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第四章级数1复数项级数2.幂级数4.洛朗级数3.泰勒级数1、复数列的极限：解:2、复数项级数：举例考察数列的敛散性考察级数的敛散性考察级数的敛散性考察级数的敛散性复习掌握一、正项级数收敛法：第四章级数1复数项级数2.幂级数4.洛朗级数3.泰勒级数一、复变函数项级数：二、幂级数：举例求级数的敛散半径求级数的敛散半径第四章级数1复数项级数2.幂级数4.洛朗级数3.泰勒级数幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数。研究：一个解析函数(单连通域）是否能用幂级数来表达？问题：泰勒级数可以将解析函数展开为幂级数，但这样的展开式是否唯一呢？

结论1、任何解析函数（在单连通域内）展开成幂级数的结果就是泰勒级数，并且是唯一的。实变函数不易理解的问题:复变函数很明显:只对|x|<1成立二、求解析函数泰勒展开式的方法：

直接用泰勒展开定理，根据函数的导数求系数。1、直接法：例1：2、间接法：a、借助一些常用函数的泰勒展开式（唯一性）例2：b、运用幂级数的性质（导数、积分）例3：例4：练习：第四章级数1复数项级数2.幂级数4.洛朗级数3.泰勒级数一、讨论下列双边级数：1、双边级数可以分为两部分：

2、双边级数收敛性：

收敛性：当且仅当正幂项与负幂项都收敛时，级数才收敛。收敛区域：为圆环域3、双边级数性质：

在收敛圆环域内，和函数是解析函数；可以逐项求导；逐项求积分。级数的正整次幂部分称为解析部分；级数的负整次幂部分称为主要部分；三、应用和性质：

1、唯一性：一个在圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，就是它的洛朗级数。

2、函数展开中的应用：一般当函数在不解析，但在的去心邻域内处处解析，函数的级数展开为洛朗级数。

洛朗级数与泰勒级数的关系:四、洛朗级数展开的求法：（1）直接法：由定义求太繁杂，一般不用。（2）间接法：

借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的性质、代数运算、复合运算、求导和积分等得到解析函数的洛朗展开式。在计算闭路积分中的应用第四章小结1、复数项级数收敛:

(1)复数列 收敛的充要条件:同时收敛.(2)复级数:

收敛的充要条件:同时收敛.(3)复级数绝对收敛:

绝对收敛的充要条件:同时绝对收敛.

2、幂级数：

(1)Abel定理:收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发散,圆上不定.(2)收敛半径求法:(3)性质:和函数在收敛圆内:解析,可逐项求导,可逐项积分.

3、泰勒级数:定理:在以为中心的圆域内解析的函数f(z)，可以在该圆域内展开成的幂级数。

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