北师大版高中数学必修第二册第二章测试题及答案

北师大版高中数学必修第二册第二章测试题及答案(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知在▱ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),则AC=()A.(-1,-12) B.(-1,12)C.(1,-12) D.(1,12)2.如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是()A.a=b B.a·b=1C.a=-b D.|a|=|b|3.如图,a-b等于()A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e24.如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=()A.1B.-1C.-1D.15.已知A船在灯塔C北偏东70°方向2km处,B船在灯塔C北偏西50°方向3km处,则A,B两船的距离为()A.19kmB.7kmC.(6+1)kmD.(6-1)km6.已知a,b,c是共起点的向量,a,b不共线,且存在m,n∈R使c=ma+nb成立,若a,b,c的终点共线,则必有()A.m+n=0 B.m-n=1C.m+n=1 D.m+n=-17.在100m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°,则塔高是()A.4003m B.400C.20033m D.8.已知|OA|=|OB|=|OC|=1,D为BC的中点,且|BC|=3,则AD·BC的最大值为(A.32 B.32 C.3 D二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知△ABC的面积为32,且b=2,c=3,则A=(A.30° B.60° C.150° D.120°10.下列命题中,正确的是()A.对于任意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0,则a=0或b=0C.对于任意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|11.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是()A.b=7,c=3,C=πB.b=5,c=6,C=πC.a=6,b=33,B=πD.a=20,b=15,B=π12.在△ABC中,下列结论正确的是()A.ABB.AB·BC<|AB|·|C.若(AB+AC)·(AB−AC)=D.若AC·AB>0,则△三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=,|b+c|=.

14.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,则△ABC的形状是.

15.如图是以C为圆心的一个圆,其中弦AB的长为2,则AC·AB=16.在△ABC中,A=30°,AB=23,4≤BC2≤12,则△ABC面积的范围是.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.18.(12分)已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2AC+CB=(1)用OA,OB表示(2)若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形.19.(12分)已知长方形AOCD中,OA=3,OC=2,E为OC中点,P为AO上一点,利用向量知识判断当点P在什么位置时,∠PED=45°.20.(12分)在△ABC中,AB=3,AC=1,∠A=60°.(1)求sin∠ACB;(2)若D为BC的中点,求AD的长度.21.(12分)为了测量两山顶M,N之间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.22.(12分)如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,线段BC的垂直平分线交线段AC于点D,且DA-DB=1.(1)求BC的长;(2)求△BCD的面积S.第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知在▱ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),则AC=()A.(-1,-12) B.(-1,12)C.(1,-12) D.(1,12)解析因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC=AB+AD=答案B2.如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是()A.a=b B.a·b=1C.a=-b D.|a|=|b|解析两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A,C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,则a·b=1不成立,所以选项B不正确;|a|=|b|=1,则选项D正确.答案D3.如图,a-b等于()A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e2解析a-b=e1-3e2.答案C4.如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=()A.12B.-1C.-1D.1解析EF=1答案D5.已知A船在灯塔C北偏东70°方向2km处,B船在灯塔C北偏西50°方向3km处,则A,B两船的距离为()A.19kmB.7kmC.(6+1)kmD.(6-1)km解析根据题意,在平面直角坐标系中作示意图,如图所示,易知在△ABC中,BC=3,AC=2,∠BCA=120°,故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,解得AB2=19,则AB=19.故选A.答案A6.已知a,b,c是共起点的向量,a,b不共线,且存在m,n∈R使c=ma+nb成立,若a,b,c的终点共线,则必有()A.m+n=0 B.m-n=1C.m+n=1 D.m+n=-1解析设OA=a,OB=b,OC=c,因为a、b、c的终点共线,所以设AC=λAB,即OC−OA=λ(所以OC=(1-λ)OA+λOB,即c=(1-λ)a+λb.又c=ma+nb,所以1所以m+n=1.答案C7.在100m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°,则塔高是()A.4003m B.400C.20033m D.解析如图所示,山高为AB=100m,塔高为CD,根据题意可知∠BCA=60°,∠CBD=30°.在Rt△ABC中,BC=ABsin在△BCD中,∠CBD=∠BCD=30°,∠BDC=120°,由正弦定理得CDsin30°=BCsin120°,答案D8.已知|OA|=|OB|=|OC|=1,D为BC的中点,且|BC|=3,则AD·BC的最大值为(A.32 B.32 C.3 D解析因为|OA|=|OB|=|OC|=1,所以A,B,C在以O为圆心半径为1的圆上.以O为原点,OD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,因为|BC|=3,|OB|=1,D为BC的中点,所以|OD|=12则B-32,-12,C32,-12,D0,-12,设A(x,y),则AD=-x,-12-y,BC=(3,0),所以AD·BC=-3x,因为-1≤x≤1,当A与E重合,即x=-1时,AD·BC的最大值为3.故选答案C二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知△ABC的面积为32,且b=2,c=3,则A=()A.30° B.60° C.150° D.120°解析因为S=12bcsinA=3所以12×2×3sinA=3所以sinA=32,因为0°<A<所以A=60°或120°.故选BD.答案BD10.下列命题中,正确的是()A.对于任意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0,则a=0或b=0C.对于任意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|解析由向量加法的三角形法则可知A正确;当a⊥b时,a·b=0,故B错误;因为|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,故C正确;当a,b共线同向时,a·b=|a||b|cos0°=|a||b|,当a,b共线反向时,a·b=|a||b|cos180°=-|a||b|,故D正确.故选ACD.答案ACD11.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是()A.b=7,c=3,C=πB.b=5,c=6,C=πC.a=6,b=33,B=πD.a=20,b=15,B=π解析A选项,因为C=π6,为锐角,c=3<bsinC=72,B选项,因为C=π4,为锐角,c=6>b=5,所以三角形有一解C选项,因为B=π3,为锐角,b=33=asinB=33,所以三角形有一解D选项,因为B=π6,为锐角,b=15>asinB=10,所以三角形有两解.故选BC答案BC12.在△ABC中,下列结论正确的是()A.ABB.AB·BC<|AB|·|C.若(AB+AC)·(AB−AC)=D.若AC·AB>0,则△解析AB−AC=CB,设θ为向量AB与BC的夹角,因为AB·BC=|AB|·|BC|·cosθ,而cosθ<1,故AB·BC<|AB|·|BC(AB+AC)·(AB−AC)=AB2−AC2=所以△ABC为等腰三角形,故C正确;取A=B=π6,C=2满足AC·AB=|AC||AB|cosA>0,但△ABC为钝角三角形,故D错误.故选答案BC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=,|b+c|=.

