H4.5电磁感应定律的综合应用

高中物理·选修3-2·人教版第四章电磁感应4.5电磁感应定律的综合应用一、电磁感应与电路规律的综合1.知识点：a.产生感应电动势的导体相当于一个电源，感应电动势等效于电源电动势，产生感应电动势的导体的电阻等效于电源的内阻。b.电源内部电流的方向是从负极流向正极，即从低电势流向高电势。c.产生感应电动势的导体跟电容器连接，可对电容器充电，稳定后，电容器相当于断路，其所带电量可用公式Q

=

C

U来计算。2.解决方法：a.确定电源。首先判断产生电磁感应现象的那一部分导体(电源),其次选择电磁感应定律的相应表达形式求感应电动势的大小,利用右手定则或楞次定律判断电流方向.b.分析电路结构,画等效电路图.c.运用闭合电路欧姆定律，结合串、并联电路规律以及电功率计算公式等各关系式联立求解．3.相关公式(1)电源电动势E＝

或E＝

。(2)闭合电路欧姆定律I＝

；

部分电路欧姆定律I＝

；

电源的内电压Ur＝_

__；

电源的路端电压U＝IR＝

。(3)通过导体的电荷量q＝IΔt＝

。BlvIrE－Ir例题1:如图所示，平行导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中（方向向里），间距为L，左端电阻为R，其余电阻不计，导轨右端接一电容为C的电容器。现有一长2L的金属棒ab放在导轨上，ab以a为轴顺时针转过90°的过程中，通过R的电量为多少？分析:注意电路结构及金属棒切割过程的分析.ab沿轨道滑动的过程中,棒上电源电动势不断增大,通过R的电流不断增大,电容器不断被充电;当棒即将脱离轨道时,R上电流达到最大,C被充电量同时也达到最大.当棒离开轨道时,C放电,所有电荷通过R。CR(1)设ab棒以a为轴旋转到b端刚脱离导轨的过程中,通过R的电量为Q1，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律得:由电流定义I=Q/t得:在这一过程中电容器充电的总电量Q=CUm,Um为ab棒在转动过程中产生的感应电动势的最大值。即解得:（2）当ab棒脱离导轨后C对R放电,通过R的电量为Q2,所以整个过程中通过R的总电量为：Q=Q1+Q2例题2:半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B=0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a=0.4m，b=0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R=2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v0=5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO′的瞬时（如图所示）MN中电动势和流过灯L1的电流。（2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为ΔB/Δt=4T/s，求L1的功率。解析：（1）棒滑过圆环直径OO`的瞬时,MN中的电动势图（1）E1=B2av=0.2×0.8×5=0.8V①等效电路如图（1）所示,流过灯L1的电流I1=E1/R=0.8/2=0.4A②（2）撤去中间的金属棒MN,将右面的半圆环OL2O`以OO`为轴向上翻转90º,半圆环OL1O`中产生感应电动势,相当于电源,灯L2为外电路,等效电路如图（2）所示,感应电动势E2=ΔФ/Δt=0.5×πa2×ΔB/Δt=0.32V③L1的功率P1=(E2/2)2/R=1.28×102W图（1）图（2）例3：如图光滑导轨倾斜放置，其下端连接一个灯泡，匀强磁场垂直于导线所在平面，当ab棒下滑到稳定状态时，小灯泡获得的功率为P0，除灯泡外，其它电阻不计，要使灯泡的功率变为2P0，可行的是[]A．换一个电阻为原来一半的灯泡B．把磁感强度B增为原来的2倍C.换一根质量为原来的倍的金属棒D.把导轨间的距离增大为原来的倍θBabC例4：如图示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为h=0.1m的平行金属导轨MN与PQ，导轨的电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接有一阻值R=0.3Ω的电阻导轨上跨放着一根长l=0.2m，每米长电阻为r=2Ω的金属棒ab，与导轨正交放置，交点为c、d，当金属棒以速度v=4m/s向左作匀速运动时，试求：（1）电阻R中的电流大小和方向；（2）金属棒ab两端的电势差。BRQPNMhladcbv解:画出等效电路如图示,E=1/4×Blv=0.1Vr1=rh=2×0.1=0.2ΩI=2E/(R+r1)=0.4A方向N→QUcd=IR=0.12VUab=Ucd+2E=0.32VE2EERadbcNQ例5：如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动，此时adeb构成一个边长为l的正方形，棒的电阻为r，其余电阻不计，开始时磁感强度为B0，（1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k，同时保持棒静止，求棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向。（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t1秒末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若从t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右作匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B与t关系式）？Bedcabf解：Bedcabf（1）感应电动势感应电流I=E/r=kl2/r方向：逆时针（见右图）（2）t=t1秒时，B=B0+kt1F=BIl（3）总磁通量不变备注：E1为动生电动势，E2为感生电动势二、电磁感应中的动力学问题

