【金教程】高考数学总复习 9.1平面的基本性质、空间两条直线 文 B

一、本章知识网络结构二、最新考纲解读1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系．2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及其逆定理．3．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．4．了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算．5．掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式，掌握空间两点间距离公式．6．理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．7．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或用坐标表示下的距离，掌握直线和平面垂直的性质定理，掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．8．了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．9．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．10．了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．11．了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．三、高考考点聚集考点2009年高考真题分布2008年高考真题分布高考展望平面基本性质的应用安徽(理)15.辽宁(理)11；四川(理)19.是高考的冷门，但却是立体几何的基础，是处理共点、共面、共线、空间作图问题的依据．异面直线相关问题安徽(理)15；辽宁(理)18.浙江(理)19.高考冷门，一般是考查反证法考点2009年高考真题分布2008年高考真题分布高考展望平行与垂直及其他线面位置关系问题山东(理)5；四川(理)19；重庆(理)9；福建(理)7；广东(理)5；福建(理)7；海南宁夏(理)8；江苏12；江西(理)9；四川(理)5.上海(理)13；四川(理)9；安徽(理)4；湖南(理)5；江苏(理)16；天津(理)4.是高考的热点，常以选择、填空或解答题的第一问形式进行考查，主要考查线面位置关系的判定和性质，借助模型是化解难点的有效方法．考点2009年高考真题分布2008年高考真题分布高考展望角度问题北京(理)16；福建(理)17；广东(理)18;湖北(理)18；全国(Ⅰ)(理)7;全国(Ⅰ)(理)18；山东(理)18;陕西(理)18；浙江(理)5;安徽(理)18；福建(理);海南宁夏(理)11；江西(理)20;全国2(理)5；全国2(理)18;上海(理)5；上海(理)19;四川(理)15；天津(理)19;重庆(理)19.全国Ⅰ(理)11；全国Ⅱ(理)10；陕西(理)9;福建(理)6；全国Ⅰ(理)16;全国Ⅰ(理)18；全国Ⅰ(理)19;四川(理)19；天津(理)19;山东(理)20；湖北(理)18;湖南(理)17；陕西(理)19;浙江(理)18；辽宁(理)19;上海(理)16.考点2009年高考真题分布2008年高考真题分布高考展望距离问题北京(理)4；安徽(理)18；福建(理)17；湖南(理)7；湖南(理)18；全国(Ⅰ)(理)10；浙江(理)20；江西(理)20；重庆(理)19.北京(理)16；安徽(理)18；重庆(理)19；福建(理)18.高考热点，可以以选择、填空、解答等各种形式进行考查，需对各类距离的概念、求法熟练掌握．考点2009年高考真题分布2008年高考真题分布高考展望面积与体积问题安徽(理)18；广东(理)18；湖北(理)9；山东(理)4；陕西(理)10；浙江(理)12；安徽(理)18；海南宁夏(理)11；辽宁(理)11,15；天津(理)12.山东(理)6；四川(理)15；广东(理)20.高考常见考点，常以选择、填空或解答题的一问形式进行考查，解答该类问题首先要掌握计算公式，其次要掌握一定的技巧，如割补、截面的应用．翻折问题浙江(理)17；全国(Ⅱ)(理)12.浙江(理)19是高考的冷门，考查考生的转化能力．考点2009年高考真题分布2008年高考真题分布高考展望球相关问题湖南(理)14；全国(Ⅰ)(理)15；陕西(理)15；江西(理)14；全国(Ⅱ)(理)15；上海(理)8；四川(理)8.全国(Ⅱ)(理)12；四川(理)8；江西(理)10;湖北(理)3；湖南(理)9;陕西(理)14；重庆(理)9;海南(理)15；天津(理)12;安徽(理)16；福建(理)15;浙江(理)14；辽宁(理)14；是高考的热点主要是以小题的形式进行考查，一般难度不大.最新考纲解读1．理解并会应用平面的基本性质，掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法．2．掌握公理及等角定理．3．空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面．4．会求两条异面直线所成的角及距离．5．会作几何体的截面图．6．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．高考考查命题趋势主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系，多以选择题、填空题为主，难度不大.1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．作用：①作为判断和证明是否在平面内的依据；②证明点在某平面内的依据；③检验某面是否是平面的依据．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．作用：①作为判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线；④证明三线共点．公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．作用：公理3及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法．2．空间两直线的位置关系(1)相交——有且只有一个公共点；(2)平行——在同一平面内，没有公共点．(3)异面——不在任何一个平面内，没有公共点；3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等．4．两条异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线．5．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度．计算方法：(1)公垂线法；(2)转化成线面距离(点面距离)；(3)转化成面面距离．6．斜二测画法.1.熟练掌握平面的基本性质的图形语言、文字语言、符号语言的相互转化．2．判定空间两直线异面的方法：(1)排除法：证明两直线既不相交，也不平行；(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线；(3)反证法：假设两直线不异面，则必然平行或相交，从而推出矛盾，得出两直线必然异面．3．注意立体几何与平面几何的对比，对空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是公理、定理和推论的限制条件．另外对于平面几何中的一些定理、推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为假命题，学习中要注意培养分类讨论的意识．4．建立自己习惯的几何模型.一、选择题1．下列命题中正确的是 ()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内[答案]

