高中数学人教A版4本册总复习总复习 学业分层测评6

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝|sinθ|,y＝cosθ))(θ为参数)的方程等价于()A．x＝eq\r(1－y2) B．y＝eq\r(1－x2)C．y＝±eq\r(1－x2) D．x2＋y2＝1【解析】由x＝|sinθ|得0≤x≤1；由y＝cosθ得－1≤y≤1.故选A.【答案】A2．参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t2＋2，,y＝t2－1))(0≤t≤5)表示的曲线是()A．线段 B．双曲线的一支C．圆弧 D．射线【解析】消去t，得x－3y－5＝0.∵0≤t≤5，∴－1≤y≤24.【答案】A3．直线y＝2x＋1的参数方程是()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2,y＝2t2＋1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－1,y＝4t＋1))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－1,y＝2t－1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ,y＝2sinθ＋1))【解析】由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C正确．【答案】C4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋eq\r(3)y的最大值为()A．1B．2C．3D．4【解析】由于圆x2＋y2＝1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，则x＋eq\r(3)y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，故x＋eq\r(3)y的最大值为2.故选B.【答案】B5．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝cos2t)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tanφ,y＝1－tan2φ))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1－t),y＝t)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,y＝sin2θ))【解析】对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0,1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4(x∈[－1,1])．【答案】B二、填空题6．已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(5)cosα，,y＝2＋\r(5)sinα))(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是________.【导学号：91060020】【解析】曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(5)cosα,y＝2＋\r(5)sinα))(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以eq\r(5)为半径的圆，则曲线C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，化为一般方程即x2＋y2－2x－4y＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＝0，即ρ2＝2ρcosθ＋4ρsinθ，两边约去ρ得ρ＝2cosθ＋4sinθ.【答案】ρ＝2cosθ＋4sinθ7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.【解析】由ρcosθ＝4，知x＝4.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3，))∴x3＝y2(x≥0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,x3＝y2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－8，))∴|AB|＝eq\r(4－42＋8＋82)＝16.【答案】168．点(x，y)是曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则eq\f(y,x)的取值范围是________．【解析】曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.设eq\f(y,x)＝k，∴y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，k取得最小值与最大值，∴eq\f(|－2k|,\r(k2＋1))＝1，k2＝eq\f(1,3)，∴eq\f(y,x)的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))三、解答题9．已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)－\f(1,\r(t))，,y＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，))(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．【解】由x＝eq\r(t)－eq\f(1,\r(t))两边平方得x2＝t＋eq\f(1,t)－2，又y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，则t＋eq\f(1,t)＝eq\f(y,3)(y≥6)．代入x2＝t＋eq\f(1,t)－2，得x2＝eq\f(y,3)－2，∴3x2－y＋6＝0(y≥6)．故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．10．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．【解】方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，其参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)．(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝eq\r(5)sin(θ＋φ)＋1其中φ由tanφ＝2确定，∴1－eq\r(5)≤2x＋y≤1＋eq\r(5).(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cosθ＋sinθ＋1)对一切θ∈R恒成立．∵－(cosθ＋sinθ＋1)的最大值是eq\r(2)－1，∴当且仅当c≥eq\r(2)－1时，x＋y＋c≥0恒成立．[能力提升]1．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝0，则圆C截直线所得弦长为()\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)【解析】圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ,y＝1＋3sinθ))的圆心为(eq\r(3)，1)，半径为3，直线普通方程为ρcosθcoseq\f(π,6)－sinθsineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(1,2)y＝0，即eq\r(3)x－y＝0，圆心C(eq\r(3)，1)到直线eq\r(3)x－y＝0的距离为d＝eq\f(|\r(3)2－1|,\r(3＋1))＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－12)＝4eq\r(2).【答案】D2．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．【解析】ρ＝2cosθ化为普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝cosα，,y＝sinα))(α为参数)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋1，,y＝sinα))(α为参数)．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋1，,y＝sinα))(α为参数)3．若点(x，y)在圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2cosθ，,y＝－4＋2sinθ))(θ为参数)上，则x2＋y2的最小值是________．【解析】法一：由题意可知，x2＋y2＝(3＋2cosθ)2＋(－4＋2sinθ)2＝29＋12cosθ－16sinθ＝29＋20cos(θ＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝－\f(3,4)))，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圆．令t＝x2＋y2，则t可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin＝(eq\r(0－32＋0＋42)－2)2＝9，所以x2＋y2的最小值为9.【答案】94．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．【解】(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\