高中物理粤教版第三章万有引力定律及其应用 章末复习课

章末复习课【知识体系】[答案填写]①地球②太阳③eq\f(a3,T2)＝k④质点⑤Geq\f(m1m2,r2)⑥卡文迪许⑦减小⑧增大⑨减小⑩增大⑪⑫⑬主题一处理天体运动问题的“一”“二”“三”分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”，应用“两个思路”，区分“三个不同”．1．一个模型：无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动．2.两个思路．(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma.(2)不考虑地球或天体自转影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg.变形得GM＝gR2，此式通常称为黄金代换式．3．三个不同．(1)不同公式中r的含义不同．在万有引力定律公式中，r的含义是两质点间的距离；在向心力公式中，r的含义是质点运动的轨道半径．当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等．(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同．以下是三种速度的比较，如表所示.三种速度概念大小影响因素运行速度卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度v＝eq\r(\f(GM,r))轨道半径r越大，v越小发射速度在地面上发射卫星的速度大于或等于7．9km/s卫星的发射高度越高，发射速度越大宇宙速度实现某种效果所需的最小卫星发射速度7.9km11．2km/s16．7km/s不同卫星发射要求决定(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′的含义不同.三种加速度表达式说明a由eq\f(GMm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，r为卫星轨道半径与卫星的质量无关，随r的增大而减小g若不考虑地球自转的影响，由eq\f(GMm,R2)＝mg得g＝eq\f(GM,R2)考虑地球的自转时：①eq\f(GM,R2)是g和a的矢量和．②随纬度θ的增大，a′减小，g增大a′a′＝ω2Rcosθ，其中ω、R分别是地球的自转角速度和半径，θ是物体所在位置的纬度值【典例1】有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有()A．a的向心加速度等于重力加速度gB．b在相同时间内转过的弧长最长C．c在4小时内转过的圆心角是eq\f(π,6)D．d的运动周期有可能是20小时解析：对a：eq\f(GMm,R2)－FN＝ma，又FN>0，eq\f(GMm,R2)＝mg，故a<g，A错误；由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，rb最小，故b的速度最大，相同时间内转过的弧长最长，B正确；c为同步卫星，周期为24小时，故4小时转过的角度为eq\f(2π,24)×4＝eq\f(π,3)，C错误；因d的运动周期一定大于c的周期，故周期一定大于24小时，D错误．答案：B针对训练1．(多选)同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是()\f(a1,a2)＝eq\f(r,R) \f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up12(2)\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) \f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))解析：先研究a1与a2的关系，由于地球同步卫星运行周期与地球自转周期相同，因此，二者角速度相等，由a＝rω2得eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，选项A正确，B错误；再研究v1与v2的关系，由于二者均由万有引力提供向心力，即eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，因此根据线速度公式v＝eq\r(G\f(M,r))可得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))，选项C错误，D正确．答案：AD主题二天体运动中的双星问题众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着中间的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星．如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星．它们间的距离为L.此双星问题的特点是：(1)两星的运行轨道为同心圆．(2)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1＋r2＝L.(3)两星的转动周期(角速度)相同．由于m1r1ω2＝m2r2ω2，即m1r1＝m2r2，所以双星中某星的运动半径与其质量成反比．若已知双星的运动周期T，由Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)和Geq\f(m1m2,L2)＝m2r2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)可求得两星的总质量为m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).【典例2】两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗恒星必须以一定的角速度绕二者连线上的一点转动才不至于由于万有引力作用而吸在一起，已知两颗星的质量分别为m1、m2，相距L，试求这两颗星的中心位置和转动的周期．解析：设两颗星做圆周运动的周期均为T，转动中心O距m1距离为R1，由两颗星做圆周运动的向心力由两颗星间万有引力提供，有：Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)R1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2eq\f(4π2,T2)(L－R1)．解得R1＝eq\f(m2L,m1＋m2)，T＝2πLeq\r(\f(L,G（m1＋m2）)).答案：eq\f(m2L,m1＋m2)2πLeq\r(\f(L,G（m1＋m2）))针对训练2．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比eq\f(m甲,m乙)＝eq\f(2,3)，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知()A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3C．甲、乙两恒星的线速度之比为eq\r(3)∶eq\r(2)D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2解析：据题可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正确，B错误．双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得：eq\f(r甲,r乙)＝eq\f(m乙,m甲)＝eq\f(3,2).根据v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2.故C错误．根据a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正确．答案：AD统揽考情本章的主线是万有引力定律在天体、航天技术中的应用，在高考考查中属于每年必考内容，在全国卷中一般只考查一道选择题，占6分，命题的热点主要是万有引力定律的理解，还有利用万有引力定律求天体的质量、密度，利用万有引力提供向心力分析航天器、卫星的运行规律．在试题中，有时也考查双星模型与能量综合等问题．真题例析(多选)(2023·天津卷)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．如图所示，纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则()A．P1的平均密度比P2的大B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大D．s1的公转周期比s2的大解析：由图象左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径R相等，对于两行星的近地卫星：Geq\f(Mm,R2)＝ma，得行星的质量M＝eq\f(R2a,G)，由a－r2图象可知P1的近地卫星的向心加速度大，所以P1的质量大，平均密度大，选项A正确；根据Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)得，行星的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，由于P1的质量大，所以P1的第一宇宙速度大，选项B错误；s1、s2的轨道半径相等，由a－r2图象可知s1的向心加速度大，选项C正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r得，卫星的公转周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于P1的质量大，故s1的公转周期小，选项D错误．答案：AC针对训练(2023·北京卷)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么()A．地球公转的周期大于火星公转的周期B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r＝meq\f(v2,r)＝man＝mω2r得，公转周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，故地球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度v＝eq\r(\f(GM,r))，故地球公转的线速度较大，选项B错误；公转加速度an＝eq\f(GM,r2)，故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，故地球公转的角速度较大，选项D正确．答案：D1．(2023·重庆卷)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 \f(GM,（R＋h）2)\f(GMm,（R＋h）2) \f(GM,h2)解析：飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝mg，得g＝eq\f(GM,（R＋h）2)，选项B正确．答案：B2．(2023·福建卷)如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则()\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1)) \f(v1,v2)＝eq\r(\f(r1,r2))\f(v1,v2)＝(eq\f(r2,r1))2 \f(v1,v2)＝(eq\f(r1,r2))2解析：对人造卫星，根据万有引力提供向心力eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r)).所以对于a、b两颗人造卫星有eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))，故选项A正确．答案：A3．(2023·江苏卷)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1,20).该中心恒星与太阳质量的比值约为()\f(1,10) B．1C．5 D．10解析：行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，则eq\f(M1,M2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(365,4)))eq\s\up12(2)≈1，选项B正确．答案：B4.(2023·山东卷)如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是()A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1解析：空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r知，a2>a1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得Geq