高中数学北师大版5第二章几个重要的不等式 精品获奖

第二章§3、2一、选择题1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3C．5 D．6解析：使2n>n2＋1，经过计算知应选C．答案：C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)解析：因为是奇数，所以排除C、D，又当k∈N*时，A中2k＋1取不到1，所以选B．答案：B3．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A．eq\f(1,n－1n＋1) B．eq\f(1,2n2n＋1)C．eq\f(1,2n－12n＋1) D．eq\f(1,2n＋12n＋2)解析：经过a1＝eq\f(1,3)可算出a2＝eq\f(1,3×5)，a3＝eq\f(1,5×7)，所以选C．答案：C4．用数学归纳法证明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)”时，由n＝k(k>1)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：由k到k＋1，则左边增加了eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，共2k项．答案：C二、填空题5．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是__________解析：经过计算知n0最小应为10.答案：106．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)>eq\f(13,24)的过程，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________________.解析：应该比原来增加了eq\f(1,2k＋12k＋2).答案：eq\f(1,2k＋12k＋2)三、解答题7．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．那么n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋等式均成立．8．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n－1)))>eq\f(\r(2n＋1),2)成立．证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，右边＝eq\f(\r(5),2)，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k＋1)))>eq\f(\r(2k＋1),2).那么当n＝k＋1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k＋1－1)))>eq\f(\r(2k＋1),2)·eq\f(2k＋2,2k＋1)＝eq\f(2k＋2,\r(2k＋1))＝eq\f(\r(4k2＋8k＋4),2\r(2k＋1))>eq\f(\r(4k2＋8k＋3),2\r(2k＋1))＝eq\f(\r(2k＋3)·\r(2k＋1),2·\r(2k＋1))＝eq\f(\r(2k＋1＋1),2)∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．9．是否存在常数a，b，c使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(nn＋1,12)(an2＋bn＋c)对一切n∈N＋都成立？证明你的结论．解析：此题可用归纳猜想证明来思考．假设存在a，b，c使题设的等式成立．令n＝1，得4＝eq\f(1,6)(a＋b＋c)；当n＝2时，22＝eq\f(1,2)(4a＋2b＋c)；当n＝3时，70＝9a＋3b＋c，联立得a＝3，b＝11，c＝10.∴当n＝1,2,3时，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(nn＋13n2＋11n＋10,12)成立．猜想等式对n∈N＋都成立，下面用数学归纳法来证明．记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2，设当n＝k时，上面等式成立，即有Sk＝eq\f(kk＋13k2＋11k＋10,12).则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(kk＋1,12)·(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(kk＋1,12)·(k＋2)(3k＋5)＋(k＋