，，故在上单调递增，当时，若或时，若时，即在，上单调递增，在上单调递减；(2)当时，，由函数有两个极值点，即有两个正根，，则且，解得，由题意得：，令，，则，即在上单调递减，所以，即.21．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】(1)由，得当时，，则在上单调递增当时，由，得；由，得，则在上单调递增，在上单调递减(2)由恒成立得对任意恒成立令，则令，易知在上单调递增，，存在，使得当时，，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，令，显然在单调递增，，即，，故的取值范围是.22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数的定义域为，．函数的单调递增区间为；单减区间为．(2)要使函数有两个零点，即有两个实根，即有两个实根．即．整理为，设函数，则上式为，因为恒成立，所以单调递增，所以．所以只需使有两个根，设．由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，故函数在处取得极大值，．当时，；当时，，要想有两个根，只需，解得：．所以a的取值范围是．第二章导数及其应用（时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的单调递减区间为A． B． C． D．【解析】函数，，，令，得，因此，函数的单调递减区间是．故选：．2．若函数在，上为单调减函数，则的取值范围A．， B．， C．， D．，【解析】因为函数在，上为单调减函数，所以在，上恒成立，所以，即，解得，即的取值范围是，．故选：．3．设函数有两个零点，则实数的取值范围为A． B．， C． D．【解析】，①当时，在上单调递减，上单调递增，所以在处取得最小值（1），因为，时，，所以（1），故，②当时，在上单调递减，，上单调递增，所以在处取得最大值（a），不符合题意；③当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；④当时，在上单调递减，，上单调递增，为函数的极值点（1），故函数最多一个零点，不符合题意；，综上，．故选：．4．已知定义在上的函数的导函数是，若对任意成立，（1）．则不等式的解集是A． B．，， C． D．【解析】由，时，得，时，得，令，则，故在递增，又（1），（1），故时，（1），时，（1），解得：，故选：．5．已知，，，则以下不等式正确的是A． B． C． D．【解析】令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以（2）（e），（e）（5），因为（2）（5），所以（2）（5），即（e）（2）（5），所以．故选：．6．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】由函数的图象可知，在区间，上单调递减，在区间上单调递增，即当，，时，；当时，；因为，所以或，所以或，则不等式的解集为，，，故选：．7．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围为A． B． C．，， D．，，【解析】在区间有零点并且两侧的导函数符号相反，．（1）（2），，解得．取值范围为．故选：．8．已知函数，若恒成立，则的取值范围为A．， B． C． D．，【解析】函数，恒成立，，．，时，；时，．可得函数在上单调递减，在上单调递增．时，函数取得极小值即最小值，（1）．．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设函数，，则下列说法正确的有A．不等式的解集为 B．函数在单调递增，在单调递减 C．当时，总有恒成立 D．若函数有两个极值点，则实数【解析】函数，可得，则，，对于，即，，即，故正确；对于，，当时，，递增，故错误；对于，当，时，若，则，即，即，令，则，，当，时，，则递增，（1），则，递减，，故，，故正确；对于，若函数有2个极值点，则有2个零点，即，即，令，则，在递增，在递减，（1），即，，故正确．故选：．10．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点【解析】由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数，即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以、正确；极大值是函数的最大值时，函数能取得最大值；所以不正确；函数可能没有零点，所以正确．故选：．11．已知函数，则A．的极大值为 B．的极大值为 C．曲线在，处的切线方程为 D．曲线在，处的切线方程为【解析】，．由，得或，当，，时，，当时，，的单调增区间为，，单调减区间为，故的极大值为，故错误，正确；，，曲线在，处的切线方程为，故错误，正确．故选：．12．已知，下列说法正确的是A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为 C．的极小值为 D．方程有两个不同的解【解析】，，（1），（1），的图像在点处的切线方程为，即，故选项正确，当时，，单调递增，当时，，单调递减，即的极大值也是最大值为（e），故选项正确，选项错误，方程有两个不同的解，即为，函数与图像交点的个数，函数在单调递增，且当趋近于正0时，趋近于，且单调递减，函数与图像交点的个数为1个，故选项错误．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是．【解析】函数在内单调递增，在内恒成立，即在内恒成立，在内恒成立，令，，，则有在，内恒成立，①，时，问题转化为在，上恒成立，而，当且仅当时“”成立，故，②时，显然恒成立，③，时，问题转化为在，上恒成立，而，当且仅当时“”成立，故，故答案为：，．14．已知函数（1），则（2）．【解析】（1），（1）（1），（1），，（2）．故答案为：2．15．若在，上是减函数，则实数的取值范围是．【解析】因为在，上是减函数，所以，恒成立，即，恒成立，令，，，其对称轴方程为，则时，取得最小值，所以．故答案为：，．16．已知函数有三个零点，则正实数的取值范围为．【解析】函数，．令，得或．当时，在或上单调递增，在上单调递减．当时，的极大值为（1）．当时，函数的极小值为：（a）．函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，可得，解得．当时，在或上单调递减，在上单调递增．当时，的极小值为（1）．当时，函数的极大值为：（a）．函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，可得，解得．故实数的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）求的单调区间．【解析】（1）当时，，切点为，则，，在处的切线方程为．（2），，当时，，函数在上单调递增；当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为18．已知函数在时有极值0．（1）求函数的解析式；（2）记，