自动控制原理 第五章 线性电路的频域分析法

第五章线性电路的频率响应法

5.1频率特性

5.2典型环节的频率特性

5.3控制系统的开环频率特性

5.4奈奎斯特稳定判据

5.5开环频域指标

5.6闭环频率特性1频率法的思路建立频率特性→作为一种数学模型→以伯德图或其它图表作为分析工具→分析系统的动态和稳态性能→频率指标→利用与时域指标的对应关系→转换成时域指标。

频率法是20世纪30-40年代，由奈奎斯特、伯德和尼柯尔斯等人发展起来的。在常规控制系统中，最有效。在鲁棒控制中，也是不可或缺的。2频率法的特点

使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，广泛应用。

(1)应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究闭环稳定性，而不必解特征方程的根；

(2)用频率法设计系统，可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求，可使噪声忽略或达到规定的程度；

(3)频率法不仅应用于线性系统，还可推广用于某些非线性系统（描述函数法）；

(4)系统的频率特性可用实验方法测出，而不必推导出数学模型；

(5)物理意义明确，频域指标和时域指标有明确（1、2阶系统）或近似的对应关系（高阶系统）。

又一种经典方法5-1

频率特性

例：RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Rsint

时，c(t)的稳态输出为多少？

5.1.1频率特性的基本概念解：RC电路的微分方程为

式中，T=RC。网络的传递函数为：RC

r(t)c(t)同频，变幅，相移我们关注函数：

该函数完整的描述出了网络在sin函数输入下，稳态输出的幅值和相角发生变化的情况，它们皆是频率的函数，称它为频率特性。

不难发现系统的频率特性就是G(j)

，对任何稳定的线性定常系统该结论都是正确的。G(j)是G(s)的特例，是频域下的数学模型。r(t)=Rsint

1

频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入的相量比(对频率的关系特性)，用G(j)

表示。物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力同频，变幅，相移。2幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A()表示。

A()=G(j)3相频特性：稳态输出与输入相位差，用()表示。()=G(j)4

实频特性：G(j)

的实部，用Re[G()]表示。

5

虚频特性：G(j)的虚部，用Im[G

()]表示。5.1.2定义

特点是：把频率看成参变量，当从0时，将幅频特性和相频特性表示在同一个复数平面上(频率特性在复平面上的轨迹)。画RC电路的极坐标图。5.1.3频率特性的几何表示法1.极坐标图（幅相频率特性曲线，简称幅相特性）奈氏曲线=1/T

=

=0ImRe02.伯德图（对数频率特性曲线）包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。横坐标表示频率，按对数分度，单位是rad/s。G(j)10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101

横轴按频率的对数lg标尺刻度，但标出的是频率本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。横轴压缩了高频段，扩展了低频段。

在轴上，对应于频率每一倍变化，称为一倍频程，例如从1到2，2到4，3到6，10到20等的范围都是一倍频程；=1=1023456789

每变化十倍，称为十倍频程(dec)，例如从1到10，2到20，10到100等的范围都是十倍频程；所有的十倍频程在轴上对应的长度都相等。203040

对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是dB（分贝）。

L()=20lgA()

◊可以将幅值的乘除化为加减。L()/dB2020(rad/s)

123456102030100

相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。()=∠G(j)

◊可以采用简便的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。

◊对一些难以建立传递函数的系统或环节，可以采用实验的方法获得频率特性曲线，能方便的进行系统分析。()/(°)90°90°(rad/s)

123456102030100下图是

RC网络G(j)=1/(1+jT)，T=0.5时对应的伯德图。L()/dB0202(1/T)-20dB/dec-90°()/(°)0°-90°()/(°)0°5.2典型环节的频率特性

1比例环节

其传递函数为

G(s)=K

频率特性为

G(j

)=K

（1）极坐标图

A()=K

()=

0

（2）伯德图

L(

)=20lgK

()=

0ImRe0K20lgKL()/dB020()=

0

同传递函数，复杂频率特性也可以看成是一些常见因式（典型环节的频率特性）的乘积，先介绍典型环节频率特性的绘制方法和特点很有必要。（2）伯德图

L()=20lgA()=20lg

()=90ImRe0=0+=（1）极坐标图

()=

9090°()/(°)0°20dB/dec110

2积分环节

频率特性

每变化10倍，L()下降20dB。L()/dB020-203微分环节

频率特性G(j)=j

（1）极坐标图

A()=

()=90

（2）伯德图

L()=20lgA()=20lg

()=90

由于微分环节与积分环节的传递函数互为倒数，L()和

()

