自动控制原理第七章

非线性系统的分析第7章7.1非线性微分方程的线性化7.2典型非线性特性及其对系7.3统性能的影响7.4描述函数法7.5用描述函数法分析非线性控制系统本章小结7.1非线性微分方程的线性化

对于非线性系统可以建立对应的非线性微分方程。然而由于非线性特性类型不同，非线性微分方程的解析异常困难，对其是没有通用的解析方法的。在理论研究时总是尽可能地将非线性问题在合理的情况下进行线性化处理。“小偏差法”是常用的线性化方法之一。“小偏差法”是以泰勒级数为数学基础的，然后得到变量对平衡点的线性增量方程。“小偏差法”的适用条件：系统正常工作时有一个平衡工作点(X0,Y0)，且在(X0,Y0)附近小范围变化；非线性函数在平衡点(X0,Y0)处各阶导数存在（从图上反映为，必须是一个光滑的曲线）。对于某些严重的非线性，则不能进行求导运算，因而不能使用“小偏差法”，只能作为非线性问题来处理。如继电器特性、间歇特性等。小偏差法假设线圈处于平衡工作点，端电压为U0，电流为i0，则

(1)铁芯线圈的电流与磁链的关系为非线性，线圈的微分方程为(2)在平衡点i0附近区域内的磁链ψ可用泰勒级数展开，即(3)忽略掉高阶无穷小项及余项，得到近似式用增量的形式表示(4)将原方程中的输入电压、磁链、电流均用平衡点附近的增量形式表示，则有(5)在实际使用中，常常略去增量符号写成以下最终形式：

铁芯线圈的线性化微分方程注意Ur、I都是在平衡点的微小增量，L是平衡点处线圈的电感值。小偏差法线性化的例子7.1非线性微分方程的线性化7.2典型非线性特性及其对系统的影响7.2.1典型非线性特性也称死区，当输入信号在零位附近的某一小范围之内时，没有相应的输出信号；只有当输入信号大于此范围时，才有输出信号。含有死区特性元件的系统，可以提高系统的平稳性，但增加了系统的稳态误差，导致系统跟踪精度的降低。不灵敏区特性不灵敏区的特性曲线不灵敏特性的等效增益曲线7.2典型非线性特性及其对系统的影响当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持某一常数值。含有饱和特性元件的系统在大信号作用下将使系统开环增益有所减小，一定程度上提高了系统的平稳性，然而却降低了系统的稳态精度。饱和特性饱和特性曲线饱和特性的等效增益曲线7.2典型非线性特性及其对系统的影响也称回环，机械传动中为保证齿轮转动灵活不卡齿，主动轮、从动轮齿轮之间必须有适当的间隙存在，使得两者不能同步运转，即从动轮滞后主动轮。含有间隙特性的系统，其输出相位滞后于输入相位，从而减小了系统的相稳定裕度，使系统的稳定性变坏，同时增大了系统的稳差。间隙特性齿轮间隙间隙特性的等效增益曲线7.2典型非线性特性及其对系统的影响继电器线圈上的电压大于某个数值时，触点吸合；线圈上的电压小于某个数值时，触点释放；其吸合、释放的电压可能不同，因而继电特性中包含了死区、回环和饱和特性。利用继电特性可以使被控制的执行电动机工作在额定或最大电压下，从而充分发挥其调节系统设计能力，实现快速跟踪。带死区、饱和的继电特性会降低系统的稳态精度，但可以提高系统的平稳性。继电器特性继电器特性曲线（a）理想继电特性（b）具有死区、饱和的继电特性（c）具有回环的继电特性（d）具有死区、回环的继电特性7.2典型非线性特性及其对系统的影响7.2.2非线性系统特性

非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅与系统本身的结构和元件特性有关，而且与系统初始条件也有关。因而对非线性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。

非线性系统中，除了发散和收敛两种运动形式外，还会发生自激振荡，即无外界作用时系统自身产生的具有一定振幅和频率的振荡。有时同一系统还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。

非线性系统的输入信号为正弦函数，其稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，且周期与输入信号相同。

对于非线性系统是没有一种通用的方法来处理的，且不能用线性微分方程来描述，在研究时也不一定要对暂态过程进行求解，而常将讨论的重点放在系统是否稳定？会不会产生自激振荡及如会产生，其振幅和频率为多少?如何消除自激振荡等。12347.3.1非线性元件的描述函数7.3描述函数法因为本部分讨论的典型非线性特性都是奇对称的，所以，则输出的基波分量为

将y（t）用傅氏级数表示，那么将设式中式中称为非线性元件的描述函数，它表示当非线性元件的输入信号为正弦函数时，输出信号的基波分量与输入信号在幅值和相位上的相互关系，类似于线性系统中的频率特性。N（A）表示非线性元件，G（s）表示线性元件。7.3描述函数法7.3.2非线性特性的描述函数非线性特性

描述函数7.3描述函数法非线性特性

描述函数7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.1非线性系统的稳定性分析7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.2非线性系统结构的简化

若两个非线性环节串联，可将两个环节的特性归化为一个特性，即以第一个非线性环节的输入和第二个非线性环节的输出分别作为归化后非线性特性的输入和输出，从而作出等效非线性特性。注意，若两个非线性特性的描述函数分别为和，等效非线性的描述函数为绝不等于和的乘积，并且串联非线性环节的次序不可交换。对于多个非线性环节串联，其处理方法可以按照串联的次序，先归化前两个非线性环节，等效后的非线性特性再与第三个环节进行归化变换。非线性环节串联

若两个并联的非线性环节其描述函数分别为和，则并联后的等效非线性环节的描述函数。非线性环节并联

系统的线性部分与前面所讲的现性系统的等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换，但对于非线性的处理要遵循1、2的处理原则。结构图的等效变换7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.3利用非线性特性改善控制系统的性能

某系统的控制特性如a)中曲线①所示，是二阶振荡曲线。通过线性校正(添加局部反馈环)得到了曲线②，可见超调量没有了，系统也不振荡了，但快速性是上述几条中最差的。在系统中加入非线性环节，使得系统的响应曲线变为③，在响应起始阶段具有很好的快速性，在快要达到控制目标时通过死区特性的作用使稳定性得以保证。

这样我们可以用一些极为简便的非线性装置，便能使系统的性能得到较大地改善，成功地解决系统快速性能和振荡性能之间的矛盾。7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.4综合举例

图示控制系统方框图中含有一个继电特性的非线性元件，其参数是试完成以下要求：（1）分析系统的稳定性；（2）若不使系统产生自激振荡，该继电特性应如何调整。解：1．将继电特性的参数代入相应公式得到：根据

，求得的极值为7.4用描述函数法分析非线性控制系统2．调整继电特性使系统不产生自激振荡的极值点（该点处有）应小于与实轴的交点，即(其中

，有→。)所以如果取2，则，，显然与曲线不相交，系统不会产生自激振荡。可以画出、的曲线如右图。可见曲线与曲线相交，说明系统存在自激振荡，其振幅可由下式求得：

第7章小结任何物理系统在某种程度上都存在一定的非线性。对于非线性系统或元件的微分方程则采用“小偏差法”，该方法用于系统平衡工作点附近的因非线性引起的较小偏差较准确，对于较严重的非线性情况，该方法不适用。当系统的非线性程度较严重时，必须对非线性系统进行专门的研究和处理。在实际控制系统中最常见典型非线性特性有：死区特性、饱和特性、间隙特性、继电器特性等。控