自动控制原理-第六章控制系统的校正与设计

第6章控制系统的校正与设计主要内容：6.1控制系统校正的概念6.2基本控制规律分析6.3串联校正6.4采用频率法进行串联校正6.5采用根轨迹法进行串联校正6.6反馈校正及其参数确定6.7用MATLAB进行控制系统的校正6.1控制系统校正的概念

控制系统——由为完成给定任务而设置的一系列元件组成，其中可分成被控对象与控制器两大部分。综合与校正问题：当将选定的控制器与被控对象组成控制系统后，如果不能全面满足设计要求的性能指标时，在已选定的系统不可变部分基础上，再增加些必要的元件，使重新组合起来的控制系统能够全面满足设计要求的性能指标。

控制系统的校正元件：使系统的控制性能满足设计要求的性能指标而有目的地增添的元件。

控制系统校正的作用：使原系统在性能指标方面缺陷得到补偿。

系统的校正方案：校正元件的形式及其在系统中的位置，以及它和系统不可变部分的联接方式。

串联校正——校正元件与系统不可变部分串接，如图6-1所示，与分别为不可变部分及校正元件的传递函数。图6-1串联校正系统方框图反馈校正——从系统的某个元件输出取得反馈信号，构成反馈回路，并在反馈回路内设置传递函数为的校正元件的校正形式。图6-2反馈校正系统方框图反馈校正作用：能达到与串联校正同样的校正效果，还可减弱系统不可变部分的参数漂移对系统性能的影响。复合控制校正——把前馈控制和反馈控制有机结合起来的校正方法。复合校正中的前馈装置：

扰动补偿输入补偿

按扰动补偿的复合控制系统如图6-3所示。图6-3按扰动补偿的复合控制系统按给定补偿的复合控制系统如图6-4所示。图6-4按给定补偿的复合控制系统控制系统的综合与校正问题和分析问题既有联系又有差异：分析问题——在已知控制系统的结构形式及其全部参数的基础上，求取系统的各项性能指标，以及这些性能指标与系统参数间的关系。综合与校正问题——在给定系统不可变部分基础上，按控制系统应有的性能指标，寻求全面满足性能指标的校正方案，并合理确定校正元件的参数。

6.2.1比例（P）控制规律

P控制器——具有比例控制规律的控制器。

图6-5为P控制器方框图。图6-5P控制器方框图6.2基本控制规律分析6.2.2比例加微分（PD）控制规律

PD控制器——具有比例加微分控制规律的控制器。

PD控制器的方框图如图6-6所示。

图6-6PD控制器方框图

图6-7所示为PD控制器对于匀速信号的响应过程中微分控制规律相对比例控制规律所具有的预见性。图6-7微分控制规律的预见性

例6.1：设具有PD控制器的控制系统方框图如图6-8所示。试分析比例加微分控制规律对该系统性能的影响。

图6-8控制系统方框图解：无PD控制器时，给定系统的特征方程为从特征方程看出，该系统的阻尼比等于零。其输出信号具有不衰减的等幅振荡形式，系统处于临界稳定，即实际上的不稳定状态。加入PD控制器后，从图6-6求得给定系统的特征方程为这时的阻尼比，因此闭环系统是稳定的。这是因为PD控制器的加入提高了给定系统的阻尼程度，使特征方程s项系数由零提高到大于零的，而且给定系统的阻尼程度可通过PD控制器的参数及来调整。6.2.3积分（I）控制规律

I控制器——具在积分控制规律的控制器。I控制器的方框图如图6-9所示。

图6-9I控制器方框图或

6.2.4比例加积分（PI）控制规律PI控制器——具有比例加积分控制规律的控制器。PI控制器的方框图如图6-10所示。图6-10PI控制器的方框图

PI控制器对单位阶跃信号的响应如图6-11所示。图6-11PI控制器的输入、输出信号

6.2.5比例加积分加微分（PID）控制规律

比例加积分加微分控制规律——由比例、积分、微分基本控制规律组合而成的复合控制规律。PID控制器运动方程为：

PID控制器的方框图如图6-12所示。图6-12PID控制器的方框图6.3串联校正传递函数：上式中，若则是高通滤波器或相位超前校正装置；若则为低通滤波器或相位滞后校正装置。

6.3.1超前补偿串联补偿网络频率特性具有正的相位角，就称为超前补偿网络。传递函数：

在s平面上，相位超前网络传递函数的零点与极点位于负实轴上，如图6-13所示。0σ×jω图6-13相位超前网络的零、极点分布图6-14相位超前校正网络的伯德图+20

