2016陕西省聚焦中考数学 专题聚焦课件：专题一 最值问题

专题一最值问题美国著名数学家哈尔莫斯曾经说过：“数学的真正部分是问题的解”．毋庸置疑，学习数学就意味着解题．解题，联想是基础，转化是手段，问题解决是目的．如果说：解题它是表达一个命题从题设到结论的演变过程，那么联想与转化它可以迅速沟通这一演变过程的作用．联想是基础，转化是手段，灵活应用是关键，问题解决是目的，把握好这一解题策略，对于我们学习数学，提高解题质量，提高学习成绩，可以起到事半功倍的作用．在近几年的中考数学试题中，有一个流传广泛的数学问题，它就是“将军饮马问题”，它的知识模型就是：

“已知直线，在直线的同侧有两点A，B，请你在直线上找一点P，使得AP＋BP之和最小”．解决这个问题的基本方法是：(1)利用轴对称作直线的对称点；(2)利用两点之间线段最短即可.它的几何模型如右图所示：

简易最值问题

【例1】如图中过A点最短的一条线段是(

)A．AB

B．ACC．AD

D．AE【例2】

从直线外一点，分别向已知直线画垂直线段和斜线，其中___________最短．【点评】解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短．C垂线段[对应训练]1．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在(

)A．A点B．B点C．C点D．D点A2．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点的距离_______4.6米．(填“大于”“小于”或“等于”)大于用于正方形

【例3】正方形ABCD的边长是8，P是CD上的一点，且PD的长为2，M是其对角线AC上的一个动点，则DM＋MP的最小值是____．【点评】本题考查了轴对称－最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点M的位置是解题关键．10[对应训练]1．在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，

D是BC边的中点，E是AB上的一个动点，则EC＋ED的最小值是________.用于矩形

【例4】如图，在矩形ABCD中，BC＝10，CD＝5.若点M，N分别是线段BD，BC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为____．8【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．[对应训练]1．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，AB＝6，AD＝8，则PA＋PC的最小值为____．

102．如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝12cm，P是AB上的动点，Q是AD上的动点．P以1cm/s的速度从B到A，Q以2cm/s的速度从A到D，P到A(或Q到D)时停止运动．求PQ＋QC最小值．用于菱形

【例5】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为AC上的一个动点，则EF＋BF的最小值是____．【点评】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF＋BF成为最小值．[对应训练]1．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，E是AD的中点，P是BD上的任意一点，当AP＋PE的值最小时，求PC的长．用于特殊三角形

【例6】在△ABC中，∠BAC＝30°，在AC，AB边上各取一点M，N，AB＝2，则BM＋MN的最小值是____．【点评】本题考查的是线路最短问题及对称的性质，根据题意画出图形利用数形结合是解答此题的关键．9.8用于圆

【例7】如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P为直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值____．2【点评】本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．[对应训练]1．如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径为2，则PA＋PB的最小值是_____．

5用于平面直角坐标系

【例9】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(－2，2)，且一次函数图象与y轴交于点Q(0，4)．(1)求这两个函数的解析式；(2)在同一坐标系中，分别画出这两个函数的图象；(3)在x轴上找点E，使得PE＋QE的值最小，并求出其最小值和点E的坐标．【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．[对应训练]1．在平面直角坐标系中，设P(－1，1)，Q(2，3)，x轴上有一点R，则PR＋RQ的最小值为____．52．(2016·创新题)若一次函数y＝kx＋b的图象与x，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，6)．(1)求该一次函数的解析式；(2)O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C，D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值．用于二次函数

【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式、抛物线的性质、勾股定理的逆定理以及轴对称——最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法．2．(2015·新疆)如图，直线y＝－3x＋3与x轴、