自动控制第二章2.1(10.3.11)

第二章控制系统的数学模型2-1引言2-2微分方程的建立及线性化2-3传递函数2-4结构图2-5信号流图Part2.1.1

数学模型的定义系统示意图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?Part2.1.1

数学模型的定义系统框图

t

u2

u

ua

n

v

u

t由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态--稳定运动一.数学模型1.定义

描述系统内部物力量（或变量）之间关系的数学表达式即数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。

2.为什么要建立数学模型从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算；运动规律相同的控制系统可以用一个运动方程来表示；如：机械平移系统--------RLC电路3.表示形式

a.微分方程

b.传递函数

c.频率特性三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换4.建立方法

a.分析计算法

分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。

b.工程实验法

根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。

二.线性系统1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。

线性元件：具有迭加性和齐次性的元件。非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件。

若元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t）对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t）如果r（t）=r1（t）+r2（t）时，

c（t）=c1（t）+c2（t）满足迭加性如果r（t）=a·r1（t）时，

c（t）=a·c1（t）满足齐次性满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。

迭加性的应用

欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。

齐次性表明

当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。一.微分方程的建立微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。2-2微分方程的建立及线性化例1.机械平移系统求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。mkF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧首先确定：输入F(t),输出x(t)其次：理论依据1.牛顿第二定律物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积2.牛顿第三定律作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列。机械平移系统的微分方程为：例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。rLCur(t)uc(t)i(t)电气系统三元件电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。依据：电学中的基尔霍夫定律由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)（两边求导）这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。整理成规范形式上题机械平移系统的微分方程建立系统微分方程式的一般步骤如下：在条件许可下适当简化，忽略一些次要因素。根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；消去中间变量，得到元件的输入与输出之间关系的微分方程式。二、非线性方程的线性化

几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，就可以应用迭加原理。

饱和非线性死区非线性间隙非线性继电器非线性2.2.1常见非线性情况单摆(非线性)是未知函数的非线性函数，所以是非线性模型。单摆模型(线性化)有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；2.2.2

线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义

将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。线性化方法：在一定条件下，忽略次要因素的影响，将一些元件视为线性元件；切线法(小偏差法）：特别适用于具有连续变化的非线性特性函数。设连续变化的非线性函数为y=f（x），如图2.5所示。图2.5小偏差线性化示意图取某平衡状态A为工作点,对应有。当时，有。设函数在点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为：当增量很小时，略去其高次幂项，则有:

令则线性化方程可简记为:

略去增量符号，便得到函数在工作点附近的线性化方程为y=Kx。单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程

[例3]铁心线圈电路如图2.6（a）所示，其磁通Φ与线圈中电流i之间关系如图2.6（b）所示。试列写以ur为输入量，i为输出量的电路微分方程。图2.6铁心线圈电路及其特性解：设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为（2.20）（2.21）（2.22）式（2.22）便是铁心线圈在平衡点的增量线性化方程。总结：要建立整个系统的线性化微分方程式，首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点；然后列出各元件在工作点附近的偏量方程式，消去中间变量；最后得到整个系统以偏量表示的线性化方程式。这种小偏差线性化方法特别适用于具有连续变化的非线性特性函数。一.拉氏变换1.定义：设函数f(t)满足：

1f(t)实函数； 2当t<0时，f(t)=0；

3当t0时，则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。2-3传递函数高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数2.常用函数的拉氏变换指数函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换（欧拉公式）三角函数的拉氏变换洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换几个重要的拉氏变换(牢记!

)3.拉氏变换的基本性质

(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。

(2)微分性质若，则有

f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。

证：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换原函数的高阶导数

像函数中s的高次代数式(3)积分性质若则式中为积分当t=0时的值。证：设则有由上述微分定理，有即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。（4）.终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限注：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：证明方法同上。只是要将取极限。(6)位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以即：(7)时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：证：(8)卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即

证明：

小结：拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理二.拉氏反变换

1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：例3.2.拉式反变换——部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和式中是D(s)=0的根，称为F(s)的极点。（