相位超前网络的相角可用下式计算：

利用的条件，可以求出最大超前相角的频率为：

上式表明，是频率特性的两个交接频率的几何中心。由以上两式可以推知：

或图6-16最大超前相角m与的关系1图6-16最大超前相角与的关系1图6-16最大超前相角m与的关系1

6.3.2采用频率法设计超前校正

基本原理：利用超前校正网络的相角超前特性去增大系统的相角裕度，以改善系统的暂态响应。

超前校正设计步骤按期望开环放大倍数K、系统型别v。绘制固有部分的开环幅频特性20lg|G0H|。确定校正后系统应满足的频域指标c、等。如果20lg|G0H|在要求的c频段内斜率为-40dB/dec数值略小于0dB，则考虑用超前补偿。计算补偿网络提供的超前相角Gc=-(180+G0H)。若Gc<65则可采用超前校正。绘制补偿后的对数幅频特性20lg|GeH|=20lg|GcG0H|

20lg|Gc|，并求出补偿网络参数、T。系统校验，校正后系统是否满足性能指标要求。R(s)E(s)Y(s)3020100-10-20-3011010023203026dB-20-40可采用超前校正增加相角裕度3020100-10-20-3011010023203026dB-20-4045694.4-203020100-10-20-3011010023203026dB-20-4045694.4-20-4018.4

6.4.1超前校正

基本原理：利用超前校正网络的相角超前特性去增大系统的相角裕度，以改善系统的暂态响应。

用频率特性法设计串联超前校正装置的步骤：（1）根据给定的系统稳态性能指标，确定系统的开环增益；（2）绘制在确定的值下系统的伯德图，并计算其相角裕度；（3）根据给定的相角裕度，计算所需要的相角超前量上式中；（4）令超前校正装置的最大超前角，并按下式计算网络的系数值（5）将校正网络在处的增益定为，同时确定未校正系统伯德曲线上增益为处的频率即为校正后系统的剪切频率；（6）确定超前校正装置的交接频率（7）画出校正后系统的伯德图，验算系统的相角稳定裕度。不符要求，可增大值，并从第3步起重新计算；（8）校验其他性能指标，必要时重新设计参量，直到满足全部性能指标。

例6.2：设І型单位反馈系统原有部分的开环传递函数为要求设计串联校正装置，使系统具有及的性能指标。解：当时，未校正系统的伯德图如图6-23中的曲线，可以计算出其剪切频率。由于伯德曲线自开始以-40dB/dec的斜率与零分贝线相交于，故存在下述关系：由于故

图6-23例6.2系统的伯德图于是未校正系统的相角裕度为

为使系统相角裕量满足要求，引入串联超前校正网络。在校正后系统剪切频率处的超前相角应为

因此

在校正后系统剪切频率处校正网络的增益应为

根据前面计算的原理，可以计算出未校正系统增益为处的频率即为校正后系统之剪切频率，即

于是或

校正网络的两个交接频率分别为

经过超前校正后，系统开环传递函数为

其相角稳定裕度为符合给定相角裕度40º的要求。

在频域中设计校正装置实质是一种配置系统滤波特性的方法。设计依据的指标是频域参量。频率特性法设计校正装置主要是通过伯德图进行的。用伯德图设计校正装置后，需要检验性能指标是否满足。6.3.2滞后校正装置

相位滞后校正装置可用图6-17所示的RC无源网络实现，假设输入信号源的内阻为零，输出负载阻抗为无穷大，可求得其传递函数为：式中：

R2R1u1u2C图6-17相位滞后RC网络

在s平面上，相位滞后网络传递函数的零点与极点位于负实轴上，如图6-18所示。其中极点靠近坐标原点，零、极点之间的比值为，改变及值，能改变零、极点位置。0σ×jω图6-18相位滞后网络的零、极点分布图6-17所示的相位滞后校正装置的频率特性为：

其伯德图如图6-19所示。-10-200-20°0-40°-60°图6-19相位滞后校正网络的伯德图与相位超前网络类似，相位滞后网络的最大滞后角位于图6-21还表明相位滞后校正网络实际是一低通滤波器，它对低频信号基本没有衰减作用，但能削弱高频噪声，值愈大，抑制噪声的能力愈强。通常选择较为适宜。一般可取与的几何中心处。6.3.3滞后-超前校正装置相位滞后-超前校正装置可用图6-20所示的网络实现。设此网络输入信号源内阻为零，输出负载阻抗为无穷大，则其传递函数为：

