高中数学人教A版第一章解三角形 课时提升作业(二)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二)余弦定理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，b=3，c=5，A=120°，则a=() B.19 【解析】选=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5cos120°=49，所以a=7.2.在△ABC中，a=3，b=7，c=2，那么角B等于()° ° ° °【解析】选=a2+c2-所以B=60°.3.(2023·吉林高二检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=3bc，sinC=23sinB，则A=()° ° ° °【解析】选A.由余弦定理得：cosA=b2+c2-a22bc，由题知b2-a2=-4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2-aA.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形【解析】选C.由题意知a2因为0°<C<180°，所以90°<C<180°.所以△ABC为钝角三角形.【补偿训练】在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7，则△ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定【解析】选C.由正弦定理，得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7.设a=3k，b=5k，c=7k(k>0)，由于c>b>a，故角C是△ABC中最大的角，因为cosC=b2+=-12所以C>90°，即△ABC为钝角三角形5.在△ABC中，已知AB=7，BC=5，AC=6，则AB→·B B.-14 【解析】选D.设△ABC三边分别为a，b，c，则a=5，b=6，c=7，cosB=25+49-362×5×7=1935，所以AB→·二、填空题(每小题5分，共15分)6.在△ABC中，若(a-c)(a+c)=b(b+c)，则A=__________.【解析】因为(a-c)(a+c)=b(b+c)，所以a2-c2=b2+bc，即b2+c2-a2=-bc.所以cosA=b2+c2-因为0°<A<180°，所以A=120°.答案：120°7.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC=33，BD=5，sin∠ABC=235，则CD的长度等于【解析】由题意可得sin∠ABC=235=sin再根据余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=27+25-2×33×5×23可得CD=4.答案：48.(2023·北京高考)在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2AsinC=________【解题指南】利用二倍公式展开sin2A，再利用正余弦定理角化边.【解析】sin2AsinC=2=a(b2答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2023·济宁高二检测)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a=2bsinA.(1)求B的大小.(2)若a=33，c=5，求b.【解析】(1)由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12由于△ABC是锐角三角形，所以B=π6(2)根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=27+25-45=7，所以b=7.10.(2023·天津高一检测)如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【解析】在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC=A=100+36-1962×10×6=-即∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=10，B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得ABsin∠ADB=于是AB=AD·sin∠ADBsinB=10×32【举一反三】将本题条件中图形不变，已知数据改为AB=2，点D在BC上，BD=2DC，cos∠DAC=31010，cosC=2【解析】因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos∠DAC=31010，cosC=所以sin∠DAC=1010，sinC=5则由正弦定理得ADsinC=CDsin∠DAC，即y5sin∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=1010×255+31010则∠ADB=π4，∠ADC=3在△ABD中，由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcosπ4即2=4x2+2x2-2×2x×2x·22=2x2即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=2，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·DCcos3π4=2+1-2×2×1×即AC=5.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·泉州高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为()A.32 B.22 C.12【解析】选C.由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC，又c2=12(a2+b2)，得2abcosC=12(a2+b2)，即cosC=a2+b2.(2023·深圳高一检测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b+c=2a，且3sinA=5sinB，则角C=()A.π3 B.2π3 C.3π【解析】选B.由题设条件可得b+c=2a,3a=5b⇒a=53b,c=所以C=2π二、填空题(每小题5分，共10分)3.在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135°.若AC=2AB，则BD=__________.【解析】如图，设BD=x，在△ABD中，根据余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD×BD×cos135°=x2+2x+2.因为∠ADC=45°，DC=2x，所以在△ADC中，根据余弦定理，得AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos45°，AC2=4x2-4x+2，又AC=2AB，所以AC2=2AB2，即x2-4x-1=0，解得x=2±5.因为x>0，所以x=2+5，即BD=2+5.答案：2+54.(2023·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=-14，3sinA=2sinB，则c=__________【解题指南】首先根据正弦定理求出b的大小，再利用余弦定理求出c的值.【解析】在△ABC中，因为3sinA=2sinB，由正弦定理可知3a=2b，a=2，所以b=3.由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×-1所以c=4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)5.在△ABC中，已知lga-lgc=lgsinB=-lg2，且B为锐角，试判断△ABC的形状.【解析】由lgsinB=-lg2=lg22，可得sinB=2又B为锐角，所以B=45°.由lga-lgc=-lg2，得ac=2所以c=2a.又因为b2=a2+c2-2accosB，所以b2=a2+2a2-22a2×22所以a=b，即A=B.又B=45°，所以△ABC为等腰直角三角形.【拓展延伸】判断三角形的形状时经常用到的结论(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.(4)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=π26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB(p∈R)，且ac=14b2(