高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 全国公开课

天水市甘谷三中2023学年度第一学期第三阶段考试高一数学试卷考试时间：120分钟；命题人：李天鹏审题人：王小英 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，5}，则A∩∁UB=（） A．{1，3，6} B．{1，3} C．{1} D．{2，4，5}2.函数f（x）=﹣x的图象关于（） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称3.若f（x）=，则f（x）的定义域为（） A．B．C．D． 4.已知，，，则有（） A.B.C.D. 5.已知，则f（﹣1）+f（4）的值为（） A．﹣7 B．﹣8 C．3 D．46.下列命题中正确的是（） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 C．由五个面围成的多面体一定是四棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 7.已知直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是（） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能8.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（） A．30° B．45° C．60° D．90°9.已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（） A． B． C． D．10.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积为（） A． B． C． D．11.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A．3π B．4π C． D．6π12.已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.已知则=_______________ 14.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是． 15.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是． 16.已知m，n是不同的直线，α与β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m∥α，则m平行与平面α内的无数条直线 ②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n ③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β ④若α∥β，m⊂α，则m∥β 上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号） 三、解答题（本题共6道小题,共70分，第17题10分，18-22题每小题12分） 17.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x （Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式； （Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围． 18.已知函数f（x）=loga（1﹣2x）﹣loga（1+2x）（a＞0，a≠1）． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并予以证明； （3）求使f（x）＞0的x的取值范围． 19.（本小题满分12分） 已知正方体中，面中心为． （1）求证：面； （2）求异面直线与所成角． 20.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F是BE的中点． （1）求证：DF∥平面ABC； （2）求三棱锥E﹣ABD的体积． 21.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证： （1）PA∥平面BDE； （2）BD⊥平面PAC． 22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1； （2）求证：AC1∥平面CDB1． 试卷答案 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合． 【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4，5}， ∴∁UB={1，3，6} A∩∁UB={1，3，5}∩{1，3，6}={1，3} 故选：B． 【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算． 【考点】奇偶函数图象的对称性． 【分析】利用函数奇偶性的定义进行验证，可得函数是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，由此可得函数图象关于原点对称． 【解答】解：∵ ∴﹣，=，可得f（﹣x）=﹣f（x）又∵函数定义域为{x|x≠0} ∴函数f（x）在其定义域是奇函数 根据奇函数图象的特征，可得函数f（x）图象关于原点对称 故选C 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】利用对数的真数大于0，分母不为0，即可求解函数的定义域即可． 【解答】解：要使函数有意义，可得：， 解得x∈． 故选：C． 【点评】本题考查函数的定义域，基本知识的考查． 考点：指数对数的大小比较. 【考点】函数的值． 【分析】先判断出﹣1和4所在位置，在代入对应的解析式求值即可． 【解答】解：因为；， ∴f（﹣1）=﹣（﹣1）2+3×（﹣1）=﹣4； f（4）=2×4﹣1=7． ∴f（﹣1）+f（4）=3． 故选：C． 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征，即可得出结论． 【解答】解：有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，故A错误； 有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故B错误； 由5个面成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故C不正确； 拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故棱台各侧棱的延长线交于一点，即D正确． 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱锥的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握相关定义是解答的关键． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】以正方体为载体，列举所有情况，由此能求出a，b的位置关系． 【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1∩平面ABCD=A，BB1∩平面ABCD=B，AA1∥BB1； AA1∩平面ABCD=A，AB1∩平面ABCD=A，AA1与AB1相交； AA1∩平面ABCD=A，CD1∩平面ABCD=C，AA1与CD1异面． ∴直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面． 故选：D． 【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】连接AC，BD，则AC⊥BD，证明AC⊥平面BDD1，可得AC⊥BD1，利用EF∥AC，即可得出结论．