D3-1微分中值定理;D3-2洛必达法则

课前练习高等数学（上）一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一节中值定理

第三章四、三个中值定理的关系高等数学（上）1.费尔马(Fermat)引理设f(x)在x0点的某个邻域内有定义,若f(x)满足:(1)在x0点取得最大值(或最小值);(2)在x0可导(即f'(x0)存在);则有f'(x0)=0.一、罗尔中值定理高等数学（上）2.罗尔(Rolle)定理设函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).则至少存在一点(a,b),使f'()=0.几何解释端点等高连绵不断的光滑曲线必有水平切线.一、罗尔中值定理高等数学（上）注意Rolle定理的三个条件缺一不可,否则结论未必成立.例如一、罗尔中值定理高等数学（上）例1例2一、罗尔中值定理例3高等数学（上）★重要应用

设辅助函数的步骤：1.将要证明的等式移项,使左端是的函数,右端是零;2.用x代替,将左端化为某函数的导数,或通过恒等变形化为某函数的导数;3.设此函数为F(x).一、罗尔中值定理但要构造函数F(x),使F(x)满足中值定理条件.证明含有的恒等式一般采取Rolle中值定理,高等数学（上）例4一、罗尔中值定理例5高等数学（上）高等数学（上）规律:要证等式辅助函数例如高等数学（上）高等数学（上）右图告诉我们,如果曲线弧AB是一条连续光滑的曲线,且端点处等高,那么在AB曲线段上,至少能找到一点P,过P点作曲线的切线恰好平行于x轴也平行于直线AB.二、拉格朗日中值定理高等数学（上）若函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点(a,b),使2.拉格朗日(Lagrange)中值定理-----拉格朗日中值公式的常用形式连续处处有切线的曲线,必有平行于两个端点所在直线的切线.几何解释二、拉格朗日中值定理高等数学（上）拉格朗日公式的等价形式说明

拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间二、拉格朗日中值定理上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.在函数和导数之间架起了桥梁,为导数的应用奠定了理论基础.高等数学（上）说明函数的增量可以精确的表示为函数在这区间内某二、拉格朗日中值定理点处的导数与自变量改变量的乘积,因此拉格朗日中值定理又称为有限增量定理.高等数学（上）推论2.定理的推论注意在开区间内使用推论二、拉格朗日中值定理高等数学（上）例7证明:当0<a<b时,二、拉格朗日中值定理例5证明等式例6证明不等式高等数学（上）设函数f(x),

g(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导,且x(a,b),g'(x)0则至少存在一点(a,b),使三、柯西(Cauchy)中值定理三、柯西中值定理高等数学（上）f(a)=f(b)g(x)=xRolle定理Lagrange定理Cauchy定理微分中值定理的核心是拉格朗日中值定理,拉四、三个中值定理的关系格朗日中值定理是罗尔定理的推广,柯西定理是拉格朗日中值定理的推广.高等数学（上）三、其他未定式的极限二、洛必达法则一、问题的提出第二节洛必达法则第三章高等数学（上）两个无穷小量或两个无穷大量之商的极限,随着一、问题的提出函数形式的不同,其极限值可能存在,也可能不存在;可能是无穷小量,也可能是无穷大量,因此被称之为“未定式”，记为型或型.高等数学（上）定理1((0/0)型的洛必达法则)若且则例1计算例2计算二、洛必达法则高等数学（上）注意1

洛必达法则是求解未定型极限的有效方法,1)等价无穷小替换法;洛必达法则的运算;3)使用洛必达法则的同时,结合化简.但是要结合各种方法,以求最捷方式.2)将极限存在的非零因子分离出来不参与二、洛必达法则高等数学（上）注意2

只要满足条件,可多次使用洛必塔法则.即但每次使用前都必须检验极限类型是否为型；

如二、洛必达法则高等数学（上）例4求例5例3求二、洛必达法则高等数学（上）例6求高等数学（上）定理2(型洛必达法则)若且则二、洛必达法则高等数学（上）例8计算例7计算二、洛必达法则例9计算例10计算高等数学（上）例11计算例12计算在使用洛必达法则时,若不存在,也不为,不能说明原极限不存在,此时洛必达法则“失效”,改用其他方法计算.高等数学（上）1)只有才有洛必达法则;5)其他类型的未定型,只有先转化为后才有可二、洛必达法则2)

每用一次洛必达法则后,都要检验能否继续使用;3)

要善于利用第一章中的方法,简化极限的计算;4)

注意洛必达法则失效的情形;使用洛必达法则注意事项:能使用洛必达法则.高等数学（上）三、其它未定式极限未定式:基本类型:其他类型:高等数学（上）转化方式:“化乘为除”例13通常可以按照“反对幂三指”排序,排在前面的函数放在分子上,后面的函数放在分母上.例14例15三、其它未定式极限高等数学（上）转化方式:例16计算三、其它未定式极限“合二为一”例17计算高等数学（上）转化方式:幂指函数未定式,借助对数恒等式.例18计算高等数学（上）例20计算例21计算注意数列的极限,应先转化为相应的函数极限,才能例19计算三、其它未定式极限使用洛必达法则.高等数学（上）求极限是未定式吗？N1.极限运算法则2.