电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律，如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要将电磁学和力学的知识综合起来应用。1.解决方法：通电导体在磁场中将受到

作用，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起。解决方法如下：(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向；(2)求回路中的电流；(3)分析导体受力情况(包含安培力在内的全面受力分析)；(4)根据平衡条件或牛顿第二定律列方程。安培力2．两种状态处理(1)导体处于平衡态－－静止或匀速直线运动状态处理方法：根据平衡条件合外力等于零列平衡方程式分析。(2)导体处于非平衡态－－加速度不等于零处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析，或结合功能关系分析。3．电磁感应中的动力学临界问题(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。列式求解(2)基本思路：导体受外力运动

感应电流

E=BLVI=BLV/RF=BIL感应电动势导体受安培力合外力变化加速度变化速度变化临界状态4．两种常见类型例1:水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分析ab的运动情况，并求ab的最大速度。abBRFabBRF分析：ab在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图：f1a=(F-f)/mvE=BLvI=E/Rf=BILFf2最后，当f=F时，a=0，速度达到最大，FfF=f=BIL=B2L2vm/Rvm=FR/B2L2vm称为收尾速度.又解：匀速运动时，拉力所做的功使机械能转化为电阻R上的内能。Fvm=I2R=B2L2vm2/Rvm=FR/B2L2例2：如下图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L。M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图。(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小。(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。例3：如图所示,AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨,两导轨间的距离为L,导轨平面与水平面的夹角是θ.在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B.在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻.一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m,从静止开始沿导轨下滑,求ab棒的最大速度.要求画出ab棒的受力图.已知ab与导轨间的滑动摩擦系数μ,导轨和金属棒的电阻都不计.RθθCABDba解：画出ab棒的截面受力图：aθBNfmgN=mgcosθf=μN=μmgcosθ开始时，ab在mg和f的作用下加速运动，v增大，切割磁感应线产生感应电流I，·感应电流I又受到磁场的作用力F，F合力减小，加速度a减小，速度v增大，I和F增大当F+f=mgsinθ时ab棒以最大速度vm做匀速运动F=BIL=B2L2vm/R=mgsinθ-μmgcosθvm=mg(sinθ-μcosθ)R/B2L2

例4:如图螺线管匝数n=4，截面积S=0.1m2，管内匀强磁场以B1/t=10T/s逐渐增强，螺线管两端分别与两根竖直平面内的平行光滑直导轨相接，垂直导轨的水平匀强磁场B2=2T,现在导轨上垂直放置一根质量m=0.02kg，长l=0.1m的铜棒，回路总电阻为R=5Ω，试求铜棒从静止下落的最大速度.(g=10m/s2)解:螺线管产生感生电动势E1=nSB1/t=4V方向如图示mgF1I1=0.8AF1=B2I1L=0.16Nmg=0.2Nmg>F1ab做加速运动,又产生感应电动势E2,（动生电动势）mgF2当达到稳定状态时,F2=mg=0.2NF2=BI2LI2=1AI2=(E1+E2)/R=(4+E2)/5=1AE2=1V=BLvmvm=5m/s例5：光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的导体棒1、2，给导体棒1以初速度v运动，分析它们的运动情况，并求它们的最终速度.21vB对棒1切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力FE1IFFv1E1=BLv1I=(E1-E2)/2RF=BILa1=F/m对棒2在F作用下做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小E2a2=F/mv2E2=BLv2I=(E1-E2)/2RF=BIL21vtBE1E2FFvtI当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt=1/2v滑轨问题B21Fm1=m2

R1=R2l1=l2B21vm1=m2

R1=R2l1=l2杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为0，以相同速度做匀速运动0vt21开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动21vt0三、电磁感应中的能量问题

电磁感应过程实质是不同形式的能量转化的过程。电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力，因此要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功。此过程中，其他形式的能转化为电能。“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能。

