新教材人教A版高中数学必修第一册期末复习课件

第一章集合与常用逻辑用语章末总结教学目标及核心素养教学目标1.能够掌握集合的概念、元素与集合间的关系、集合与集合间的关系、集合的基本运算.；2.熟练地掌握集合的Venn图表示法和数轴表示法,培养数形结合思想；3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明；4.掌握全称命题与特称命题真假性的判定且能正确地对含有一个量词的命题进行否定．核心素养a.数学抽象：集合的概念、元素与集合间的关系、集合与集合间的关系、命题间的关系的判断；b.逻辑推理：判断集合间的关系、两个命题满足什么条件；c.数学运算：求集合的交集、并集、补集；d.直观想象：通过数形结合在数轴上画出相应的集合区间；e.数学建模：转化思想的应用：将集合间的关系、命题间的关系转化为数据，再求相关问题.专题一集合的表示【例1】

设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(

)A.1 B.3 C.5 D.9分析:正确理解集合B中x,y的取值,结合集合中元素的特征写出集合B.主题串讲

方法提炼·总结升华

解析:因为A={0,1,2},又集合B中元素为x-y,且x∈A,y∈A,所以x的可能取值为0,1,2,y的可能取值为0,1,2.当x=0时,y=0或1或2,此时对应的x-y的值为0,-1,-2;当x=1时,y=0或1或2,此时对应的x-y的值为1,0,-1;当x=2时,y=0或1或2,此时对应的x-y的值为2,1,0.综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B中元素的个数为5.答案:C解题技巧：1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共同特征是解题的关键.3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重复.【跟踪训练1】

设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x-4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素的个数为(

)A.3 B.4 C.5 D.6解析:由已知可得A={1,2,3},B={4,5},则a的取值可能为1,2,3,b的取值可能为4,5.故a+b的值可能为5,6,7,8,即集合M中有4个元素.答案:B专题二集合间的基本关系【例2】

已知集合A={x|0≤x<4},B={x|x<a},若A⫋B,求实数a的取值集合.分析:将集合A在数轴上表示出来,再将B在数轴上表示出来,使得A⫋B,即可求出a的取值范围.解:将集合A表示在数轴上(如图),要满足A⫋B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,所以所求a的取值集合为{a|a≥4}.解题技巧：1.利用集合的基本关系求参数的问题,借助数轴分析时,要验证参数能否取到端点值.2.要注意空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【变式训练2】

已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若N⊆M,则实数a的值为

.

解析:当N=⌀,即a=0时,符合题意;当N≠⌀时,a≠0,综上,实数a的值为0或1或-1.答案:0或1或-1专题三集合的基本运算(1)当a=-1时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.分析:(1)先将a=-1代入集合B,再借助数轴求解;(2)先将(∁RA)∩B=B转化为B⊆∁RA,再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.解:(1)当a=-1时,B={x|-2<x<1},∵(∁RA)∩B=B,∴B⊆∁RA.当B=⌀时,2a≥a+2,解得a≥2;解题技巧：1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.2.若所给集合是无限集,则常借助数轴,首先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意边界问题.【跟踪训练3】

设全集U=R,集合A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2}.求:(1)∁U(A∪B);(2)记∁U(A∪B)=D,C={x|2a-3≤x≤-a},且C∩D=C,求a的取值范围.解:(1)由A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2},可知A∪B={x|x≤2或x≥5}.又全集U=R,故∁U(A∪B)={x|2<x<5}.(2)由(1)得D={x|2<x<5}.由C∩D=C,得C⊆D.①当C=⌀时,有-a<2a-3,解得a>1;综上可知a的取值范围为a>1.

专题四充分条件、必要条件的判断及应用解析：要使不等式x2－2ax＋a>0的解集为R，应有Δ＝(－2a)2－4a<0，即4a2－4a<0，所以0<a<1，此即为“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的充要条件，因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.答案：C(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：的充要条件是xy>0.解题技巧：专题五全称量词命题与存在量词命题的否定【例5】写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)有些质数是奇数;(2)菱形的对角线互相垂直;(4)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.解析:(1)“有些质数是奇数”是特称命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,它是假命题.(2)“菱形的对角线互相垂直”是全称命题,其否定为“有的菱形的对角线不垂直”,它是假命题.(4)“不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根”是全称命题,其否定为“存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根”,它是真命题.解题技巧：(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论.(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.第二章一元二次函数、方程和不等式章末复习课第三章函数的概念与性质章末总结教学目标及核心素养教学目标1.掌握函数的概念；2.了解分段函数，会画分段函数的图像；3.理解函数性质并且熟练运用；4.能用函数与方程的思想解决实际问题．核心素养a.数学抽象：函数的概念；b.逻辑推理：函数性质的由来；c.数学运算：求定义域、值域、函数解析式等；d.直观想象：抽象函数解不等式；e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题.专题一函数概念主题串讲

方法提炼·总结升华

【跟踪训练1】题型二分段函数解题技巧1.求分段函数的函数值的方法（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间.（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现的形式时，应从内到外依次求值.2.求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验.3.作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.【跟踪训练2】专题三

函数的性质应用(2)若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则(

)解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),答案:D解题技巧

应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.【跟踪训练3】题型四幂函数【例4】

（1）函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.（2）

已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为

(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.解题技巧

1.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.（1）如果幂函数y=(m2-3m+3)

的图象不过原点,求实数m的取值.

