计算机控制系统北航自动化第6章状态空间设计-1

计算机控制系统北京航空航天大学2010年3月第6章

计算机控制系统的状态空间设计

6.1离散系统的状态空间描述6.2离散系统的可控可观性6.3状态反馈控制律的极点配置设计6.4状态观测器设计6.5调节器设计（控制律与观测器的组合）状态空间方法与经典方法1.经典控制适用于SISO（单输入／单输出）系统，用传递函数G(z),G(s)描述，设计是工程、试凑方法根轨迹设计(s,z)、Bode图设计(s=j,G=ejTW’)优点：极点位置、频带与系统特性直接相关局限性：无法设计MIMO（多输入／多输出）系统，多回路系统设计复杂2.状态空间方法矩阵概念，微分方程、差分方程描述，适用于MIMO系统控制方法多样化：自适应、最优、非线性、鲁棒分析方法：可控可观性，矩阵理论，线性空间，泛函仍然要用到经典理论中的基本概念：根轨迹、频带便于利用智能控制方法线性连续系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述6.1.1由G(z)建立状态方程例：(1)串行法状态方程：两个环节串联(2)并行法（部分分式法）矩阵形式：A、B、C矩阵都与串行法不同(3)直接实现：Z-1的形式，分子阶数低于分母令：有：选：状态方程：几种方法的ABC阵不同阶数相同实现的传递函数相同输入输出关系相同（4）由差分方程建立状态方程有很多种方法：可控标准型，可观标准型，标准型等介绍一种方法，以n阶SISO系统为例选状态变量：式中：离散状态方程：（4）由差分方程建立状态方程例：求：F,G,C,D解：得离散状态方程：状态变量选择不同，可得到不同的状态方程和输出方程。状态变量的个数与系统阶数相同输入和输出关系不变离散系统的特征方程相同z特征方程,其根为F的特征值，也是线性离散系统的极点。6.1.3采样系统的状态方程采样系统：由连续系统采样产生的离散系统，采样后带有零阶保持器，保证采样输出在一个采样周期内不变连续系统状态方程：方框图：连续状态方程的解：eAt－状态转移阵离散状态方程考虑一个采样周期T，设：由连续方程的解：由于被控对象输入为ZOH的输出，u(t)=常值,kTt(k+1)T，因此，u(t)可以作为常值提到积分外面令（k+1)T-=,d=-d,即由kT(k+1)T,由T0

F、G矩阵的求解(1)级数展开法

若A-1存在若A-1不存在,用级数求，或MATLAB指令exp(AT)F、G矩阵的求解(2)拉氏变换法

该方法可求得F阵的解析解形式6.1.4脉冲传递函数阵多变量系统用脉冲传递函数矩阵Z变换：当x0=0,H—脉冲传递函数矩阵Hij(z)—第i个输出对第j个输入的z传递函数

6.1.5离散状态方程求解（1）递推法由x(0)引起由输入u引起（2）Z变换法例：T＝0.1求：离散状态方程解：(1)控制器部分设：(2)连续部分

先求A,B，再求F,G

得连续状态方程：离散化：(3)反馈部分代入控制器第6章

计算机控制系统的状态空间设计

6.1离散系统的状态空间描述6.2离散系统的可控可观性6.3状态反馈控制律的极点配置设计6.4状态观测器设计6.5调节器设计（控制律与观测器的组合）6.2离散系统的可控可观性系统的可控可观性是系统的基本特性，反映了系统的本质

可控：可以设计控制律，改善系统特性

可观：可以设计观测器，估计状态6.2.1可控性与可达性可控性定义：

对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达状态x(N)=0，则称该系统是状态完全可控的。可达性定义：对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)

，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。(6-1)系统可控不等于可达，但可达一定可控判断可控、可达性解：