仅相差一个符号。因此，伯德图是对称于轴的。ImRe0=0+=90°()/(°)0°L()/dB02010120dB/dec4惯性环节

频率特性为（1）极坐标图

其模角表达式为：ImRe0

=

=012222221)(Im)21)(Re()Re()(Im)(Re

=+-=+wwwwwG(j0)=10G(j1/T)=0.70745

G(j)=090

实部与虚部表达式为：极坐标图为一半圆（2）伯德图对数幅频特性

惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于T=1或

=1/T。频率1/T

称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/TL()〔1〕当

1/T时，L()

20lg1=020dB/dec〔2〕当

1/T时，L()

20lgT每变化10倍的1/T，L()下降20dB。用渐近线近似表示L()，必然存在误差ΔL()ΔL()可按以下公式计算：ΔL()=L()La()式中，L()表示准确值，La()表示近似值，有如图可见，交接频率的地方误差最大，约3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB-0.97-0.04相频特性为：()=arctanT

=0()=0°

=1/T()=45°

()=90°

L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0实际设计系统时，工作点往往都远离转折频率。5一阶微分环节

频率特性G(j)=1+jT

（1）极坐标图（2)伯德图幅频特性相频特性为

()=arctanT

幅频特性为相频特性()=arctanT

ImRe01=0=90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec

与一阶振荡环节以横轴互为镜像。(1)极坐标图幅频特性为相频特性为

6振荡环节频率特性为0ReIm1=0值小值大n绘制极坐标图G(j0)=10G(jn)=1/290G(j)=0180

可以看出：

1）

>0.707，没有峰值，A()单调衰减；

2）

=0.707，Mr=1，r=0，这正是幅频特性曲线的初始点；

3）

<0.707，Mr>1，

r>0，幅频A()出现峰值。而且

越小，峰值Mr及峰值频率r越高；

由图可见，幅频特性的最大值随

减小而增大其值可能大于1。可以求得在系统参数所对应的条件下，在某一频率

=r（谐振频率）处振荡环节的幅值会产生峰值Mr

。在产生峰值处，必有根据上式可以作出两条渐近线。当

<<n时，L()0；当

>>n时，L()20lg2

/n2

=40lg

/n

。4）

=0，峰值Mr趋于无穷，峰值频率r趋于n。峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比

小，这和时域分析法一章所得结论是一致的。（2）伯德图幅频特性每变化10倍的n，L()下降40dB。L()误差计算公式是：

n

40dB/dec

这是一条斜率为40dB/dec直线，和零分贝线交于

=n的地方。故振荡环节的交接频率为n。每变化10倍的n，L()下降40dB。L()20lg2

/n2

=40lg

/n

下图为L(,)

的曲线0.1

0.20.41246810/n201612840-4-8=0.05=0.8相频特性

=0(0)=0

=n(n)=90

()=180

由于系统阻尼比取值不同，(

)在

=n邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2ImRe0=01=7二阶微分环节其频率特性为

由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。极坐标图为：

由于(

)随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性。ImRe0大()/(°)0°L()/dB0小=0

8延迟环节

其频率特性为：G(j)=ejτ

幅值为：A()=ejτ

=1

相角为：()=

(rad)=57.3()

