二次根式定义及性质

二次根式定义及性质教学内容:1・学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由：理解并掌握下列结论：=a(a>())=a(a>())翻十a"、,并利用它们进行计算和化简.直点：" 〉； ，aS°）及其运用.3•难点：利叭W）=a（QO）庐=a（aMO）解决具体问题.知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如亦（a$0）・的式子叫做二次根式，“丿~”称为二次根号.知识点二：二次根式的性质I亦>0（cz>0）.a(aa(a>0)-a(a<0)积的算术平方根的性质：唐二需•筋9巴0,BA0）；殺李（如,&>0）商的算术平方根的性质：农 ・知识点三：代数式s形如5,a,a+b,ab,』，x，,拓（°二°）这些式子，用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraicexpression）・经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 丄恵、細、X、旅（x>0）、&、晅、-忑、x+y、（x$o,y$o）思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“J~”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：罷、拡（x>0）、五、-忑、J"+y（x$O,y$0）；不是二次根式的有：迥、x、返、W.例2、当x是多少时，药‘在实数范闱内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要人于或等于0,所以3x-l>0,•血7才能有意义.解：由3x-l$0,得：事1 当x>3时，腑口在实数范|韦|内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范怜I内仃意义，必须满足被开方数是非负数.举_反三【变式l】x是怎样的实数时，下列各式实数范闱内有意义？ 1⑴Jy+iF；（2）v^i；2解：（1）由（x+1）$0,解得：x取任意实数••・当x取任意实数时，二次根式』（兀+1尸在实数范附内都有意义.（2）由x-1^0,且x」H0,解得：x>l・•・当X>1时，二次根式在实数范围内都有意义.【变式2】当x是多少时，血+3+兀+1在实数范［韦|内有意义？ 1思路点拨：要使血+弭兀+1在实数范［韦|内有意义， 丄必须同时满足JN+d中的2X+3M0和兀+1中的x+lHO.r2x+3>0<解：依题意，得k+lH°3由①得：x$-2由②得：x工3 1当xM空且xHJ时，血+F+1在实数范闌内有意义.例1、计算：⑴附⑵1（5）@ay（b$o例1、计算：⑴附⑵1（5）@ay（b$o）（6）（：思路点拨：我们可以直接利用（解：的12=7⑴・/⑵fM（府_（4）12J= 2272： （5）（6）（?何-（则=45-75类型二：二次根式的性质IT〈J2（凋（a^O）的结论解题.3=32x（5^）2=9x5=45（朋）2=f•（何=竝・=-30举一反三举一反三【变式1】计算:心）

心）(4)12^+9思路点拨：(1)因为x$0,所以(4)12^+9思路点拨：(1)因为x$0,所以x+l>0：a'+2a+1=(a+1)—0；a2^0；4x2-12x+9=(2x)2-2•2x•3+3'=(2x・3)2$0・所以上面的4题都可以运用(需)二a(aA0)的重要结论解题.解：(1)因为x^O,所以x+l>0的丫=盼Ta—0,••八 * :Va2+2a+l=(a+l)2(寸农+2(2+1)又V(a+l)2^0,Aa2+2a+1^0. Z=a:+2a+l：V4x2-12x+9=(2x)<2•2x•3+32=(2x-3)2又V(2x-3)2>0(MF—12兀+9『A4x2-12x+9^0, '=4x:-12x+9・例2、化简:⑴加;(2)J(-4『:⑶辰；(4)J(-卯.思路点拨：因为⑴9=32,(2)(-4)2=4-,(3)25=5-,(4)(-3)2=32,所以都可运用翻皿 去化简.解：(1)少=存=3； (2)J(-野=妍=4;(3)妬=疔=5： (4)J(-纤=疗=3.例3、填空：当时，沪=—:当aVO时，,•并根据这一性质回答卞列问题.若&=a,则a可以是什么数？若屈=-a,则a可以是什么数？&>a,则a可以是什么数？思路点拨：=a(a$O),•••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使气尸”中的数是正数，因为，当aWO时，沪= ,那么-a>0.根据结论求条件：(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要人于a,只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为，所以心0：因为，所以aWO：因为当时，要使，即使a>a所以a不存在；当K0时，，要使，即使-a>a,即a<0：综上，a<0.类型三：二次根式性质的应用例1、当x=4时，求二次根式的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得=.例2、⑴已知y=++5,求的值.(2)若+=0,求的值.解：⑴由可得,,⑵例3、在实数范圉内分解因式：x2-5； (2)x3-2x；解:⑴原式原式学习成果测评基础达标一、选择题下列式子中，不是二次根式的是()A. E・ C・ D・已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5 B. C. D.以上皆不对(福建省福州市)若代数式在实数范I韦I内有意义，则x的取值范I韦I为()A.x>0 B.x$0 C.x工0 D.x30且xH1的值是()A.0 B. C.4 D.以上都不对a$0时，、、，比较它们的结果，卞面四个选项中正确的是()A. B.