对任意控制序列u(k)，x(2)=x(3)=…=x(k)0,系统可控

对任意控制序列u(k)，不存在x(N)0,系统不可达可达肯定可控（x(N)＝0是任意x(N)的特例

）例：离散系统可控可达应满足的条件1.可达性条件利用迭代法

为使惟一存在，应满足下述充分必要条件：（1）x是n维向量，N=n，对n阶系统，至少有N步控制（2）必须满足：可得控制序列：WR－可达阵离散系统可控及可达应满足的条件2.可控性条件为使上述线性方程组有解，必须若F是可逆的，则或N=n可控阵系统状态完全可控的充分必要条件，与连续系统条件一致可控性与可达性一致由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，故采样系统的可达性与可控性一致。若F-1不存在，用定义判。可控性由系统结构决定，不能通过改变状态变量、顺序或增加控制序列来改变X(N)=0可控性与可达性都描述了系统的结构特性，两者之间略有差别。对于采样系统，可控性与可达性是等价的，可用可达性矩阵判断可控性与可达性。对于纯离散系统，若F是可逆的，可控性与可达性等价。若F是奇异的，系统可控不一定可达；系统可达则一定可控，这时应当用定义去判断系统的可控性与可达性。系统可控性是由系统结构决定的，简单地改变状态变量的选取或增加控制序列的步数都不能改变系统可控性。如果系统不可控，也就没有必要去寻求控制作用，惟一的办法是修改系统结构和参数，使F、G构成可控对。如果n阶系统可控，一般在至多n个采样周期内即可找到所需控制序列。但前提是控制序列不受限。离散系统可控及可达的有关说明需要指出的是，即使系统是可控的，只有当控制信号的幅值不受限制时，才能确保在至多n个采样周期内将任意初始状态转移到原点。否则，可能会需要更多的采样周期。例：分析下图所示系统的可控性，设采样周期T=1s。若控制量，情况又如何？

解：连续系统状态方程为

因此，该系统是可控的，在控制量u(k)不受限制情况下，至多需要2个采样周期即可将任意初始状态x(0)转移到原点若u(k)幅值受限，|u(k)

|<=1,此时若仍要求，离散状态方程

只有当初始状态x1(0)和x2(0)都处于平行四边形内部时，才可保证在两个采样周期内将系统初始状态转移到原点；当初始状态处于四边形的外部时，则可能需要更多个采样周期才能将初始状态转移到原点。

6.2.2可观性与可重构性一般系统的输出维数p<n状态的维数，不是全部状态可测量有时候需要用输出量构造状态量（状态观测器），条件是系统可观应用广泛：传感器故障下的状态量估计，利用输出量估计状态量的值，实现全状态反馈

信息重构6.2.2可观性与可重构性可观性定义：如果可以利用系统输出y(k)，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(0)，则称该系统是可观的。

系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制无关，为此，以后可只研究系统的自由运动：离散系统：6.2.2可观性可观性判据：离散系统：

已知

，为使x(0)有解，要求：

(1)N＝n，利用y的N步值(2)唯一确定x(0)是系统可观的充分必要条件由y可以确定x(0),从而可以唯一确定x(N)系统可观，一定可重构F-1存在时，可观＝可重构采样系统F=eAT,F-1存在以后只讲可控，可观，不再讲可达，可重构可重构性定义：如果可以利用系统输出y(k)，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(N)，则称该系统是可重构的。X(N)可探测,但不一定知道全部x（0…k）的值例：研究可观性解：令离散：系统可观若：系统不可观已知，求可微分或差分唯一得到已知，求，需要积分，解不唯一，所以不可观6.2.3可控可观性与系统结构的关系1.与传递函数的关系系统组成部份S1:可控可观S2:不可控不可观S3:可控不可观S4:可观不可控系统脉冲传函传递函数只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。离散状态方程(1)若分子和分母无相消因子，则系统的状态完全可控(3)若分子和分母无相消因子，则系统的状态完全可控可观。若有相消，则可能是状态不完全可控，也可能是状态不完全可观，也可能是状态既不完全可控又不完全可观。(2)若分子和分母无相消因子，则系统的状态完全可观系统不完全可控可观：G(z)中发生了零极对消一个n阶系统，G(z)有p<n个极点时，一定有零极对消例：研究可控可观性解：可控阵若可控：可观阵：当b=a+1时，系统不可控，不可观发生了全部零极对消系统既不可控，也不可观2.可控可观与系统模态的关系离散系统：有各异特征根1,…,n进行相似变换：P－系统的特征向量阵式中：可得：若中第i行全为0，不可控若中第j列全为0，不可观上例中：令:得：模态不出现在y中，不可观模态与u无关，不可控6.2.4可控可观性与采样周期的关系计算机控制系统＝采样系统采样系统可控可观连续系统可控可观，反之不一定对于采样系统，若原连续系统是可控及可观的，采样系统仍然可控可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根λp、λq，下式应成立：若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可控及可观的。例：研究可控可观性1.连续系统

系统可控可观

2.离散系统(由L反变换得到):当:

系统为不可控不可观的(1)K为奇数，k=1不可控，不可观

(2)K为偶数，k=2

不可控，不可观

3.传递函数连续：离散：（1）k为奇数：cosT=cosk=-1

有一对零极对消，不可控或不可观将原映射在z=-1处被采样信号振荡周期：,采样周期：脉冲响应：不可控：G(z)比G(s)少一个极点，c(k)与c(t)差别大不可观：c