由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。5.3控制系统的开环频率特性

利用典型环节的频率特性，可以方便的做出控制系统的开环频率特性，进而根据图形对系统的性能进行分析。

5.3.1开环极坐标图

1.用幅频特性和相频特性计算作图设开环频率特性为：式中

分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。

解:RC超前网络的传函为()=90

arctanT例5-1

如图所示RC超前网络,要求绘制它的幅相曲线。式中T=RC。其频率特性为RC

r(t)c(t)5.0

0.98211.32.0

0.895301.0

0.70745幅相曲线如下图所示：ImRe0T=125

T=

T=01TA()()(°)0

0900.1

0.099584.30.3

0.28873.3∞

10()=90

arctanT2.按实频特性和虚频特性计算作图

把开环频率特性按实部和虚部分开(代数形式)，然后再用一系列值代入，计算相应的实频和虚频值,绘制出开环幅相曲线。

3.由零点—极点分布图绘制

根据零极点形式的开环传递函数，在s平面上标出零点和极点，令s=j，可作出相应零点或极点对应的矢量(频率特性)，根据所对应的值，计算出有关矢量的长度和角度，就能求得频率特性。

例5-2由极点-零点分布图求例1中的频率特性。解：G(j0+)=090G(j1/T)=0.70745G(j2/T)=0.89530G(j5/T)=0.98211.3

G(j)=100

j-1/Tj+1/TImRe0=1/T2/T5/T

=4.开环极坐标图的近似绘制上面的方法费时费力，实际上，我们一般不要求绘制精确的极坐标图，但要正确的估计形状。采用所谓的三点法。起点－终点－交点

(1)根据开环零-极点图确定起点(=0+)：精确求出A(0+)，(0+)；

(2)确定终点(=)：求出A()，()；

(3)确定曲线与坐标轴的交点：G(j)=Re()+jIm()

与实轴的交点：令Im()=0求出x

代入Re(x)(4)由起点出发，绘制曲线的大致形状。关于极坐标图起点与终点的一些特点：A.起点B.终点A.起点（1）Gk(j0)=k0

（2）Gk(j)=0180（3）当增加时，()是单调减的，从0变化到180，所以无需再求交点。0j-1/T1-1/T2试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性

例5-3已知系统开环传函为ImRe0=0幅相曲线大致形状如图:

通过分析=0和=时的幅角，就可知幅相曲线是否与横轴有无交点。（1）Gk(j0)=k0

（2）Gk(j)=0180（3）当增加时，()是单调减的，从0变化到180，所以无需再求交点。例5-4已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统零极点分不图为

（1）Gk(j0+)=90

（2）Gk(j)=0180（3）与实轴的交点:0j-1j+1

显然曲线与坐标轴无交点。

通过分析实部和虚部函数，当

=0时，实部等于-1，可以作为渐近线。开环概略极坐标图如下所示：ImRe0=0→－1例5-5已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。解：根据零-极点分布图0j-1-2-0.51）Gk(j0+)=180

2）Gk(j)=02703）与实轴的交点：令Im()=0x=0.707Re(x)=2.67kImRe0=0→－2.67k开环概略极坐标图如下所示：

Gk(j0+)=180

Gk(j)=02705.3.2

开环伯德图

开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为说明：

Lk()和k()分别都是各典型环节的叠加。

例5-6已知一单位反馈系统，其开环传函为要求绘制伯德图。解：开环传递函数由以下三个典型环节组成：①比例环节10,②积分环节1/s,③惯性环节1/(0.2s+1)。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec分析开环对数幅频曲线，有下列特点：（1）最左端直线的斜率为20dB/dec，这一斜率完全由G(s)的积分环节数决定，高度取决于K；（2）

=1时，曲线的分贝值等于20lgk；（3）在惯性环节交接频率5(rad/s)处，斜率从20dB/dec变为40dB/dec。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec一般的近似对数幅频曲线特点：(1)最左端直线的斜率为20

dB/dec，是积分环节个数；(2)在

=1时，最左端直线或其延长线(1前有转折频率)的分贝值等于20lgk(3)在交接频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取决于典型环节类型。例如，在惯性环节后，斜率减少20dB/dec；而在振荡环节后，斜率减少40

dB/dec。绘制近似对数幅频曲线的步骤：

①在轴上标出所有的转折频率；②确定低频段的斜率和位置；

20

dB/dec，20lgk（＝1）③由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，曲线的斜率发生相应的变化。

对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性的草图。两点或三点法k()=090arctan(0.2)-90()/(°)0-180k(0)=90

k()=180k(1)=101.3k(5)=135k(10)=153.4

1510①在轴上标出所有的转折频率；②确定低频段的斜率和位置；

20

dB/dec，20lgk（＝1）③由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，曲线的斜率发生相应的变化。