式中：

C1R2R1u1u2C2图6-20相位滞后-超前RC网络若适当选择参量，使上式具有两个不相等的负实数极点，则上式可以改写为

在s平面上，相位滞后-超前网络传递函数的零、极点位于负实轴上，如图6-21所示。滞后部分的极、零点更靠近坐标原点。0σ×jω×图6-21相位滞后-超前网络零、极点分布相位滞后-超前校正网络的频率特性为：

相应的伯德图如图6-22所示。由图可见，在由0增至的频带中，此网络有滞后的相角特性，在由增至∞的频带内，此网络有超前的相角特性，在处，相角为零。图6-22相位滞后-超前网络的伯德图6.4采用频率法进行串联校正

在频域中设计校正装置实质是一种配置系统滤波特性的方法。设计依据的指标是频域参量。频率特性法设计校正装置主要是通过伯德图进行的。用伯德图设计校正装置后，需要检验性能指标是否满足。

6.4.1超前校正

基本原理：利用超前校正网络的相角超前特性去增大系统的相角裕度，以改善系统的暂态响应。

用频率特性法设计串联超前校正装置的步骤：（1）根据给定的系统稳态性能指标，确定系统的开环增益；（2）绘制在确定的值下系统的伯德图，并计算其相角裕度；（3）根据给定的相角裕度，计算所需要的相角超前量上式中；（4）令超前校正装置的最大超前角，并按下式计算网络的系数值（5）将校正网络在处的增益定为，同时确定未校正系统伯德曲线上增益为处的频率即为校正后系统的剪切频率；（6）确定超前校正装置的交接频率（7）画出校正后系统的伯德图，验算系统的相角稳定裕度。不符要求，可增大值，并从第3步起重新计算；（8）校验其他性能指标，必要时重新设计参量，直到满足全部性能指标。

例6.2：设І型单位反馈系统原有部分的开环传递函数为要求设计串联校正装置，使系统具有及的性能指标。解：当时，未校正系统的伯德图如图6-23中的曲线，可以计算出其剪切频率。由于伯德曲线自开始以-40dB/dec的斜率与零分贝线相交于，故存在下述关系：由于故

图6-23例6.2系统的伯德图于是未校正系统的相角裕度为

为使系统相角裕量满足要求，引入串联超前校正网络。在校正后系统剪切频率处的超前相角应为

因此

在校正后系统剪切频率处校正网络的增益应为

根据前面计算的原理，可以计算出未校正系统增益为处的频率即为校正后系统之剪切频率，即

于是或

校正网络的两个交接频率分别为

为补偿超前校正网络衰减的开环增益，放大倍数需要再提高1/a=3倍。经过超前校正后，系统开环传递函数为

其相角稳定裕度为符合给定相角裕度40º的要求。

6.4.2滞后校正

串联滞后校正装置的作用：（1）提高系统低频响应的增益，减小系统的稳态误差，同时基本保持系统的暂态性能不变。（2）滞后校正装置的低通滤波器特性，将使系统高频响应的增益衰减，降低系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。

用频率特性法设计串联滞后校正装置的步骤：（1）根据给定的稳态性能要求去确定系统的开环增益；（2）绘制未校正系统在已确定的开环增益下的伯德图，并求出其相角裕度；（3）求出未校正系统伯德图上相角裕度为处的频率。其中是要求的相角裕度，而则是为补偿滞后校正装置在处的相角滞后。即是校正后系统的剪切频率；（4）令未校正系统的伯德图在处的增益等于，由此确定滞后网络的值；（5）按下列关系式确定滞后校正网络的交接频率（6）画出校正后系统的伯德图，校验其相角裕度；（7）必要时检验其他性能指标，若不能满足要求，可重新选定值。但值不宜选取过大，只要满足要求即可，以免校正网络中电容太大，难以实现。例6.3：设有Ⅰ型系统，其未校正系统原有部分的开环传递函数为试设计串联校正装置，使系统满足下列性能指标：解：以代入未校正系统的开环传递函数中，并绘制伯德图如图6-24所示，可以算得未校正系统的剪切频率。图6-24例6.3系统的伯德图由于在处，系统的开环增益为20lg5dB，而穿过剪切频率的系统伯德曲线的斜率为-40dB/dec，所以

