高中数学苏教版第一章解三角形 第1章正弦定理余弦定理的应用

第1章解三角形正弦定理、余弦定理的应用A级基础巩固一、选择题1．在某测量中，设点A在点B的南偏东34°27′，则点B在点A的()A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′答案：A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是()A．角A，B和边bB．角A，B和边aC．边a，b和角CD．边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选D.答案：D3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()\f(17\r(6),2)nmile B．34eq\r(6)nmile\f(17\r(2),2)nmile D．34eq\r(2)nmile解析：如图所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，所以MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6).所以v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(nmile/h)．答案：A4．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好eq\r(3)km，那么x的值为()\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3)D．3解析：依题意可得，32＋x2－2×3·xcos30°＝(eq\r(3))2.解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3).答案：C5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(30)m D．30m解析：设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.答案：D6．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：mA．5B．10C．10eq\r(2)D．10eq\r(3)解析：如图所示，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m由正弦定理，得BB′＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．所以斜坡的倾斜角变为30°时，坡底延伸10eq\r答案：C二、填空题7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在正北，若路途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________解析：设塔高为AB，某人由C前进到D，依题意可得CD＝40m，∠ACD＝90°－60°＝30°，作AE⊥CD于点E，则∠AEB＝30°，则AD＝CDsin30°＝20AE＝ADsin60°＝10eq\r(3)，所以AB＝AEtan30°＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝10m.答案：108．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5m，解析：如图所示，AB＝AC·tan60°＝5eq\r(3)，BC＝eq\f(AC,sin30°)＝10，所以AB＋BC＝(5eq\r(3)＋10)m.答案：(10＋5eq\r(3))m三、解答题9.如图所示，一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，解：如题图所示，由正弦定理得，eq\f(BC,sin（90°－60°）)＝eq\f(15×4,sin45°)，所以BC＝30eq\r所以此时船与灯塔的距离为30eq\r10．如下图所示，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，AB的距离是84m，解：设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝eq\r(3)xm.在△ABD中，利用余弦定理得842＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,tan45°)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,tan30°)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)·x2cos(90°＋60°)，解得x＝±12eq\r(7)(负值舍去)，故塔高为12eq\r(7)m.B级能力提升一、选择题11．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°解析：如题图所示，结合题意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.因为AC＝BC，所以∠ABC＝50°，α＝60°－50°＝10°.答案：B12．若水平面上，点B在点A南偏东30°方向上，则在点A处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析：根据方位角的意义，可得点B的方位角是180°－30°＝150°.答案：C13．当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()\f(\r(21),7)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)\f(5\r(7),14)解析：连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，所以BC＝10eq\r(7)，再由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sinθ)，所以sinθ＝eq\f(\r(21),7).答案：A二、填空题14．(2023·课标全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，测山高MN＝________解析：根据图示，AC＝100eq\r在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)⇒AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．答案：15015．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时．解析：设行驶xh后甲到点C，乙到点D，两船相距ykm，则∠DBC＝180°－60°＝120°.所以y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,7)＋100.所以当x＝eq\f(5,14)时，y2有最小值，即两船相距最近．答案：eq\f(5,14)三、解答题16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2eq\r(7)，B＝60°，a＋c＝10.(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋30°))；(2)若D为△ABC外接圆中弦AC所对劣弧上的一点且2AD＝DC，求四边形ABCD的面积．解：(1)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(4\r(7),\r(3))，因为a＋c＝10，所以sinA＋sinC＝eq\f(5\r(3),2\r(7)).因为B＝60°，所以C＝120°－A，所以sinA＋sin(120°－A)＝sinA＋sin120°cosA－cos120°sinA＝eq\f(5\r(3),2\r(7))，于是得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋30°))＝eq\f(5\r(7),14).(2)因为A，B，C，D共圆，B＝60°，所以D＝120°.在△ADC中，由余弦定理可得cosD＝eq\f(AD2＋DC2－b2,2AD·DC)＝－eq\f(1,