第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算抓基础明考向提能力教你一招我来演练

[备考方向要明了]考

什

么1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线

的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.怎

么

考1.平面向量的线性运算是考查重点．2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.名称定义向量既有

又有

的量叫做向量，向量的大小叫做向量的

(或称

)．零向量

的向量叫做零向量，其方向是

的，零向量记作

.单位向量长度等于

个单位的向量．大小方向长度模长度为零任意1．向量的有关概念10名称定义平行向量方向相同或

的

向量，平行向量又叫

向量．规定：

与任一向量

．相等向量长度

且方向

的向量．相反向量长度

且方向

的向量.相反非零共线平行相等相等相同相反02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算

法则

法则(1)交换律：a＋b＝

.(2)结合律：(a＋b)＋c＝

.b＋aa＋(b＋c)三角形平行四边形向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

法则三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数与向量a的积的运算(1)|λa|＝

；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

.λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝

.|λ||a|相同(λμ)aλa＋μaλa＋λb0相反3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

.b＝λa1．下列给出的命题正确的是 (

)A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量答案：

D2．如右图所示，向量a－b等于(

)A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2答案：

C答案：

B5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，

也可能有无数个．(2)应用共线向量定理时注意待定系数法和方程思想的运用．(3)利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意

强调平面中这些元素的位置关系．③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为 (

)A．1

B．2C．3 D．4[答案]

C[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(

)A．0 B．1C．2 D．3答案：

D解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.[精析考题][答案]

D答案：C答案：C[冲关锦囊](1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．[例3]

(2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 (

)A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向[自主解答]∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴k＝λ＝－1.[答案]

D[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·东城模拟)对于非零向量a与b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：

A[冲关锦囊](1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一