经典控制理论-第七章2

7-3Z变换理论通过前面对线性连续系统的讨论我们知道，线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程。线性采样系统中包含离散信号，用差分方程来描述，同样可以应用一种z变换的方法来进行分析。z变换是由拉氏变换引申出来的一种变形。Z变换定义

设连续时间函数f(t)可进行拉氏变换，其拉氏变换为F(s)。连续时间函数f(t)经采样周期为T的采样开关后，变成离散信号f*(t)离散信号的拉氏变换为上式中各项均含有e-kTs因子，为便于计算定义一个新变量z=esT，其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。得到以z为自变量的函数F(z)是相互补充的两种变换形式，前者表示s平面上的函数关系，后者表示z平面上的函数关系。若所示级数收敛，则称F(z)是f*(t)的z变换。记为

Z[f*(t)]=F(z)应该指出，式所表示的z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。人们习惯上称F(z)是f(t)的z变换,指的是经过采样后f*(t)的z变换。采样函数f*(t)所对应的z变换是唯一的，反之亦然。但是，一个离散函数f*(t)所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无穷多个。从这个意义上来说，连续时间函数x

(t)与相应的离散时间函数x*(t)具有相同的z变换，即Z变换方法求离散函数z变换的方法有很多，我们介绍其中三种。1)级数求和法由离散函数及其拉氏变换，根据z变换的定义有：其为离散函数z变换的一种表达形式。只要已知连续函数在采样时刻kT(k=0,1,2,3,4,…..)的采样值便可求取离散函数z变换的级数展开式。对常用离散函数的z变换应写成级数的闭合形式。例7-1：试求函数f(t)=1(t)的z变换。解:f(kt)=1(t)(k=0,1,2,3….)例7-2：试求函数f(t)=e-at的z变换。综上分析可见，通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺点在于：需要将无穷级数写成闭式。这在某些情况下要求很高的技巧。但函数Z变换的无穷级数形式却具有鲜明的物理含义，这又是Z变换无穷级数表达形式的优点。Z变换本身便包含着时间概念，可由函数Z变换的无穷级数形式清楚地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况。

2)部分分式法设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以展开成部分分式的形式，即式中pi为F（s）的极点，

Ai为常系数。对应的时间函数为其Z变换为可见，f（t）的Z变换为：利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续时间函数f（t）的拉氏变换F(s)，然后将有理分式函数F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）给出每一项相应的z变换。例7-3：求的Z变换。例7-4：求f(t)=sinωt的Z变换。解：的原函数为，其Z变换为3)留数计算法已知连续信号f(t)的拉氏变换F(s)及它的全部极点,可用下列的留数计算公式求F(z)。函数在极点处的留数计算方法如下：若Si为单极点，则若有ri重极点Si，则例7-5已知系统传递函数为，应用留数计算法求F（z）。解：F(s)的极点为单极点例7-6：求(t>0)的Z变换.解：F(s)有两个s=0的极点，即若对于任何常数a和b，则有Z变换性质1）线性定理证明：由Z变换定义若2）实数位移定理又称平移定理实数位移含义，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为延迟。则有及3）复域位移定理若则有：定理的含义是：函数x(t)乘以指数序e±at的Z变换，等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以取代原算子z。证明：由Z变换定义举例：试用复数位移定理计算函数te-at的Z变换解：令x(t)=t，查表7-1知根据复数位移定理，有4）复数微分定理若Z[x(t)]=X(z)，则5）初值定理若Z[x(t)]=X(z)，且当t<0时，x(t)＝0则6）终值定理若Z[x(t)]=X(z)

，且(z－1)X(z)的全部极点位于Z平面的单位圆内，则举例：设Z变换函数为试用终值定理确定的终值。解：由终值定理得7）卷积定理设和为两个采样函数，其离散卷积定义为：若必有：Z反变换与拉氏反变换类似，z反变换可表示为：下面介绍三种常用的z反变换法。1）综合除法这种方法是用F(z)的分母除分子。求出z-1按升幂排列的级数展开式，然后用z反变换求出相应的采样函数的脉冲序列。其中ai，bj均为常系数。通过对上式直接作综合除法，得到按z-1升幂排列的幂级数展开式，如果得到的无穷级数是收敛的，则按Z变换定义可知上式中的系数fk

（k=0，1，…）就是采样脉冲序列f*(t)的脉冲强度f(kT）。因此可直接写出f*(t)的脉冲序列表达式上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散信号f*(t)。求解时应注意：①在进行综合除法之前，必须先将F(z)的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。②实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。因此用这种方法计算f*(t)最简便，这是这一方法优点之一。③要从一组f(kT)值中求出通项表达式，一般是比较困难的。例7-7：已知，试用幂级数法求F(z)的z反变换。解：用综合除法得到因为又因为所以有2)部分分式展开法在z变换表中，所有z变换函数F(z)在其分子上都普遍含有因子z，所以应将F(z)/z展开为部分分式，然后将所得结果每一项都乘以z，即得F(z)的部分分式展开式。例7-8设,试求f(kT)。解：经计算有A=1，B=－1所以有查z变换表得3）留数计算法（反演积分法）根据z变换定义有根据柯西留数定理有式中表示F(z)zk-1在极点zi