例5-7绘制单位反馈系统的开环传函为试绘制系统的对数幅频曲线。解：将传函化简成标准时间常数表达式L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/decc

-幅值穿越频率c

重要结论：采用折线法计算幅值时，在转折频率前只考虑各因式的实部，之后只考虑因式的虚部。

有了系统的开环频率特性后，就可以利用开环频率特性分析系统的性能。提出“三频段”的概念。

低频段指的是L()在第一个转折频率以前的区段。对应的传递函数为：系统开环传递函数中的积分环节的数目（系统型号）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度，则决定于开环放大倍数的大小。所以，稳态误差完全由开环对数幅频特性的低频渐近线确定。v=０v=1v=220dB/dec40dB/dec根据伯德图，求开环增益k的方法：1

可以看出，低频段的斜率越小，位置越高，对应于积分环节的数目越多，开环增益越大。在满足稳定的条件下，其稳态误差越小。1dyac

中频段指的是幅值穿越频率c

附近的区段，该区段集中反映了闭环系统动态响应的平稳性和快速性。本章5.5和5.6节详细讨论。L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/decc

-幅值穿越频率c

系统的动态性能主要取决于相角裕度

，而开环对数幅频曲线的中频段（零分贝频率附近）的形状对影响最大，因此，闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频曲线的中频段。高频段是由小时间常数的环节决定的，由于其转折频率远离c

，所以对系统动态性能影响不大，然而从系统抗干扰的角度看，高频段特性很有意义的。对于单位负反馈系统，开环和闭环传函的关系为

由于在高频段，一般

20lg|G(j)<<0，即G(j)<<1，故有

即闭环幅频等于开环幅频。

因此开环对数幅频特性高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝值越低，系统抗干扰能力越强。

通过以上分析，可以看出系统开环对数频率特性表征了系统的性能：低频段决定了系统的稳态性能，中频段决定了系统动态性能，高频段决定了系统的抗干扰性能。对于最小相位系统，系统的性能完全可以由开环对数幅频特性反映出来。定义:

开环零点与开环极点全部位于s左半平面的系统为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。例5-8已知两个控制系统的开环传函分别为：试绘制两系统的开环伯德图。解：由定义知G1(s)对应的系统为最小相位系统，G2(s)对应的系统为非最小相位系统，频率特性分别为：5.3.3最小相位系统与非最小相位系统0j1j+10.5j+0.5j

01j0.5j+0.51其对应的零—极点分布图如下:1()=arctanarctan22()=arctanarctan2www211)(

2jjjG+-=www211)(1jjjG++=L()/dB1-20dB/dec0.5L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/(°)0-180-90()/(°)02()=arctan2arctan1()=arctan2

+arctan结论：

①

在具有相同的开环幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围最小;

②最小相位系统L()曲线变化趋势与()一致；

③最小相位系统L()曲线与()两者具有一一对应关系，因此在分析时可只画出L()

。反之，在已知L()曲线时，也可以确定出相应的开环传递函数。④最小相位系统当时，其相角

()=90•(nm)n为开环极点数，m为开环零点数。L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1710215

解：低频段直线斜率是20dB/dec，故系统包含一个积分环节。据

=1时，低频段直线的坐标为15

dB，可知比例环节的k=5.6。交接频率为=2和=7，可以写出系统的开环传递函数：

例5-9

某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图示，试写出该系统的开环传递函数。四．已知最小相位系统的对数幅频特性曲线如图所示：

1.求出系统的开环传递函数；5.4奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。具有以下特点：

(1)应用开环频率特性曲线就可以判断闭环稳定性。

(2)便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。

(3)很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。

(4)奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。

5.4.1辅助函数F(s)

图示控制系统,G(s)和H(s)是两个多项式之比G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)开环传递函数为闭环传递函数为

把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数，记作F(s)，F(s)仍是复变量s的函数。=1+Gk(s)

显然，辅助函数和开环传函之间只相差1。考虑到物理系统中，开环传函中mn，故F(s)的分子和分母两个多项式的最高次幂一样，均为n，F(s)可改写为：式中，zi和pj分别为F(s)的零点和极点。