解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.【跟踪训练4】（2）如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0

D.m>n>0解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.答案:A题型五函数模型的应用【例5】

某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解:①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9

600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9

600=-3(x-60)2+1

200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1

125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1

125元.解题技巧

1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?【跟踪训练5】解:由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.第四章指数函数与对数函数章末总结教学目标及核心素养教学目标1.了解指数函数、对数函数的定义；2.掌握指数函数、对数函数的图像及其性质，并会运用；3.会求函数的零点；4.能用函数与方程的思想解决实际问题．核心素养a.数学抽象：指数函数、对数函数的概念；b.逻辑推理：借助图像求函数零点；c.数学运算：指数、对数的有关运算；d.直观想象：函数图象；e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题.f.数据分析：指数函数、对数函数的图像和性质应用.专题一指数、对数的有关运算问题主题串讲

方法提炼·总结升华

解题技巧

进行指数式的运算时,要注意运算或化简的先后顺序,一般应将负指数转化为正指数、将根式转化为指数式后再计算或化简,同时注意幂的运算性质的应用;对数运算要注意对数运算性质的正用与逆用,注意对底数的转化、对数恒等式以及换底公式的灵活运用,还要注意对数运算与指数运算之间的关系及其合理地转化.【跟踪训练一】题型二指数函数、对数函数的定义和性质又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,0≤x≤3,∴当x=1时,tmin=1;当x=3时,tmax=5.故1≤t≤5,A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c答案:A例2(4)已知不等式2x+3-2m>0在区间[0,+∞)内恒成立,求实数m的取值范围.解:原不等式可变形为2m-3<2x,要使此不等式在区间[0,+∞)内恒成立,只需2m-3小于y=2x在区间[0,+∞)内的最小值.当x∈[0,+∞)时,由y=2x的单调性可知y=2x在区间[0,+∞)内的最小值是20=1,所以有2m-3<1,解得m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).解题技巧1.求定义域注意事项（1）分母不等于零；（2）偶次方根大于等于零；（3）对数函数中真数大于零.2.一般采用换元法转化为两个函数，再利用两个函数的单调性与图像求值域，换元后注意新元范围.3.分别判断a,b,c与0和1的大小,利用中间量法比较大小.4.恒成立问题，采用分离参数，转化为求最值问题.【跟踪训练2】解析:（1）要使函数有意义,则需6x-36≥0,即6x≥62.又函数y=6x在R上是增函数,则x≥2.（2）要使函数有意义,则需1-log3x≥0,即log3x≤1=log33.又函数y=log3x在区间(0,+∞)内是增函数,则x≤3.又x>0,则0<x≤3.答案:（1）[2,+∞)；（2）(0,3].2.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围为(

)A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案:A3.已知a=log2e,b=ln2,c=,则a,b,c的大小关系为(

)A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b解析:因为c==log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因为y=ln

x在(0,+∞)上单调递增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.答案:D专题三

指数函数、对数函数图象的应用例3（1）已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是(

)解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左侧,可排除A,D选项.当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)应为减函数,可知B项正确;而对C项,由y=ax的图象知y=ax为减函数,则0<a<1,y=loga(-x)为增函数,与C项中y=loga(-x)的图象不符.答案:B例3（2）若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是

.

解析:当a>1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象,解题技巧

指数函数、对数函数图象的应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,此类题目往往是选择题,常借助于指数函数、对数函数的图象特征来解决;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.这就要求画指数函数、对数函数的图象时尽量准确,特别是一些关键点要正确,比如,指数函数的图象必过点(0,1),对数函数的图象必过点(1,0).【跟踪训练三】答案:D答案:B题型四函数的零点与方程的根例4设方程lgx+x=3的实数解为x0,则x0所在的一个区间是(

)A.(3,+∞) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)解析:由lg

x+x=3得lg

x=3-x.分别画出方程lg

x=3-x两边对应的函数图象,如图所示.由图知它们的交点x0在区间(2,3)内.答案:B解题技巧

【跟踪训练四】1.设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一个零点,求实数a的取值范围.解:因为函数f(x)在-1≤x≤1上存在一个零点,所以f(-1)f(1)≤0,即(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(a+1)(3a+1)≤0.题型五函数模型的应用

例5夏天,大家都喜欢吃西瓜,而西瓜的价格往往与西瓜的质量相关.某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写的是:3千克以下,每千克0.8元;大于等于3千克且小于等于4.5千克时,每千克1元;4.5千克以上,每千克1.2元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说5元1角,1角就不要了,给5元吧,可这位聪明的顾客马上说,你不仅没少要,反而多收了我的钱.当顾客讲出理由后,店主只好承认了错误,照实收了钱.你知道顾客是怎样判断店主算错了吗?解:设这位顾客所购西瓜重x千克,应付款y元,当0<x<3时,0<y<2.4;当3≤x≤4.5时,3≤y≤4.5;当x>4.5时,y>5.4.故所付款不可能是5.1元,所以店主算错了.解题技巧

解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．【跟踪训练五】1.某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,现计划用这两种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L型号的校服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产M型号的校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为y(单位:元).(1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;(2)该厂在生产这批校服时,当M型号的校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?解:(1)生产M型号的校服为x件时,生产L型号的校服为(40-x)件,因此生产两种型号的校服所获利润y=45x+30(40-x),即y=15x+1

200.所以自变量x的取值为15或16.(2)因为y=15x+1

200,y随x的增大而增大,所以当x=16时,y取最大值15×16+1

200=1

440,即工厂安排生产M型号的校