当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能。

同理，安培力做功的过程是电能和其他形式的能转化的过程，安培力做多少功，就有多少能量进行了转化。a.安培力做正功的过程是电能转化为其它形式能量的过程,安培力做多少正功,就有多少电能转化为其它形式能量;安培力做负功的过程是其它形式能量转化为电能的过程,克服安培力做多少功,就有多少其它形式能量转化为电能.b.导体在达到稳定状态之前，外力移动导体所做的功，一部分用于克服安培力做功，转化为产生感应电流的电能或最后转化为焦耳热，另一部分用于增加导体的动能。c.导体在达到稳定状态之后，外力移动导体所做的功，全部用于克服安培力做功，转化为产生感应电流的电能并最后转化为焦耳热.1.知识点：2．求解电能的主要思路a.用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；b.用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能；c.用电路特征求解：通过电路中所产生的电能来计算。3．解决电磁感应现象中的能量问题的一般步骤a.在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源。b.分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。c.根据能量守恒列方程求解。例1：如图质量为m，边长为L的正方形线框，在有界匀强磁场上方h高处由静止自由下落，线框的总电阻为R，磁感应强度为B的匀强磁场宽度为2L。线框下落过程中，ab边始终与磁场边界平行且处于水平方向。已知ab边刚穿出磁场时线框恰好做匀速运动。求：(1)cd边刚进入磁场时线框的速度。(2)线框穿过磁场的过程中，产生的焦耳热。例2：用同种材料粗细均匀的电阻丝做成ab、cd、ef三根导线，ef较长，分别放在电阻可忽略的光滑平行导轨上，如图，磁场是均匀的，用外力使导线水平向右做匀速运动，（每次只有一根导线在导轨上），而且每次外力做功的功率相同，则下列说法正确的是()

A.ab运动得最快B.ef运动得最快C.导线产生的感应电动势相等D.每秒钟产生的热量相等abdfec提示：L指切割磁感应线的有效长度,所以三次的感应电动势相等.P=E2/R=（BLv）2/R

三根电阻丝的电阻Rab＜Rcd＜RefBD例3：竖直放置的平行光滑导轨,其电阻不计,磁场方向如图所示,磁感强度B=0.5T，导体ab及cd长均为0.2m，电阻均为0.1Ω,重均为0.1N,现用力向上推动导体ab,使之匀速上升(与导轨接触良好),此时，cd恰好静止不动，那么ab上升时,下列说法正确的是（

）A．ab受到的推力大小为0.2NB．ab向上的速度为2m/sC．在2s内，推力做功转化的电能是0.4JD．在2s内，推力做功为0.6Jdcba解：cd静止,受力如图：mgF1F1=mg=0.1Nab匀速上升，受力如图：mgFF1F=F1+mg=0.2NF1=BIL=B2L2v/2R=0.1N∴v=2m/sS=vt=4m拉力做功WF=FS=0.8J安培力做功WF1=F1S=0.4JABC例4:如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r的金属棒ab,从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段,圆弧段MN半径为R,所对圆心角为60°,求：（1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？（2）ab棒能达到的最大速度是多大？（3）ab棒由静止到达最大速度过程中,系统所能释放的热量是多少？解析:(1)ab棒由静止从M滑下到N的过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以到N处速度可求,进而可求ab棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流.ab棒由M下滑到N过程中,机械能守恒,故有:解得:进入磁场区瞬间,回路中电流强度为(2)设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F,安培力作用时间为t,ab棒在安培力作用下做减速运动,cd棒在安培力作用下做加速运动,当两棒速度达到相同速度v`时,电路中电流为零,安培力为零,cd达到最大速度.运用动量守恒定律得：

解得：(3)系统释放热量应等于系统机械能减少量,故有

解得：例5：如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。(1)求初始时刻导体棒受到的安培力。(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少？(3)导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？四、电磁感应中的图象问题

图象问题大体可分为两类：①由给出的电磁感应过程选出或画出正确的图象；②由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应物理量．

不管是哪种类型，电磁感应中的图象问题常利用右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等规律分析解决．

电磁感应现象中图象问题分析的关键是：抓住磁通量的变化是否均匀，从而推知感应电动势(电流)是否大小恒定；用楞次定律判断出感应电动势(或电流)的方向，从而确定其正负以及在坐标中的范围．1.解题关键：弄清初始条件，正、负方向的对应，变化范围，所研究物理量的函数表达式，进出磁场的转折点是解决问题的关键。2.解决图象问题的一般步骤①明确图象的种类，即是B­t图还是Φ­t图，或E­t图、I­t图等。②分析电磁感应的具体过程。③用右手定则或楞次定律确定方向对应关系。④结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函数关系式。⑤根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。⑥画图象或判断图象。例1：如右图所示，平行导轨间有一矩:形的匀强磁场区域，细金属棒PQ沿导轨从MN处匀速运动到M′N′的过程中，棒上感应电动势