相应的相角稳定裕度为

说明未校正系统是不稳定的。或

计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为由于或则可解得此值符合系统剪切频率的要求，故可选为校正后系统的剪切频率，即选定

时的频率。

当时，令未校正系统的开环增益为从而求出串联滞后校正装置的系数。由于未校正系统的增益在时为，故有

于是选选定

则

，

于是，滞后校正网络的传递函数为

故校正后系统的开环传递函数为

校验校正后系统的相角稳定裕度

还可以计算滞后校正网络在时的滞后相角从而说明取是正确的。

6.4.3滞后-超前校正

串联滞后—超前校正的设计步骤：（1）根据稳态性能要求确定开环增益。（2）绘制待校正系统的对数幅频特性，求出待校正系统的截止频率、相角裕度及幅值裕度。（3）在待校正系统对数幅频特性上，选择校正网络超前部分的交接频率。

（4）根据响应速度要求，选择系统的截止频率和校正网络衰减因子。（5）根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的交接频率。（6）校验已校正系统的各项性能指标。6.4.4按系统期望频率特性进行校正

系统期望特性——通常是指满足给定性能指标的系统开环渐近幅频特性。由于这种特性只通过幅频特性来表示，而不考虑相频特性，故期望特性概念仅适用最小相位系统。根据给定性能指标绘制系统期望特性的步骤（1）根据对系统型别及稳态误差要求，通过性能指标及开环增益绘制期望特性的低频区特性。

（2）根据对系统响应速度及阻尼程度要求，通过剪切频率及相角裕度，中频区宽度及中频区特性的上下限角频率与绘制期望特性的中频区特性。中频区宽度由根据近似式确定。如果给定的频域指标为闭环幅频特性的相对谐振峰值及谐振频率，或截止频率，首先由近似式解出，再由近似式将指标转换为指标。为确保系统具有足够的(如+45°左右)相角裕度，取中频区特性斜率等于-20dB/dec。

（3）绘制期望特性的低、中频区特性间的过渡特性，其斜率一般取-40dB/dec。（4）根据对系统幅值裕度及抑制高频干扰的要求，绘制期望特性的高频区特性。（5）绘制期望特性的中、高频区特性间的过渡特性，其斜率一般取-40dB/dec。6.5采用根轨迹法进行串联校正

应用根轨迹法设计校正装置的出发点：经校正后的闭环控制系统具有一对主导共轭复数极点，系统的暂态响应主要由这一对主导极点的位置所决定。

6.5.1超前校正串联相位超前校正装置如图6-25所示。图中是原有部分的传递函数，是串联相位超前校正装置的传递函数。图6-25串联校正控制系统方框图

用根轨迹法设计串联相位超前校正装置步骤：（1）根据给定的系统性能指标求出相应的一对期望闭环主导极点，如图6-26所示之。

图6-26闭环主导极点（2）绘制未校正系统的根轨迹图。超前校正装置的零、极点应提供的超前角将如图6-27中所示的角。

图6-27超前校正的相角关系对于给定的角，校正装置的零、极点位置不是唯一的。通常可根据未校正系统的零、极点位置和校正装置易于实现等因素去确定，也可以从使系数为最大去确定校正装置的零、极点位置。由图6-27可以得到：

于是

令

则得最后尚需校验一对主导极点的主导作用，若不能满足要求，就应重新确定校正装置的零、极点的位置。例6.4：设有Ⅰ型系统，其原有部分的开环传递函数为

要求校正后系统的阻尼比及无阻尼自然振荡频率分别为及，试设计串联校正装置。解：根据给定的性能指标，可以确定系统期望闭环极点为。图6-28给出了未校正系统的根轨迹，它位于期望闭环主导极点之右而不能通过主导极点。图6-28校正前系统的根轨迹

因此，可以引入串联相位超前校正装置，使根轨迹向左移动。根据图6-29可求出超前校正网络的超前角为

图6-29超前校正网络零、极点的确定由图6-29可见，开环极点之一位于期望闭环极点垂线下的负实轴上，如令校正装置的零点置于靠近它的左面。如，这样选择补偿零点常能保证主导极点的主导作用。考虑到的要求，从作图知，取。经过校正后，系统的开环传递函数为图6-30校正后系统的根轨迹根轨迹图则如图6-30所示。