处的留数。关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法如下：若zi为单极点，则若F(z)zk-1有ｎ阶重极点zi，则例7-9：设z变换函数，试用留数法求其z反变换。解：因为函数有z1=－1，z2=－2两个极点，极点处的留数所以有相应的函数为：7-4离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。离散系统的数学模型将输入序列x(n)，n=0，±1，±2，…变换为输出序列y(n)的一种变换关系，称为离散系统。记为y(n)=F[x(n)]其中，x(n)和y(n)可以理解为t=nT时，系统的输入序列x(nT)和输出序列y(nT），T为采样周期。线性离散系统如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，有如下关系式若且有其中a和b为任意常数，则线性定常离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统。线性常系数差分方程对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出y(k)不但与k时刻的输入x(k)有关，而且与k时刻以前的输入x(k－1)，x(k－2),…有关，同时还与k时刻以前的输出y(k－1),y(k－2),…有关。这种关系可以用下列

阶后向差分方程描述：上式可表示为式中a和b为常数m<n，上式称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离散系统。差分方程求解

常用方法有迭代法和z变换法。迭代法非常简单。举例说明如下：

例7-10已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k－1)－6y(k－2)，输入序列x(k)=1，初始条件为y(0)=0,y(1)=1，试用迭代法求出输出序列y(k)，k=0，1，2，···，10。解：根据初始条件及递推关系，得y(0)=0y(1)=1y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25y(4)=x(4)+5y(3)-6y(2)=90 ……y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526Z变换法差分方程求解

Z变换法的实质是利用z变换的实数位移定理，将差分方程化为以z为变量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。Z变换法的具体步骤是：①对差分方程进行z变换；②解出方程中输出量的z变换Y(z)；③求Y(z)的z反变换，得差分方程的解y(k)。

例7-11用Z变换法解二阶差分方程解：对上式取Z变换代入初始条件，得，脉冲传递函数（Z

传递函数）在线性连续系统中，我们把初始条件为零条件下系统(或环节)输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变拉之比，定义为传递函数，并用它来描述系统(或环节)的特性。与此相类似，在线性离散系统中，我们把初始条件为零条件下系统(或环节)的输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比，定义为脉冲传递函数，又称为Z传递函数。脉冲传递函数是离散系统的一个重要概念，是分析离散系统的有力工具。图7-15采样系统脉冲传递函数1）脉冲传递函数的定义在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。零初始条件是指时，输入脉冲序列各采样值以及输出脉冲序列各采样值均为零。多数实际采样系统的输出信号是连续信号，如图上图所示，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作。这样就可以沿用脉冲传递函数的概念。

2)脉冲传递函数的求法连续系统或元件的脉冲传递函数G(z)，可以通过其传递函数G(s)来求取。方法是：先求G(s)的拉氏反变换，得到脉冲过渡函数g(t),再将g(t)按采样周期离散化，得到加权序列g(nT)，最后将g(nT)进行z变换，得出G(z)。这一过程比较复杂，通常可根据z变换表，直接从G(s)得到G(z)，而不必逐步推导。若已知系统的差分方程，可对方程两端进行z变换，应用求取。例7-12:若描述采样系统的差分方程为试求其脉冲传递函数。解：对上面差分方程进行z变换，并令初始条件为0，有3）采样系统的开环脉冲传递函数Ⅰ采样拉氏变换的性质采样拉氏变换的两个重要性质（1）采样函数的拉氏变换具有周期性，即（2）若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化，则可以从离散符号中提出来，即Ⅱ开环脉冲传递函数讨论采样系统在开环状态下的脉冲传递函数时，应注意图中所示的两种不同的结构形式（如图7-16所示）。图7-16：环节串联的结构串联环节之间无采样器时的脉冲传递函数串联环节之间有采样器时的脉冲传递函数上式表明，被采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两环节的脉冲传递函数之积。这个结论可以推广到有n个环节串联而各相邻环节之间都有采样开关分离的情形。无采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两个环节传递函数之积的Z变换。显然，这一结论也可以推广到有n个环节直接串联的情况。但环节之间存在采样开关与否时的脉冲传递函数不相等。Ⅲ带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数设有零阶保持器的开环系统如图7-17（a）所示,经简单变换为如图7-17（b）所示等效开环系统。图7-17：带有零阶保持器的开环系统根据实数位移定理及采样拉氏变换性质，可得于是，有零阶保持器时，开环系统脉冲传