高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 全国一等奖

2.3.2平面与平面垂直的判定题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下面不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β图L2­3­104．如图L2­3­10所示，在立体图形D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，平面ADC⊥平面BDE5．如图L2­3­11所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的大小为()图L2­3­11A．30°B．45°C．60°D．90°6．若一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上)，则这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和()A．等于90°B．大于90°C．不大于90°D．不小于90°图L2­3­127．如图L2­3­12所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，则图中互相垂直的平面共有()A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则侧面与底面所成的二面角等于________．9．下列结论中，所有正确结论的序号是________．①两个相交平面形成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．10．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列命题：①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；③若m⊂α，n⊂β且α∥β，则m∥n；④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.其中真命题的序号是________．(把你认为是真命题的序号都填上)图L2­3­1311．如图L2­3­13，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AE⊥BC；④平面AEF⊥平面PBC；⑤△AEF是直角三角形．其中所有正确的命题的序号是________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．(12分)如图L2­3­14所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A图L2­3­1413．(13分)如图L2­3­15，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面PAC.图L2­3­15得分14．(5分)如图L2­3­16所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝eq\r(2)，PB＝eq\r(6)，则二面角P­BC­A的大小为________．图L2­3­1615．(15分)如图L2­3­17，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1E⊥A1D；(2)AE等于何值时，二面角D1­EC­D的大小为45°？图L2­3­17

2．平面与平面垂直的判定1.D[解析]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直2．C[解析]①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.3．C[解析]由m∥α，m∥n得，n∥α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β.4．C[解析]因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5．C[解析]由已知得BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.6．C[解析]当这条线段所在的直线与棱垂直时，这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和是90°；当这条线段所在的直线与棱不垂直时，这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和小于90°.7．C[解析]因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，平面PAC⊥平面ABC.又因为BC⊥AB，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.根据平面与平面垂直的判定定理得平面PAB⊥平面ABC，平面PBC⊥平面PAB.8．60°[解析]正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则底面边长为2eq\r(3)，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为eq\r(3)，故所求的二面角为60°.9．②④[解析]由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确，④正确；②中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易知②正确．10．①④[解析]①中的内容即为线面垂直的判定定理；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；因为两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理．11．①②④⑤[解析]因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC.又PA⊥⊙O所在平面，所以PA⊥BC.又PA交AC于点A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确；因为AF⊥PB，AE⊥PB，所以PB⊥平面AEF，所以EF⊥PB，故②正确；③错误；因为AF⊥平面PBC，所以平面AEF⊥平面PBC，故④正确；因为AF⊥平面PBC，所以AF⊥EF，所以∠AFE为直角，所以△AEF是直角三角形，故⑤正确．12.证明：如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝eq\f(1,2)AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1又FG∥AA1∥BE，GF＝eq\f(1,2)AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A又因为EF⊂平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A113．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.14．45°[解析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，AC＝eq\r(22－（\r(2)）2)＝eq\r(2)，PA＝eq\r(（\r(6)）2－22)＝eq\r(2)，∴∠PCA＝45°.15．解：(1)证明：连接D1A，D1B∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.∵AB⊥平面A1ADD1，A1D⊂平面A1ADD1，∴AB⊥A1D.又AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E⊂平面ABD1，∴A1D⊥D1E.(2)过D作DF⊥EC于点F，连接D1F∵D1D⊥平面DB，EC⊂平面DB，∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.∵D1F⊂平面D1DF，∴EC⊥D1F，所以∠DFD1为二面角D1­EC­∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