解析因为a=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=(1,m-1).因为(a+b)∥c,c=(-1,2),所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.则b+c=(-2,1),则|b+c|=(-2答案-1514.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,则△ABC的形状是.

解析根据余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.因为B=60°,2b=a+c,所以a+c22=a2+c2整理得(a-c)2=0,故a=c.又B=60°,所以△ABC是等边三角形.答案等边三角形15.如图是以C为圆心的一个圆,其中弦AB的长为2,则AC·AB=解析如图,作CD⊥AB交AB于点D,则AC=则AC·AB=12AB=12|AB|2答案216.在△ABC中,A=30°,AB=23,4≤BC2≤12,则△ABC面积的范围是.

解析因为在△ABC中,A=30°,AB=23,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos30°=12+AC2-6AC,又因为4≤BC2≤12,4≤12+AC2-6AC≤12,解得0<AC≤2,或4≤AC≤6,而S△ABC=12AB·AC·sin30°=32所以0<S△ABC≤3或23≤S△ABC≤33,故△ABC面积的范围是(0,3]∪[23,33].答案(0,3]∪[23,33]四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.解(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-12(2)因为A,B,C三点共线,a与b不共线,所以存在实数λ,使得AB=λBC(λ∈R),即2a+3b=λ(a+mb),整理得(8,3)=(λ+2mλ,mλ),所以λ+2mλ=8,18.(12分)已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2AC+CB=(1)用OA,OB表示(2)若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形.(1)解因为2AC+CB=所以2(OC−OA)+(OB−OC2OC-2OA+OB−所以OC=2OA−(2)证明如图,DA=DO=12(2OA−故DA=12OC.即DA∥OC,且故四边形OCAD为梯形.19.(12分)已知长方形AOCD中,OA=3,OC=2,E为OC中点,P为AO上一点,利用向量知识判断当点P在什么位置时,∠PED=45°.解如图,建立平面直角坐标系,则O(0,0),C(2,0),D(2,3),E(1,0).设P(0,y),则ED=(1,3),EP=(-1,y),所以|ED|=10,|EP|=y2+1,ED·代入cos45°=ED·解得y=2y=-12舍去.所以当点P在靠近点A的AB的三等分处时,∠PED=45°.20.(12分)在△ABC中,AB=3,AC=1,∠A=60°.(1)求sin∠ACB;(2)若D为BC的中点,求AD的长度.解(1)因为在△ABC中,AB=3,AC=1,∠A=60°.所以由余弦定理可得BC=A=32所以由正弦定理ABs