c.D.c.(辽宁省人连市)如图，数轴上点N表示的数可能是()TOC\o"1-5"\h\zA. E・C・ D・填空题若，贝|JX= •若有意义，则的取值范围是 .・= ・4= .5・= .若，贝ij .若,则 :若,则 •8.化简：= .9.计算：(1)= :(2尸 ；(3)= 。10・(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、E两点之间表示整数的点有 个.三、解答题求下列二次根式中字母a的取值范围：, (2)； (3).某工厂要制作一批体积为山卩的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？能力提升一、选择题1•使式子有意义的未知数X有()个C・C・2D.无数A.0E・12•(山西省临汾市)若，则与3的人小关系是()TOC\o"1-5"\h\zA. B・ C・ D・下列计算正确的是()A. B・ C・ D・(福建省厦门市)下列四个结论中，正确的是()A. B. C. D.二、填空题1•若，则 .若是一个正整数，则正整数m的最小值是 .已知实数在数轴上的对应点如图所示，则 三、解答题1•当x是多少时，+*在实数范闱内有意义？若+有意义，求的值.(北京市海淀区)已知实数x,y满足，求代数式的值.已知，求x+y的值.综合探究那么第10个数据应是(那么第10个数据应是(江苏省苏州市)等式中的括•号应填入 •先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原it=a+=a+(l-a)=l；乙的解答为：原式=a+=a+(a-l)=2a-l=17.两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 若时，试化简.在实数范閑内分解下列因式：二次根式定义及性质测试题一、复习3、求下列各数的平方根:4、求卞列各数的正平方根:(1)4； (2)0.16； (3)・ (1)225; (2)0.0001； (3)・二、二次根式的意义二次根式的意义代数式 叫做二次根式，读作 ，其中 是被开方数.通常把形如 的式子也叫做二次根式.二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是 例题例题1下列各式是二次根式吗?例题2设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义?(1); (2)； (3)； (4)・练习(一)设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义？(1); (2)； (3).三、二次根式的性质性质1： :性质2： 性质3： :性质4： 例题3求下列二次根式的值：(1); (2),其中.例题4化简二次根式(1)；(2)：(3)：；(5)：(6)例题5设°、/八c分别是三角形三边的长，化简:练习(二)：1、化简下列二次根式(1);(2)； (3)；(4)；(5)：(6)62、选择题TOC\o"1-5"\h\z、实数a、b在数轴上对应的位置如图，则( )A、b・a 2-a-bC>a-bD、2+a-b ・、化简的结果是( )AnE、C、 D、、如果，那么尤的取值范围是( )A、1WxW2E、1VxW2C、x$2D、x>2最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：(1) :(2) .例题6判断卜•列二次根式是不是最简二次根式：(1)；(2)；(3)；(4)例题7将下列二次根式化成最简二次根式:(1)；(2)；(3)2、练习(三)判断卞列二次根式中，哪些是最简二次根式