概率论之条件概率

§5条件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式条件概率定义：对事件A、B，若，则把称为在事件A发生的条件下事件

B发生的概率，简称条件概率.相对地，有时把概率P(A)、P(B)称作无条件概率.事实上，P(A|S)=P(A)，P(B|S)=P(B).例1

一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）例2一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球．已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；例3

人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？

例设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活过25岁的概率是0.4．问现龄20岁的该种动物能活25岁的概率是多少？解：以

表示某该种动物“能活过20岁”的事件；以

表示某该种动物“能活过25岁”的事件；由已知,有：于是，所求概率二、乘法公式定理1乘法公式应用举例

一个罐子中包含t个白球和r个红球.

随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进

c个与所抽出的球具有相同颜色的球.

这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球

罐中有b

个白球、r

个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c

个同色球和d

个异色球.(1)当c=1,d=0时，为不返回抽样.(2)当c=0,d=0时，为返回抽样.(3)当c>0,d=0时，为传染病模型.(4)当c=

0,d>0时，为安全模型.波利亚罐子模型续b个白球,r个红球例3

已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品．为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品．求采购员拒绝购买这批产品的概率。

一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”例7设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1／2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7／10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9／10。试求透镜落下三次而未打破的概率。

例

甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产},A={是标准件}

引例

有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.1231.4.3全概率公式1.样本空间的划分

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0（三）全概率公式和贝叶斯公式2）全概率公式:2.全概率公式全概率公式全概率公式的文氏图解释：A

将事件A分解为若干个互不相容的较简单事件之和.

某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是

每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解例1

有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例2

某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．第一章概率论的基本概念§3条件概率

例3

人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化.现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.

n张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸取，记Ai为“第i次摸到中奖券”，则(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式计算得P(A2)=1/n.

(3)可用归纳法计算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n张彩票中有k张中奖，从中不返回地摸取，记Ai

为“第i次摸到奖券”，则

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n结论：不论先后，中彩机会是一样的.摸彩模型(续)若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，则贝叶斯（Bayes）公式

Bayes公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用Bayes公式第一章概率论的基本概念§3条件概率返回主目录例某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的次品率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?例(续)

某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少