F(s)具有如下特征：

1）其零点是闭环特征根，极点是开环特征根；

2）零点和极点个数相同；

3）F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。j0sziAF(s)ImRe0FB5.4.2幅角原理在s平面上任选一点A

通过复变函数F(s)映射到F(s)平面上B=F(A)。在s平面上从A点出发，绕F(s)的某一零点zi

顺时针沿封闭曲线s（s为不包围也不通过F(s)任何极点和其他零点）转一周回到A。相应的在F(s)平面上得到一条由B点出发，绕原点顺时针方向转了一圈，又回到B点的封闭曲线F。s平面F(s)平面当s沿s变化时，除项外，其余项都为0，因此F(s)的相角变化为：j0sziAF(s)ImRe0FBs平面F(s)平面同理，在s平面上从某点出发，绕F(s)的某一极点顺时针沿封闭曲线s（s为不包围也不通过F(s)任何零点和其他极点）转一周，相应的在F(s)平面上，

F(s)曲线绕其原点逆时针方向转一圈。即：F(s)曲线绕其原点顺时针方向转一圈。

幅角原理：如果封闭曲线s内有Z个F(s)的零点，P个F(s)的极点，则s沿封闭曲线s顺时针方向转一圈时，在F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之差，即

R=PZR若为负，表示曲线F(s)绕原点顺时针转过的圈数。j0sziAF(s)ImRe0FBs平面F(s)平面5.4.3奈氏判据-----分两种情况讨论（1）0型系统（开环没有串联积分环节的系统）

在s平面，取s为包围虚轴和整个右半平面的封闭曲线。那么幅角原理表达式中的Z和P分别表示辅助函数F(s)在右半平面的零极点数目。0js+0js+s平面s映射

F(s)

正虚轴j(:0)F(j)(

:0)

负虚轴j(:0)F(j)(

:0)

半径的半圆F平面的(1,j0)点

ReIm0

=0GH平面F平面1F(s)=1+G(s)H(s)由于n>m，当s时，G(s)H(s)=0我们已熟悉画G(j)H(j)的曲线，而它是画在GH平面上的。由于F(j)=1+G(j)H(j)，

即F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。因此F(j)对F平面原点的包围就等于G(j)H(j)对GH平面中(1，j0)点的包围。GH平面0=0F平面1G(j)H(j)1+G(j)H(j)对于G(j)H(j):0，开环极坐标图；

:0，与开环极坐标图以轴镜像对称；

F平面的坐标原点就是GH平面的(-1,j0)点。0

于是，幅角原理中的P，Z和R重新定义如下：P——F(s)在s右半平面的极点数，即开环传函在s右半平面的极点数，为已知；Z——F(s)在s右半平面的零点数，即闭环传函在s右半平面的极点数，待求的；R——开环奈氏曲线（:0）包围(1，j0)点的圈数，逆时针为正，顺时针为负。

奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（:0）包围(1，j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z，且有

Z

=PR

若Z=0，闭环系统特征根均在s左半平面，系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳定的。

或：

当开环系统稳定时(P=0)，开环奈氏曲线不包围(1,j0)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时(P0),开环奈氏曲线包围(1,j0)点P圈时，闭环系统是稳定的。例5-10判断系统稳定性。

解：由图知（1）p=0且R=0

z=pR＝0闭环系统是稳定的ReIm0p=0

=0

ReIm01p=0

=0

（2）

p=0，R

2

z

pR

20

闭环系统不稳定的（3）p=0，R0

z=pR＝0

闭环系统是稳定的ReIm01

=0

p=0试用奈氏判据判断系统的稳定性。解：已知p=1频率特性

例5-11一单位反馈系统，其开环传函当

=0，Gk(j0)=k180

当

，Gk(j)=090

ReIm0

=0kj

01/T

z=pR=0∴闭环系统是稳定的当k>1，R=0，z=pR

=1

闭环系统是不稳定的ReIm0

=0k1当k<1时，R=12.开环有积分环节的系统

由于与1/s对应的开环极点是0，既不在s的左半平面，也不在s的右半平面，

并且s

会穿过这个极点。因此，奈氏判据不能直接应用。

如果要应用奈氏判据，需把零根视为稳定根。

在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径为无穷小的半圆，使s绕过原点。0+0-=0j00js+ImRe0=0+增补线=0-s平面s映射