D2．一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是 ()[答案]

A3．E、F、G、H是三棱锥A—BCD的棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，则点P()A．一定在直线AC上B．一定在直线BD上C．只在平面BCD内D．只在平面ABD内[答案]

B4．空间三条直线中的一条直线与其它两条都相交，那么由这三条直线最多可确定平面的个数是()个 A．1 B．2C．3 D．4[答案]

C二、填空题5．将命题“P∈l，Q∈l，且P∈α，Q∈α⇒l⊂α”用文字语言表述是________．[答案]

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．6．若平面α∩平面β＝直线l，点A∈α，A∈β，则点________l，其理由是________．[答案]

A∈公理2例1

已知n条互相平行的直线l1，l2，l3，…，ln分别与直线l相交于点A1，A2,…，An，求证：l1，l2，l3…，ln与l共面．[分析]证明多条直线(三条或三条以上)共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合．[证明]证法一：因为l1∩l＝A1，所以l1与l确定平面α，设lk是与l1平行的直线中的任一条直线，且lk∩l＝Ak，则l1⊂α，Ak∈α，∵lk∥l1，设lk与l1确定平面β，则l1⊂β，Ak∈β，因此l1与Ak既在平面α内又在平面β内，根据公理的推论1知过l1和其外一点的平面有且只有一个，所以α和β重合，从而由lk的任意性知l1，l2，l3，…，ln共面．证法二：∵l1∥l2，l1∥l3，∴直线l1和l2及直线l1和l3分别确定一个平面α和β.∵l1∩l＝A1,l2∩l＝A2,l3∩l＝A3,

∴A1，A2∈α，A2，A3∈β，l⊂α，且l⊂β，α和β都是过相交直线l1和l的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个，∴l1，l2，l3，l共面，同理可证l4，l5，…，ln都在由直线l1和l所确定的平面内．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．例2如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点．[证明]证法一：(几何法)连结GE、HF，∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.又∵DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3，∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G、E、F、H四点共面．又∵EF与GH不能平行，∴EF与GH相交，设交点为P.则P∈面ABD，P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD.∴EF、GH、BD交于一点．思考探究如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD(或其延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线．[证明]∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，易知AB，BC，DC，AD都在β内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在β上，因而，E，G，G，H必都在平面α与β的交线上，所以四点E，F，G，H共线．证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线．证明点共线，实际上就是证明点是两个平面的公共点，则由公理2可知这些点都应在两个平面的交线上．例3如图，棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为A1B1、BB1、CC1的中点．(1)求异面直线D1P与AM，CN与AM所成的角；(2)判断D1P与AN是否为异面直线？若是，求其距离．[解]

(1)D1P与AM成90°的角．CN与AM所成角为arccos.(