高中数学高考二轮复习 2023届高考数学专题复习学案不等式=5

代数换元戏称大叔换元。我们已介绍了有些三角几何不等式，可以采用拉维换元和三角换元处理。还可以采用代数换元使之更简单、更方便。【试题13】设为正实数，证明：【解析】消除平方根，可采用下列换元令：，，=1\*GB3①很明显，于是待证式变为：=2\*GB3②由=1\*GB3①可得：，，=3\*GB3③将=3\*GB3③式相乘得：即：=4\*GB3④由不等式得：即：=5\*GB3⑤由于，=5\*GB3⑤式在的条件下成立。即：成立。证毕。（注：这个证法不符合我们的习惯。）【试题14】设是正数，且.证明：【解析】采用代数换元：，，，则不等式变换为：=1\*GB3①采用柯西-苏瓦茨不等式得：即：=2\*GB3②采用不等式得：=3\*GB3③由=2\*GB3②=3\*GB3③得：.证毕。【本题变形】设是正数，且，证明：【解析】采用代数换元：，，，则：不等式变形为：=1\*GB3①或：=2\*GB3②或：=3\*GB3③采用不等式得：同理：，三项相加得：=3\*GB3③式得证。证毕。现在，我们采用变量方法证明经典定理。定理：对所有正实数，恒有：成立.此式称为内斯比特不等式。证明一：作换元：，，，于是：，，则为：=1\*GB3①即：即：=2\*GB3②由不等式得：.证毕。证明二：作换元：，，则式变换为：=1\*GB3①由于：即：=2\*GB3②故构建函数：，则函数在区间单调递增，且为向上凸函数。=2\*GB3②式可以表达成：=3\*GB3③由琴生不等式得：函数的均值不大于均值的函数。即：，即：=4\*GB3④则由：得：=5\*GB3⑤既然在区间单调递增，且则：，即：正就是=1\*GB3①式，即式成立。证毕。证明三：向前面一样，作换元：，上式实际上就是上题=3\*GB3③式。变换为：化简为：=6\*GB3⑥由不等式得：=7\*GB3⑦及：即：故：=8\*GB3⑧将=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧代入=6\*GB3⑥得：，即：=9\*GB3⑨由=9\*GB3⑨是可知：当时，，故必有因子。则：代入=9\*GB3⑨式得：=10\*GB3⑩因为，所以由=10\*GB3⑩式得：，即：即：，故：.证毕。【】设是正数，且，证明：=1\*GB3①这正是在《拉维换元》中的【试题1】。【证明】既然，不失一般性，假设，则下式：由于：，，，所以：.证毕。【下一个方案】如解法一，作代换：，，，且将=1\*GB3①改写为：=2\*GB3②不是一般性，假设：，设，，则直接导出：=3\*GB3③既然，代入=3\*GB3③式可得结果。【再下一个方案】由条件，直接导出等式：，，=4\*GB3④特别是：，，，如果有一个为负数，则：.如果，则由不等式得：；；所以：，即：；，即：；，即：则：=5\*GB3⑤既然，则=5\*GB3⑤式即=1\*GB3①式，命题得证。证毕。【试题15】设是正实数，且满足，证明:=1\*GB3①【解析】将=1\*GB3①式变形为：=2\*GB3②设：，，，则于是变形为：=3\*GB3③则=2\*GB3②式变形为：=4\*GB3④采用三角换元：，，则，即，且不等式=4\*GB3④式变为：=5\*GB3⑤即：则：即：=6\*GB3⑥=6\*GB3⑥式就是本题需要证明的不等式。注意到：，而，于是：于是：=7\*GB3⑦这样，记，，则=8\*GB3⑧=7\*GB3⑦式右边就是：=9\*GB3⑨代入=7\*GB3⑦式得：.而这就证明了=6\*GB3⑥式。证毕。我们换一种方法来证明【试题10】。【试题10】设为正实数，且满足：试证：【解析】我们需要证明不等式：作换元：，，,则：，，,约束条件变为：而待证不等式写成：或：即：=10\*GB3⑩应用不等式得：于是=10\*GB3⑩式得证。【试题16】对，且=1\*GB3①证明：=2\*GB3②【解析】采用代数换元法，令：，，则：，，代入条件=1\*GB3①式得：即：=3\*GB3③由：及：得：即：即：即：=4\*GB3④不等式=2\*GB3②式变为：=5\*GB3⑤两边平方得：即：=6\*GB3⑥设：，，，代入=6\*GB3⑥式得：=7\*GB3⑦代入条件=4\*GB3④式得：=8\*GB3⑧由三角恒等式：可以联想到=8\*GB3⑧式换元。设：，，，则，且代入待证不等式=7\*GB3⑦式得：=9\*GB3⑨由于在是向上凸函数，根据琴生不等式：对向上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值。即：即：.证毕。【试题17】证明：对所有，恒有：=1\*GB3①【注】本题原著解析有误，此处就不细讲了。作代数换元：，，则代入=1\*GB3①式，将的分子分母同除以，将的分子分母同除以，将，得：，去分母后化简，然后用均值定理处理。【试题18】设为任意实数，证明不等式：=1\*GB3①【解析一】考虑为非负数情况，设，则换元：，（）则：，不等式=1\*GB3①变为：=2\*GB3②既然有：，对所有，则左边的上限：=3\*GB3③我们采用柯西-苏瓦茨不等式给出=3\*GB3③式上限的表达项=4\*GB3④上式也可采用均值定理的来表述：即：即：=5\*GB3⑤=5\*GB3⑤式其实就是=4\*GB3④式。既然，，则，代入=4\*GB3④式得：即：=2\*GB3②式得证。证毕。【解析二】考虑为非负数情况，设，则换元：，，，（）易得：，既然，则待证不等式变为：=6\*GB3⑥既然，则：既然，由