G(s)H(s)

正虚轴j(:0+)G(j)H(j)(

:0)

负虚轴j(:0-)G(j)H(j)(

:0)

半径的半圆GH平面的原点小圆弧(:0-0+)增补线(半径，从90°-90°)顺时针旋转1•180°

90°-

在

=0-到0+时，s平面上的这段小圆弧映射到G(j)H(j)平面上是一个半径为无穷大，顺时针旋转N•180°

的大圆弧。把它视为奈氏曲线的一部分，如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。推广到N型系统:ImRe0=0+增补线=0-0js+重要结论:用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0

（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0+)=90

终点：Gk(j)=0270

与坐标轴交点：例5-12已知系统的开环传函为令虚部=0，得，系统的开环极坐标图如图示：R=2z=pR=2

∴闭环系统是不稳定的。所作的增补线如虚线所示。当ImRe0=0+增补线1=0-当R=0

z=pR=0∴闭环系统是稳定的。起点：Gk(j0+)=90

终点：Gk(j)=0270

例5-13已知系统的开环传函为起点：Gk(j0+)=270

终点：Gk(j)=090

与坐标轴交点：x=101/2

Re(x)=0.1k

开环极坐标图如图：0j-101用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知

p=1（2）作开环极坐标图ImRe0=0++10.1k增补线=0=0--当0.1k>

1时R=-1z=pR

=2

闭环系统是不稳定的。(3)稳定性判别:因为是1型系统，需作增补线如图。当0.1k<

1时，R=1z=pR

=0闭环系统是稳定的。Gk(j0+)=270

Gk(j)=090

3.由奈氏判据判稳的实际方法（第一版）用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从0+时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s右半平面根的个数P，根据公式

Z

=P

2R来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从

=0+对应的点开始，按逆时针方向画一个半径为，旋转N90的大圆弧增补线，增补线的实际方向为顺时针，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。重新做例5-10判断系统稳定性。（2）

p=0，R

1

z

p2R20

闭环系统不稳定的。Rep=0

ReIm0

=0

解：由图知（1）p=0且R=0

闭环系统是稳定的。ReIm01p=0

=0

重要结论：

把

=0+和=

的点连起来，若-1+j0在闭合曲线的里面，计1圈包围(顺时针为-，逆时针为+)；若-1+j0在连线上，计1/2圈包围；否则，不包围。（3）p=0，R0z=p-2R=0

闭环系统是稳定的。ReIm01

=0

p=0重做例5-13

已知系统的开环传函为起点：Gk(j0)=270

终点：Gk(j)=090

与坐标轴交点：x=101/2

Re(x)=0.1k

开环极坐标图如图：0j-101用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知

p=1（2）作开环极坐标图ImRe0=0++10.1k增补线=0-当0.1k>

1时R=-1/2z=p2R

=2

闭环系统是不稳定的。(3)稳定性判别:因为是1型系统，需作增补线如图。当0.1k<

1时，R=1/2z=p2R

=0闭环系统是稳定的。Gk(j0+)=270

Gk(j)=090

重要结论：

把

=0+和=

的点连起来，若-1+j0在闭合曲线的里面，计1圈包围(顺时针为-，逆时针为+)；若-1+j0在连线上，计1/2圈包围；否则，不包围。ReIm01(+)()5.4.4伯德图上的稳定性判据

由图可知，幅相曲线是否包围(1，j0)点。此结果也可以根据增加时幅相曲线自下向上(幅角减小，负穿越)和自上向下(幅角增加，正穿越)穿越实轴区间(，1)的次数决定。正穿越的次数用N+表示，负穿越的次数用N-表示：

R=N

N

自实轴区间（,1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（,1）开始向上的穿越为半次负穿越。上图中，N＝1,

N=1故

R=N

N＝0结论一致ReIm01(+)()-180()/(°)0L()/dB()(+)(,1),A(w)>1,L(w)>0正负穿越次数还可以根据对数幅频曲线确定！对数频率稳定判据：

