大学高等数学-05隐函数-微分与习题课

第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率机动目录上页下页返回结束隐函数和参数方程求导

相关变化率

第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是

x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数

.则称此隐函数求导方法:

两边对

x

求导(含导数的方程)机动目录上页下页返回结束例1.

求由方程在x=0

处的导数解:

方程两边对

x

求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数机动目录上页下页返回结束例2.

求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束例3.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x

求导机动目录上页下页返回结束1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:机动目录上页下页返回结束2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对

x求导机动目录上页下页返回结束又如,

对x

求导两边取对数机动目录上页下页返回结束二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个

y

与

x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x

是

y的函数)关系,机动目录上页下页返回结束若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动目录上页下页返回结束?例4.设,且求已知解:练习:P111题8(1)解:注意:机动目录上页下页返回结束例5.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t

的运动速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,则机动目录上页下页返回结束抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向机动目录上页下页返回结束例6.

设由方程确定函数求解:

方程组两边对t

求导,得故机动目录上页下页返回结束

三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动目录上页下页返回结束例7.

一气球从离开观察员500m

处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:

设气球上升t

分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,机动目录上页下页返回结束思考题:当气球升至500m

时停住,有一观测者以100m／min

的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求机动目录上页下页返回结束试求当容器内水例8.

有一底半径为Rcm,高为

hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:

设时刻t容器内水面高度为

x,水的两边对t

求导而故体积为V,则机动目录上页下页返回结束内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于

t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.

求螺线在对应于的点处的切线方程.解:

化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为机动目录上页下页返回结束2.

设求提示:

分别用对数微分法求答案:机动目录上页下页返回结束3.设由方程确定,解:方程两边对x

求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得

求机动目录上页下页返回结束①作业P1101(1),(4);2;3(3),(4);

4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12第五节目录上页下页返回结束求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导备用题1.

设机动目录上页下页返回结束,求解：

2.

设方程组两边同时对t求导,得机动目录上页下页返回结束二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念机动目录上页下页返回结束函数的微分

第二章一、微分的概念

引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其机动目录上页下页返回结束的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,机动目录上页下页返回结束定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即机动目录上页下页返回结束定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则机动目录上页下页返回结束说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当机动目录上页下页返回结束微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束例如,基本初等函数的微分公式(见P115表)又如,机动目录上页下页返回结束二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动目录上页下页返回结束例1.求解:机动目录上页下页返回结束例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意目录上页下页返回结束注意:数学中的反问题往往出现多值性.数学中的反问题往往出现多值性,例如注意目录上页下页返回结束三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:机动目录上页下页返回结束特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得机动目录上页下页返回结束的近似值.解:

设取则例4.求机动目录上页下页返回结束的近似值.解:例5.计算机动目录上页下页返回结束例6.有一批半径为1cm的球

,为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,机动目录上页下页返回结束四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限机动目录上页下页返回结束误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算

y

值时的误差故y

的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,机动目录上页下页返回结束例7.

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算机动目录上页下页返回结束(mm)内容小结1.微分概念

微分的定义及几何意义

可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u

是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.机动目录上页下页返回结束2.机动目录上页下页返回结束5.

设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设且则机动目录上页下页返回结束作业P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);

12习题课目录上页下页返回结束1.已知求解：因为所以备用题机动目录上页下页返回结束方程两边求微分,得已知求解：2.习题课目录上页下页返回结束习题课一、导数和微分的概念及应用机动目录上页下页返回结束二、导数和微分的求法导数与微分

第二章一、导数和微分的概念及应用

导数

:当时,为右导数当时,为左导数

微分

:机动目录上页下页返回结束

关系

:可导可微(思考P124题1)

应用:(1)利用导数定义解决的问题

(3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.机动目录上页下页返回结束例1.设存在,求解:

原式=机动目录上页下页返回结束例2.若且存在,求解:原式=且联想到凑导数的定义式机动目录上页下页返回结束例3.设在处连续,且求解:思考

:

P124题2机动目录上页下页返回结束例4.设试确定常数a,b

使f(x)

处处可导,并求解:得即机动目录上页下页返回结束是否为连续函数?判别:机动目录上页下页返回结束设解:又例5.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.机动目录上页下页返回结束二、导数和微分的求法1.正确使用导