大学物理-角动量守恒定律

角动量变化定理和角动量守恒1.质点的角动量2.质点角动量变化定理3.质点系角动量变化定理和角动量守恒定律11质点的角动量质点对O点的角动量：角动量的大小：

右手螺旋定则：右手四指由r经小于180角转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。

必须指明是对哪个点而言的

2(2)的大小在0~之间变化，如果把动量分解为径向分量和横向分量，则仅横向分量才对角动量有贡献。一般情形下，和都是变化的，所以没有确定的方向，但任一时刻，总垂直于和所确定的平面。在直角坐标系下，的三个分量为：注意两点：(1)质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此

对不同的参考点，角动量不同;3作圆周运动质点对O点的角动量的方向垂直于圆周平面，大小为把过O点并垂直于圆周平面的直线当成

转轴，上式表示质点绕该轴转动的角动量。4直线运动的角动量若质点m沿直线运动，任一时刻相对于参考点o的矢径为，动量为，如下图。在计算其角动量时，注意有两个特点：

(1)o点到方向的垂直距离不变;(2)方向不变;假如的大小也不变，

显然的大小不变。这表

明，自由质点对任意参考

点的角动量保持不变。51.5.2质点角动量定理质点对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点所受合力对该固定点的力矩力矩：方向用右手螺旋定则判断，大小为6证明：牛顿定律角动量定理因，则有即7质点角动量守恒定律：当质点不受力，或所受合力矩M=0时，常矢量质点角动量的大小和方向都保持不变。

【例1.20】开普勒第二定律：行星相对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。

在微观物理现象中，角动量守恒起到十分重要的作用。8

设t时刻，行星在点，时刻在点，矢径扫过的面积为dA，由于dt很小，该面积近似为一三角形面积，即式中，就是三角形的高，ds是三角形底边长度，也就是行星在dt时间内运动的距离，这样9而行星的角动量大小恒定，所以常量如果一个力的方向始终指向某一点，这力称为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的力矩恒为0，因此，在有心力作用下的质点对力心的角动量守恒。这就是开普勒第二定律。10

质点系角动量变化定理和角动量守恒定律1.质点系角动量2.质点系角动量变化定理质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点系所受对该固定点的合外力矩合外力矩：11证明：对第i个质点应用角动量定理

对i求和任意一对内力的力矩之和为零：

内力总成对出现，则质点系所受合内力矩等于零，对总角动量没有影响。123.角动量守恒定律如果质点系所受合外力矩，则，常矢量

实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的过程，都遵守角动量守恒定律。13【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球，开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。k解质心C点固定不动，相对C点系统的角动量守恒。系统：弹簧和小球初始时刻角动量：14弹簧达到最大长度时，小球只能沿垂直于弹簧轴线方向运动，则系统的角动量机械能守恒：15

例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A

(该点在通过环心O的水平面上)，然后从A点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点B

时对环心O

的角动量和角速度．16解小球受力、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理得：17考虑到得18质点：园周运动：质点系：园周运动：角动量定理：合外力矩为0，角动量守恒。19二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1刚体定轴转动的角动量O202刚体定轴转动的角动量定理由于刚体转动惯量为一常量所以即称刚体定轴转动的角动量定理21非刚体定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若=常量对定轴转的刚体，受合外力矩M，从到内，角速度从

变为

，积分可得：22

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.讨论

在冲击等问题中常量23许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水点击图片播放24

刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。252627自然界中存在多种守恒定律动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等28例1一均质棒，长度为L，质量为M，现有一子弹在距轴为y处水平射入细棒，子弹的质量为m,速度为v0

。求子弹细棒共同的角速度

。其中m讨论解子弹、细棒系统的动量矩守恒

水平方向动量守恒？29例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为M、长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质量为m的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度v及杆的转动角速度。解：在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒，（1）30弹性碰撞动能守恒，（2）其中联立(1)、(2)式求解31例3摩擦离合器飞轮1：J1、

w1摩擦轮2：J2

静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒解：试与下例的齿轮啮合过程比较。2132两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：解：12

例4两圆盘形齿轮半径r1、r2，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1、J2，开始1轮以转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。33得：1234例5质量很小长度为l

的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4处，并背离点O

向细杆的端点A

爬行．设小虫与细杆的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O35解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒36由角动量定理考虑到37例6一杂技演员M由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh38设跷板是匀质的，长度为l，质量为

，跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动，演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．解碰撞前M落在A点的速度碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度39M、N和跷板组成的系统，角动量守恒ll/2CABMNh40解得演员N以u起跳，达到的高度：41.0v解：碰撞前的瞬间杆对点的角动量为.求：杆在碰撞前后的瞬时绕点转动的角速度。(细杆绕通过其端点且与其垂直的轴转动时转动惯量为)例7：一匀质细杆长为质量为，以与杆长垂直的速度在光滑水平面内平动时与前方一固定光滑支点发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于杆中心的一方处如图所示L21L21L式中为杆的线密度42碰撞后瞬间杆对点的角动量为因碰撞前后角动量守恒，所以43Rvrw例8：在半径为R的具有光滑竖直轴的水平园盘上，有一人静止站立在距转轴处，人的质量是园盘质量的，开始时盘载人相对地以角速度匀速转动，如果此人垂直园盘半径相对于盘以速率沿与盘转动相反方向作园周运动如图所示。巳知园盘对中心轴的转动惯量为，求：(1)园盘对地角速度;(2)欲使园盘对地静止,人沿着园周对园盘的速度的大小及方向？1/10,R/2

0w44解(1)设当人以速度沿相对园盘转动相反的方向走动时，园盘对地转动的角速度为，则人对与地固联的

转轴的角速度为人与盘视为一个系统，对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒。设盘的质量为，则人的质量为,(1)(2)将(1)式代入(2)式得：(3)45(2)欲使盘对地静止则(3)式必为零即,.得：2/210wRv-=(式中负号表示人的走动方向与上一问中人的走动

方向相反,即与盘的转动方向一致)。46ORMm0v例:一质量均匀分布的园盘，质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上,园盘可绕过其中心O的竖直固定光滑轴转动.开始时,园盘静止,一质量为m的子弹以水平速度垂直于园盘半径打入园盘边缘并嵌在盘边上,求(1)子弹击中园盘后,园盘获得的角速度；(2)经过多少时间后,园盘停止转动？(忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)47(1)以子弹和园盘为系统，在子弹击中园盘的过程中对轴的角动量守恒O(2)设为园盘单位面积的质量，可求出园盘所受水平面的摩擦力矩的大小为s48根椐角动量定理，有解得,设经过时间园盘停止转动,tD49例3.2.3重力有一特点，地球上任一物体受到的重力都指向地心;同样，在点电荷产生的静电场中，其他点电荷受到的作用力都指向场源电荷。人们把物体所受的指向一固定点的力称为有心力，把对应的力场称为有心力场。证明：(1)在有心力作用下运动的物体，角动量守恒;(2)所有有心力都是保守力，因而有心力场中运动质点机械能守恒;(3)在与距离成平方反比的有心力场中，龙格-楞次矢量守恒;(4)平方反比力场中质点的运动一定满足开普勒运动。50证明：(1)在有心力场中，质点只受到有心力作用，有心力对力心的力矩始终为0，故质点角动量守恒;(2)如图所示，质点受到的有心力指向坐标原点，于是有心力可表示为质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做功为(1)(2)51由式(2)可知，有心力是保守力，它做功只与质点始末位置有关，因此，也可以引入相应势能(3)将产生有心力场的