一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数在s右半平面极点数P

和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与180

线的正负穿越次数之差R=N

N确定：

Z=P2RZ为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。也有半次穿越-180()/(°)0L()/dB()(+)(,1),A(w)>1例5-14

一反馈控制系统其开环传递函数

用对数稳定判据判断系统稳定性。解：由开环传递函数知P=0，作系统的开环对数频率特性曲线。

180()/(°)0L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec

180()/(°)0270辅助线

G(s)H(s)有两个积分环节

=2，故需要补画0到180的辅助线。显见在A(w)>1区间内

N

=0，N

=1R=N

N

=

1Z=P

2R=2故系统不稳定。例5-15一反馈控制系统其开环传递函数

解：①由开环传递函数知P=1。②作系统的开环对数频率特性曲线。

()=90+arctanT2(180arctanT1)（T1>T2）

当()=180时，g

=(1/T1T2)1/2，A(g)=kT20j1/T21/T1求交点的2种方法：化成代数形式2.用幅角=-180°用对数稳定判据判断系统稳定性。L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc（T1>T2）③稳定性判别。G(s)H(s)有一个积分环节

=1，故补画180到270的辅助线。(ⅰ)当g<c时，即A(g)>1，N

=1，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=0故系统稳定。L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc(ⅱ)当g>c时，即A(g)<1，N

=0，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=2故系统不稳定。L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc

根据奈氏判据，系统开环幅相曲线在临界点(-1+j0)附近的形状，对闭环稳定性影响很大。对于最小相位系统来说越接近临界点稳定程度越差。

定义了两个表征系统稳定程度的指标：

相角裕度和幅值裕度h。ReIm0-1ReIm0-15.5开环频率指标

5.5.1稳定裕度

（1）幅值裕度h

：令相角为180时对应的频率为g

（相角穿越频率），频率为g时对应的幅值A(g)的倒数，定义为幅值裕度h

，即（2）相角裕度

：令幅频特性过零分贝时的频率为c

（幅值穿越频率），则定义相角裕度

为=(c)

－(－180）＝180+(c)或20lgh=20lgA(g)ReIm0-1A(g)c

h

具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的h倍时，则系统就处于临界稳定了。ReIm0-1A(g)c

对于最小相位系统，

h>1，系统稳定；越大稳定程度越好

具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环相频特性变化(减小)角度时，则系统就成为临界稳定了。

对于最小相位系统，>0,h>1，系统稳定；越大稳定程度越好；<0,h<1,系统不稳定。ReIm0-1A(g)c

180()/(°)0L()/dBcg20lgA(wg)(dB)在对数曲线上h

具有如下含义：如果系统是稳定的，那么开环对数幅频特性再向上移动20lgh分贝，则系统就处于临界稳定了。

具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环对数相频特性减小角度时，则系统就成为临界稳定了。20lgh=20lgA(g)ImRe0

=

=010ReIm1=0值大

一阶、二阶系统的总是>0,h总是>1。理论上不会不稳定。但实际上，由于有些系统是近似的，经降阶处理的，因此开环增益也不能无穷大，否则也可能不稳定。和h作为开环频域性能指标，分析和设计时用它们的定量值来描述。使用时是成对使用的，有时仅采用一个，如经常使用

，这对分析系统的绝对稳定性没有什么影响，但在

较大，而h较小时

，对系统的动态性能影响较大。例5-16

已知单位负反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图示，试求开环传递函数；计算系统的稳定裕度。

解：系统的开环传递函数为c=3.16L()/dB140dB/dec(-2)1020dB/dec60dB/dec3.16重要结论：采用折线法计算幅值时，在转折频率前只考虑各因式的实部，之后只考虑因式的虚部。重要结论：若出现－40db的下降，在没有标注ξ时，默认为ξ

＝1()=arctan

180

2arctan0.1=180+(c)=arctan3.162arctan0.316=37.4当(g)=180时，求得g=8.94k=c=3.16因为

>0,h>1，所以闭环系统是稳定的。

180()/(°)0L()/dBcg-20lgh(dB)

为了获得满意的性能，要求系统有450～750的相角裕度。这可以通过减小k来达到。但k太小会使稳态误差变大，需采用校正技术，达到满意