【解答】解：连接AC，底面是正方形，则AC⊥BD，几何体是正方体，可知 ∴BD⊥AA1，AC∩AA1=A， ∴BD⊥平面CC1AA1， ∵CE⊂平面CC1AA1， ∴BD⊥CE， ∴异面直线BD、CE所成角是90°． 故选：D． 【考点】平面图形的直观图． 【专题】计算题． 【分析】由正△ABC的边长为a，知正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，故△A′B′C′的高为=，由此能求出△A′B′C′的面积． 【解答】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为， 画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度， ∴△A′B′C′的高为=， ∴△A′B′C′的面积S==． 故选D． 【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由已知中的三视图，分析出几何体的形状，进而判断出各个面的形状及边长，代入三角形和正方形面积公式，求出各个面的面积，可得几何体的表面积． 【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥 底面是一个边长为1的正方形，故底面积S底=1 侧面有两个直角边长为1的等腰直角三角形，和两个边长分为1，，的直角三角形组成，故S侧=2××1×1+2××1×=1+ ∴该几何体的表面积S=S底+S侧=2+ 故选D 【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各面的边长是解答的关键． 【考点】球内接多面体． 【专题】计算题． 【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积． 【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：． 所以球的表面积为：4πR2==3π． 故选A． 【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力． 【考点】其他不等式的解法． 【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围． 【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象， 由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x， 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0] 故选：D 131000 14.（﹣1，3） 考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论． 解答：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0， ∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2）， 即f（|x﹣1|）＞f（2）， ∴|x﹣1|＜2， 解得﹣1＜x＜3， 故答案为：（﹣1，3） 点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键． π 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积． 【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：， 所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π． 故答案为：50π． 16.①③④ 考点：命题的真假判断与应用． 专题：证明题． 分析：逐个验证：①由线面平行的性质可得；②m，n可能平行，也可能异面；③平行线中的两条分别垂直于平面，则这两个平面平行；④平行平面内的直线必平行于另一个平面． 解答：选项①，由线面平行的性质可得：若m∥α，则过m任作平面与平面α相交所产生的交线都和m平行，故有无数条； 选项②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n可能平行，也可能异面，故错误； 选项③，平行线中的两条分别垂直于平面，则这两个平面平行，故正确； 选项④，平行平面内的直线必平行于另一个平面，故由α∥β，m⊂α，可推得m∥β． 故答案为：①③④ 点评： 本题为线面位置故关系的判断，熟练掌握立体几何的性质和定理是解决问题的关键，属基础题． 17. 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式； （Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x． 又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0． 于是x＜0时f（x）=x2+2x． 所以f（x）=． （Ⅱ）作出函数f（x）=的图象如图： 则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1] 要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，（画出图象得2分） 结合f（x）的图象知， 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]． 18. 【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域． （2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明． （3）根据对数函数的性质解不等式即可． 【解答】解：（1）要使函数有意义，则，∴f（x）的定义域为．… （2）定义域为，关于原点对称 又∵f（﹣x）=loga（1﹣2x）﹣loga（1+2x）=﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数..… （3）f（x）＞0⇒loga（1﹣2x）﹣loga（1+2x）＞0⇒loga（1﹣2x）＞loga（1+2x）．… 当a＞1时，原不等式等价为：1+2x＜1﹣2x⇒x＜0．… 当0＜a＜1时，原不等式等价为：1+2x＞1﹣2x⇒x＞0．… 又∵f（x）的定义域为 ∴使f（x）＞0的x的取值范围，当a＞1时为； 当0＜a＜1时为；．… 19. ∴为直角三角形，∴．……6分 20. 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）取AE中点G，连接DG、FG，由三角形中位线的性质得到FG∥AB，进一步得到FG∥平面ABC，再由已知证出四边形ACDG为平行四边形， 得到DG∥AC，即DG∥平面ABC，由面面平行的判定得平面DFG∥平面ABC，进一步得到DF∥平面ABC；（2）把三棱锥E﹣ABD的体积转化为求三棱锥B﹣AED的体积，然后通过解三角形求得三棱锥B﹣AED的底面边长和高，则棱锥的体积可求． 解答：（1）证明：如图， 取AE中点G，连接DG、FG， ∵F是BE的中点，∴FG∥AB，则FG∥平面ABC， ∵AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD， 又AE=2，CD=1，∴AG=CD， 则四边形ACDG为平行四边形，∴DG∥AC，则DG∥平面ABC， 又FG∩DG=G，∴平面DFG∥平面ABC， 则DF∥平面ABC； （2）∵AB=2，△ABC是正三角形，∴AC=2， ∵AE⊥平面ABC，∴EA⊥AC， 点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题． 21. 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PA∥EO，进而根据线面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE． （2）根据线面垂直的定义，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