高中数学人教B版第一章解三角形 第1章基本知能检测

第一章基本知能检测(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为eq\x(导学号27542163)(C)A．2eq\r(6) B．3eq\r(6)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)[解析]设所求边长为x，由正弦定理，得eq\f(x,sin30°)＝eq\f(4,sin45°)，∴x＝2eq\r(2)，故选C．2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则sinA的值是eq\x(导学号27542164)(A)A．eq\f(\r(57),19) B．eq\f(\r(21),7)C．eq\f(\r(3),38) D．eq\f(2\r(3),19)[解析]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝16＋36＋24＝76，∴c＝2eq\r(19).由正弦定理，得eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(4×\f(\r(3),2),2\r(19))＝eq\f(\r(57),19).3．在△ABC中，∠A＝60°，a＝eq\r(6)，b＝4.满足条件的△ABCeq\x(导学号27542165)(A)A．无解 B．有一解C．有两解 D．不能确定[解析]4×sin60°＝2eq\r(3)＝eq\r(12)，∵eq\r(6)<eq\r(12)，即a<bsinA，∴△ABC不存在．4．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sinA＋sinB＋10sinC)，∠A＝60°，则a等于eq\x(导学号27542166)(A)A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4 D．不确定[解析]由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．∴△ABC的外接圆的半径为1，∴eq\f(a,sinA)＝2R＝2.∴a＝2sinA＝eq\r(3).5．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC的形状为eq\x(导学号27542167)(B)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形[解析]解法一：由正弦定理，得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．解法二：由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，又∵eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，∴eq\f(a,\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(b,\f(a2＋c2－b2,2ac))＝eq\f(c,\f(a2＋b2－c2,2ab))，∴eq\f(2abc,b2＋c2－a2)＝eq\f(2abc,a2＋c2－b2)＝eq\f(2abc,a2＋b2－c2)，∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，∴a＝b＝c，故选B．6．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝eq\x(导学号27542168)(D)A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(2)[解析]∵asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，∴sinB＝eq\r(2)sinA，∴b＝eq\r(2)a，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2).7．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为eq\r(3)，则eq\f(a,sinA)为eq\x(导学号27542169)(B)A．eq\f(8\r(3),81) B．eq\f(2\r(39),3)C．eq\f(26\r(3),3) D．2eq\r(7)[解析]由eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)得c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，故a＝eq\r(13).所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(39),3)，故选B．8．在△ABC中，∠A＝eq\f(π,3)，BC＝3，则△ABC的周长为eq\x(导学号27542170)(D)A．4eq\r(3)sin(∠B＋eq\f(π,3))＋3 B．4sin(∠B＋eq\f(π,3))＋3C．6sin(∠B＋eq\f(π,3))＋3 D．6sin(∠B＋eq\f(π,6))＋3[解析]令AC＝b，BC＝a，AB＝c，则a＋b＋c＝3＋b＋c＝3＋2R(sinB＋sinC)＝3＋eq\f(3,sin\f(π,3))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－∠B))))＝3＋eq\f(6,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝3＋6sin(∠B＋eq\f(π,6))．9．如图，一栋建筑物AB的高为(30－10eq\r(3))m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M(B、M、D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为eq\x(导学号27542171)(B)A．30m B．60mC．30eq\r(3)m D．40eq\r(3)m[解析]如图所示，设AE⊥CD，垂足为E，则在△AMC中，AM＝eq\f(AB,sin15°)＝20eq\r(6)，∠AMC＝105°，∠C＝30°，∴AC＝eq\f(20\r(6)sin105°,sin30°)＝60＋20eq\r(3)，∴CE＝30＋10eq\r(3).∴CD＝CE＋ED＝CE＋AB＝30＋10eq\r(3)＋30－10eq\r(3)＝60，故选B．10．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝eq\x(导学号27542172)(A)A．30° B．60°C．120° D．150°[解析]由sinC＝2eq\r(3)sinB及正弦定理，得c＝2eq\r(3)b，∴a2－b2＝eq\r(3)bc＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋12b2－7b2,2b·2\r(3)b)＝eq\f(6b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，又∵0°<A<180°，∴A＝30°.11．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝eq\r(3)，则三角形外接圆的半径为eq\x(导学号27542173)(B)A．eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4[解析]在△ABC中，∵b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)bc·sinA＝c·eq\f(\r(3),2)，∴c＝2＝b，故B＝eq\f(1,2)(180°－A)＝30°.再由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝2R＝eq\f(2,sin30°)＝4，∴三角形外接圆的半径R＝2.故选B．12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA＋sinA－eq\f(2,cosB＋sinB)＝0，则eq\f(a＋b,c)的值是eq\x(导学号27542174)(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2[解析]将cosA＋sinA－eq\f(2,cosB＋sinB)＝0，整理得(cosA＋sinA)(cosB＋sinB)＝2，即cosAcosB＋sinBcosA＋sinAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，∴cos(A－B)＝1，sin(A＋B)＝1，∴A－B＝0，A＋B＝eq\f(π,2)，即A＝B＝eq\f(π,4)，C＝eq\f(π,2).