高中数学北师大版第二章平面向量 第二章章末测试

第二章章末测试时间：90分钟分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是相等向量B．共线的单位向量是相等向量C．零向量与任一向量共线D．两平行向量所在直线平行答案：C解析：利用向量的概念进行判定．2．向量a，b反向，下列等式成立的是()A．|a－b|＝|a|－|b|B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．|a|＋|b|＝|a－b|D．|a＋b|＝|a－b|答案：C解析：当a，b反向时，由向量加法或减法的几何意义可知，|a－b|＝|a|＋|b|.3．以a＝(－1,2)，b＝(1，－1)为基底表示c＝(3，－2)为()A．c＝4a＋bB．c＝a＋4C．c＝4bD．c＝a－4b答案：B解析：设c＝xa＋yb，则(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，所以－x＋y＝3且2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4.所以c＝a＋4b.4．已知平面内三点A(－1,0)、B(5,6)、P(3,4)，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))等于()A．0B．－16C．16D．8答案：B解析：eq\o(AP,\s\up6(→))＝(4,4)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2，－2)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝－16.5．向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)上的射影为()\f(\r(2),2)B．－eq\f(\r(2),2)\f(1,5)D．－eq\f(1,5)答案：C解析：由a·b＝|a||b|cosθ，得|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－1×3＋1×4,\r(32＋42))＝eq\f(1,5).6．已知a＝(3，eq\f(\r(3),2))，b＝＝(－eq\r(3)，cosα)，a∥b且0°＜α＜180°，则α等于()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析：∵a∥b，∴3cosα＝－eq\f(3,2)，∴cosα＝－eq\f(1,2)，又0＜α＜π，∴α＝120°.7．给定两个向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于()\f(13,27)\f(13,2)\f(13,3)\f(7,27)答案：D解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝eq\f(7,27).8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析：由条件知|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝eq\r(5)，∵(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，∴eq\r(5)×eq\r(5)·cosθ＝eq\f(5,2)，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.9．在边长为1的正方形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a－b＋c|等于()A．1\f(3,2)C．2\f(5,2)答案：C解析：先求模的平方．10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一个正六角星，如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中eq\o(x,\s\up6(→,))，eq\o(y,\s\up6(→,))，分别为原点O到两个顶点的向量．若将原点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为aeq\o(x,\s\up6(→,))＋beq\o(y,\s\up6(→,))的形式，则a＋b的最大值为()A．2B．3C．4D．5答案：D解析：要求a＋b的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(1,0)；(2)∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋3eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(3,1)；(3)∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋2eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(1,2)；(4)∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋eq\o(x,\s\up6(→,))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋eq\o(x,\s\up6(→,))＋(eq\o(y,\s\up6(→,))＋2eq\o(x,\s\up6(→,)))＝2eq\o(y,\s\up6(→,))＋3eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(3,2)；(5)∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))＋eq\o(x,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(1,1)；(6)∵eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(y,\s\up6(→,))，∴(a，b)＝(0,1)．∴a＋b的最大值为3＋2＝5.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知向量a，b满足|a|＝2023，|b|＝4，且a·b＝4022，则a与b的夹角为________．答案：eq\f(π,3)解析：设a与b的夹角为θ，由夹角余弦公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(4022,2023×4)＝eq\f(1,2)，解得θ＝eq\f(π,3).12．已知向量a＝(1，t)，b＝(－1，t).2a－b与b垂直，则|a|＝答案：2解析：由(2a－b)·b＝0，可得t＝±eq\r(3)，所以|a|＝eq\r(12＋±\r(3)2)＝2.13．如右图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝eq\r(2)，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案：－eq\f(4,3)解析：根据向量的加减法法则有：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，此时eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(2,3)×2＝－eq\f(4,3).三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知点A、B、C的坐标分别为A(eq\r(6)，2)、B(0,3)、C(－eq\f(\r(3),2)，sinα)，α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))．若eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求角α的值．解：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(6)，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)，sinα－3)∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(3,4)＋sinα－32)由|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|得sinα＝eq\f(1,2).又∵α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，∴α＝eq\f(5π,6).15．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a＋2b)(2a－b(2)|4a－2b解：(1)(a＋2b)·(2a－b＝2a2＋3a·b－2＝2|a|2＋3|a|·|b|·cos150°－2|b|2＝242＋348·(－eq\f(\r(3),2))－282＝－96－48eq\r(3).(2)|4a－2b|＝eq\r(4a－2b2)＝eq\r(16a2－16a·b＋4b2)＝eq\r(16|a|2－16|a|·|b|·cos150°＋4|b|2)＝eq\r(1642－1648－\f(\r(3),2)＋482)＝8(eq\r(2)＋eq\r(6))．16．已知向量a与b的夹角为eq\f(2,3)π，|a|＝2，|b|＝3，记m＝3a－2b，n＝2a＋kb.(1)若m⊥n，求实数k的值；(2)是否存在实数k，使得m∥n？说明理由．解：(1)由m⊥n得m·n＝0，即(3a－2b)·(2a＋kb整理得：6|a|2－(4－3k)a·b－2k|b|2＝0，∴27k＝36，∴k＝eq\f(4,3)，∴当k＝eq\f(4,3)时，m⊥n.(2)若存在实数k，使m∥n，则有m＝λn，即3a－2b＝λ(2a＋kb)，∴(3－2λ)a＝(2＋kλ)∵由题意可知向量a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2λ＝0，,2＋kλ＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,k＝－\f(4,3)，))即存在实数k＝－eq\f(4,3)，使得m∥n.17．如图所示，现有一小船位于d＝60m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝80m的L处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿eq\o(PQ,\s\up6(→))方向．设eq\o(PA,\s\up6(→))＝v水，从A向eq\o(PQ,\s\up6(→))作垂线，垂足为B，有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))即表示最小划速的大小和方向．|v划|min＝|v水|sinθ＝|v水|·eq\f(d,|\o(PQ,\s\up6(→))|)＝5×eq\f(60,\r(602＋802))＝5×＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.18．已知点A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)．(1)已知点D(－2,3)，以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))为一组基底来表示eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且点P在第四象限，求λ的取值范围．解：如图，∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))