高中数学人教A版第一章三角函数任意角的三角函数【全国一等奖】

第1章第1课时三角函数的定义及公式（一）课前准备温故知新：过去我们学习过锐角三角函数的定义，这个定义主要是限制在锐角范围内，本模块开始把角的范围扩充到任意角，那么任意角的三角函数是否存在，又是如何定义的呢？还有终边相同的角的三角函数的关系是什么？学习目标：理解任意角的三角函数的定义（正弦、余弦、正切），并能运用定义解决一些问题．课前思索：原来我们学习过锐角三角函数的定义，对于任意角的三角函数如何定义呢？教材借助单位圆定义任意角的三角函数有什么优越性．课堂学习一、学习引领1．单位圆是半经为单位长度的圆，且它的圆心在原点，单位圆是研究数学许多问题常用的知识背景．2．我们知道，设是一个任意角，它的始边与轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为．则叫做的正弦，即有．叫做的余弦，即有．叫做的正切，即有．这是三种三角函数的定义．其实如果定义不用单位圆与角终边的交点，而是用角终边上除了顶点外的任意一点，设这一点到原点的距离为设为，其实可以分别定义为角的正弦、余弦和正切．这二种定义方法都可以，是一致的，只不过教材上那种定义使问题的理解更简洁．3．由任意角的三角函数的定义，我们不难发现，正弦和余弦的定义域是任意角，而正切定义中的是不能取０的，所以正切中角的终边不能在轴上．4．三角函数的值在各象限的符号如图所示：（－）（－）（－）（－）（＋）（＋）（＋）（＋）（＋）（＋）（－）（－）（－）（－）（－）（－）（＋）（＋）（＋）（＋）（＋）（＋）（－）（－）5．终边相同的角的同一三角函数值是相等的，这就是公式一．理解这组公式主要还是运用三角函数的定义．二、合作探究例1若角的终边过点且）求：的值。解：∵x=,y=,∴r=5|t|由＜0可得，=，=∴=2+=点评:解题时注意题设条件t<0,初学时常常会被同学们忽略.例2设α是第四象限角，试比较sinα与tanα的大小解：设是角α终边与单位圆的交点，则0＜x＜1,-1＜y＜0，∴sinα=＜0，tanα=＜0,由0＜x＜1得|＜||，即|sinα|＜|tanα|，∴sinα＞tanα点评:由于α是第四象限角,实际上己经知道了和的正负符号了，利用定义比较就很轻松自然,简捷明了.例3证明:证明：设角的终边与单位圆的交点坐标为，由三角函数定义有：左边====右边∴原所证式成立点评:本题用定义证明显得自然,水到渠成.三、课堂练习1．若终边上一点Ｐ的坐标为（＋２，＋１），且＜０，＞０，则的取值范围是（）Ａ．（－２，－１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（－１，２）Ｄ．（０，３）2．设角α为终边不在坐标轴上的任意角，且则（）＜0，B.P≤0，C.P＞0≥03．若θ∈（0，），那么（）A．sinθ＜cosθ＜1B．cosθ＜sinθ＜1C．sinθcosθD．cosθsinθ4．角α的终边上有一点P（m，5），且，则sinα+cosα=______．5．已知角的终边经过点，求的三个三角函数值.6．利用三角函数的定义证明:.四、课后作业1．若角的终边过点，则()A.B.C.D.2．已知tanα＞0，且sinα+cosα＞0，那么角α的终边在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3．已知cos＝，∈(，)，则sin等于()A．B．－C．±D．±4．已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5． 已知角终边上的一点，到轴的距离和它到轴的距离之比为，且，求的值．学后反思自我总结知识归纳方法总结错误总结答案与详解三、课堂练习1．A提示：由＜０，＞０知的终边在第四象限∴∴－２＜＜－１，选Ａ．2．解：设(xy≠0)是角α终边上任一点|OM|=r，则|x|＜r，|y|＜r,∴P==·＜0。 故选A.3．A解：∵θ∈（0，）∴0＜y＜x＜r ∴＜＜∴sinθ＜cosθ＜cotθ．故应选A.4．提示：由己知可得，。而。5．解因为，所以，于是，，.6．证明:设P()为角终边上任一点,则 左边==sinα+cosα=右边.四、课后作业1．C解：因为原点到点的距离，所以。故选C。2．A解：设是角α的终边上任一点，|OP|=r，则tanα=＞0且sinα+cosα=＞0，m＞0，n＞0.即点P在第一象限.∴角α的终边在第一象限.故选A3．A提示：由∈(，)，即为第二象限的角，则有sin＞0，而排除(B)、(C)、(D)，而选(A)4．解因为过点，所以，当