利用eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，则eq\f(a＋b,c)＝eq\f(2RsinA＋2RsinB,2RsinC)＝eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2),1)＝eq\r(2).(R为△ABC的外接圆半径)二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为eq\f(8\r(15),5).eq\x(导学号27542175)[解析]设△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，由余弦定理cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(122＋122－62,2×12×12)＝eq\f(7,8).∵A∈(0，π)，∴sinA＝eq\f(\r(15),8)，∴外接圆半径r＝eq\f(BC,2sinA)＝eq\f(8\r(15),5).14．三角形的三边长为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为eq\f(7,8).eq\x(导学号27542176)[解析]设三边长分别为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N＋)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋k－12－k－12<0,k＋k－1>k＋1))，∴2<k<4，∴k＝3.故三边比分别为2、3、4，则最小角的余弦值为eq\f(32＋42－22,2×3×4)＝eq\f(7,8).15．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2eq\r(7)，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则eq\f(BD,CD)的值为\x(导学号27542177)[解析]在△ABC中，AC＝4，BC＝2eq\r(7)，∠BAC＝60°，由余弦定理得cos60°＝eq\f(AB2＋42－2\r(7)2,2AB·4)＝eq\f(1,2)，解得AB＝6(负值舍去)．因为Rt△ABD与Rt△ACD有公共边AD，所以62－BD2＝42－(2eq\r(7)－BD)2，解得BD＝eq\f(12\r(7),7)，所以CD＝eq\f(2\r(7),7)，所以CD＝eq\f(2\r(7),7).故eq\f(BD,CD)＝6.16．某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为600m.eq\x(导学号27542178)[解析]如图所示由题意可知，PC＝600，∠PCB＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝600.又∠PAC＝30°，∠PCA＝90°，∴AC＝600eq\r(3).在△ACB中，∠ACB＝30°，由余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos30°＝6002＋(600eq\r(3))2－2×600×600eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6002，∴AB＝600.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC中，已知A＝45°，cosB＝eq\f(4,5).(1)求cosC的值；eq\x(导学号27542179)(2)若BC＝10，D为AB的中点，求CD的长．[解析](1)∵A＝45°，∴cosA＝eq\f(\r(2),2)，sinA＝eq\f(\r(2),2).又∵cosB＝eq\f(4,5)，∴sinB＝eq\f(3,5).∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝－eq\f(\r(2),10).(2)由(1)知cosC＝－eq\f(\r(2),10)，∴sinC＝eq\f(7\r(2),10)，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，∴AB＝eq\f(10×\f(7\r(2),10),\f(\r(2),2))＝14.∴BD＝7.在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcosB＝100＋49－2×10×7×eq\f(4,5)＝37，∴CD＝eq\r(37).18．(本题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、\x(导学号27542180)(1)若sin(A＋eq\f(π,6))＝2cosA，求A的值；(2)若cosA＝eq\f(1,3)，b＝3c，求sinC的值．[解析](1)由题设知sinAcoseq\f(π,6)＋cosAsineq\f(π,6)＝2cosA．从而sinA＝eq\r(3)cosA，所以cosA≠0，tanA＝eq\r(3).因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由cosA＝eq\f(1,3)，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2，故△ABC是直角三角形，且B＝eq\f(π,2).所以sinC＝cosA＝eq\f(1,3).19．(本题满分12分)在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知cos2A－3cos(B＋C)＝\x(导学号27542181)(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5eq\r(3)，b＝5，求sinBsinC的值．[解析](1)由cos2A－3cos(B＋C)得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),4)bc＝5eq\r(3)，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝eq\r(21).又由正弦定理得sinBsinC＝eq\f(b,a)sinA·eq\f(c,a)sinA＝eq\f(bc,a2)sin2A＝eq\f(20,21)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,7).20．(本题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝eq\r(7).eq\x(导学号27542182)(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－eq\f(\r(7),14)，sin∠CBA＝eq\f(\r(21),6)，求BC的长．[解析](1)在△DAC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AD2＋AC2－DC2,2AD·AC)＝eq\f(1＋7－4,2×1×\r(7))＝eq\f(2\r(7),7)，∴cos∠CAD＝eq\f(2\r(7),7).(2)∵∠BAD为四边形内角，∴sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，∴sin∠BAD＝eq\r(1－cos2∠BAD)＝eq\f(3\r(21),14)且sin∠CAD＝eq\r(1－cos2∠CAD)＝eq\f(\r(21),7)，∴sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD＝eq\f(3\r(21),14)×eq\f(2\r(7),7)－eq\f(\r(21),7)×(－eq\f(\r(7),14))＝eq\f(3\r(3),7)＋eq\f(\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2)，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠CBA)＝eq\f(BC,sin∠BAC)⇒BC＝eq\f(\r(7),\f(\r(21),6))×eq\f(\r(3),2)＝3.21．(本题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cosC＋(cosA－eq\r(3)sinA)cosB＝\x(导学号27542183)(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．[解析](1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－eq\r(3)sinAcosB＝0，即有sinAsinB－eq\r(3)sinAcosB