根据与开环传递函数零、极点之间的距离，可以算出经过校正后，闭环系统的传递函数为系统的单位脉冲响应为

6.5.2滞后校正

适用范围：系统有较为满意的暂态响应，但稳态性能有待提高时。把滞后校正装置的零、极点设置在s平面上靠近坐标原点处，并使它们之间的距离很近，如图6-31所示。用根轨迹法设计串联相位滞后校正装置的方法与设计串联相位超前校正装置类似。图6-31滞后校正网络零、极点的确定例6.5：设系统原有部分的传递函数与例6.4一样。即要求设计串联校正装置以满足下列性能指标：，K≥5。解：求出无阻尼自然振荡频率为

于是，期望闭环主导极点为

图6-32给出了未校正前系统的根轨迹，它穿过了期望闭环主导极点。可以认为系统不需另加校正装置，其暂态性能已满足要求。进一步计算当闭环极点为时系统的开环增益。由图6-36可知故未校正系统的开环增益为

图6-32校正前系统的根轨迹据此，可加入串联滞后校正装置。为满足给定的开环增益，要求滞后校正装置的系数为留有余地，现选。从引一直线，使其与线的夹角小于10°，现取6°。此直线与负实轴之交点即为，相应的极点应为。于是，校正后系统的开环传递函数为

图6-33校正后系统的根轨迹图6-33给出了校正后的根轨迹。

如欲保证闭环系统的主导极点之阻尼不变，则主导极点的位置将略有改变，向右下方移至。相应的。这意味着调整时间将略有增加。对应于闭环极点为时的值可由图6-31求得为相应的开环增益为

满足给定性能指标。6.6.1反馈的功能

反馈的功能：比例负反馈可以减弱为其包围环节的惯性，从而将扩展该环节的带宽。负反馈可以减弱参数变化对系统性能的影响、消除系统不可变部分中不希望有的特性、削弱非线性影响。正反馈可以提高反馈环路的增益。6.6反馈校正及其参数确定

6.6.2采用根轨迹法确定反馈校正参数以带速度反馈的位置随动系统为例说明基于根轨迹法确定反馈校正参数的步骤。

例6.6设含速度反馈的位置随动系统方框图如图6-34所示。图6-34含速度反馈的位置随动系统方框图

图6-35所示为测速反馈电路图。应用根轨迹法确定反馈校正参数及T。RC图6-35测速反馈电路图解：测速反馈通道的传递函数为：其中为测速发电机的增益，为无源校正网络的时间常数。给定系统的开环及闭环传递函数分别为：

从闭环传递函数求得给定系统的特征方程为：于是用来确定反馈校正参数T的根轨迹方程由给定系统的闭环特征方程求得为

或写成

（1）按根轨迹方程绘制以T为参变量的参量根轨迹所依据的“开环”极点由方程确定。应用根轨迹法求得的根轨迹方程为其中以为参变量。绘制的根轨迹图如图6-36所示。

图6-36根轨迹图根据给定性能指标对开环增益的要求值确定出应取的量值。然后，在图6-36所示根轨迹图上找出满足要求值的“开环”极点p1、p2、p3。（2）按根轨迹方程绘制以T为参变量的参量根轨迹所依据的“开环”零点由方程确定。

式中零点。其余三个零点、、可由根轨迹方程来确定。根轨迹图如图6-37所示。（3）最后，根据“开环”极点p1、p2、p3及开环零点、、绘制以反馈校正参数T为参变量的根轨迹图，如图6-38所示。

图6-37根轨迹图图6-38含速度反馈的随动系统根轨迹图

相位超前和滞后校正装置通常可以等效地表示为由电阻和电容元件构成的无源网络形式，这样的网络又称为RC网络。

串联校正装置主要有3种形式：相位超前校正相位滞后校正相位滞后-超前装置。6.7用MATLAB进行控制系统的校正6.7.1相位超前校正相位超前校正装置的一般公式为：一般来说，超前补偿使系统的相角裕量增加，从而提高系统的相对稳定性。对于给定的系统增益K，超前补偿增加了系统的稳态误差。为减小稳态误差，必须使用大增益的校正装置。

相位超前装置的零极点位置如图6-39所示。图6-39相位超前补偿器的零极点位置例6.7：单位负反馈系统开环传递函数为：设计校正装置，使系统的阶跃响应超调量，调整时间，开环增益解：单位速度输入时系统稳态误差系数为：

欲使，则

MATLAB程序如下：k=20;num=k;den=[120