分离变量法二

8.1.2直角坐标系分离变量例题分析

上面我们已经分析的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题、均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别．【解】用分离变量法求解.令例8.2.1分析定解问题：

(8.2.1)u(x,t)=X(x)T(t)(8.2.2)代入（8.2.1），得本征值问题及对本征值问题（8.2.3）、（8.2.4）讨论：（1）若，则方程（8.2.3）的解为

（8.2.3）（8.2.4）（8.2.5）（8.2.3）（8.2.4）（8.2.5）（8.2.3）（8.2.4）待定常数和由边界条件（8.2.4）确定，即有只能得到无意义的解，应该排出．

(2)若

由（8.2.4）得

，则（8.2.3）的解为

，只能得到无意义的解，应该排出。

（3）若，则方程的解是由（8.2.4）则注意到

可以是任意常数．条件

且要得到非零解，只有．在条件下，

，即故得到本征值为相应的本征函数是系数B可以在求通解时考虑进去，故此将系数认为是

归一化的.

由

将代入（8.2.5）解得叠加得系数由定解条件确定傅里叶展开式系数可确定为(8.2.6)

(8.2.7)(8.2.8)例8.2.2解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题：

鱼群探测换能器件或磁致伸缩换能器的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．即下列定解问题

(8.2.9)【解】按照分离变量法的步骤，先设出变量分离形式的试探解U(x,t)=X(x)T(t)（8.2.12）（8.2.10）代入泛定方程及其次边界条件，得（8.2.10）(8.2.11)求解（8.2.13）～（8.2.14）本征值问题，对

进行讨论：,类同于前面的讨论，只能得到无意义的解；(2)若，则方程（8.2.13）的解为

（8.2.13）本征值问题：

(8.2.14)代入（7）得到

故可取归一化的本征函数

，于是得到，否则得到无意义的零解．由于通解中还另有待定系数，（3）若，方程(8.2.13)的解为

常数的确定，即由于

，所以如果则得无意义的解

；因此于是

相应的（归一化的）本征函数是这是情况下的本征值．

从上面的讨论我们可以将本征值

和对应的本征函数统一为当将本征函数值代入到T的方程得到其对应的解为其中

均为独立的任意常数．所以，原定解问题的形式解为注意到上式正是傅里叶余弦级数的基本函数族．所有本征振动的叠加得到通解

系数由初始条件确定．有把右边的函数

后比较两边的系数，得到

展开为傅里叶余弦级数，然采用分离变量法，设势函数具有如下的分离解形式：在直角坐标系内，静态场问题的势函数的拉普拉斯方程为：求解稳定场问题的定解问题

将上式代入拉普拉斯方程，并整理,有

上式已将变量分离，此式中每一项都只是一个变量的函数。要使上式对所有的都成立，每一项都必须等于一个常数，故有分离常数，由边界条件来确定.以关于x的常微分方程为例,确定解的形式

若可得若可得若可得的值需要由边界条件确定.双曲函数8.2.3试求长直接地金属槽内电位的分布。解:(1)写出边值问题（D域内）接地金属槽的截面y(2)分离变量设-分离常数,代入微分方程

通解将分离解代入齐次边界条件

即通解接地金属槽内的等位线分布拉普拉斯方程经过分离变量后变成了三个很容易求解的常微分方程。小结这三个方程解的形式与分离常数有关。等于0：当当对应的函数为线性函数；大于0：对应的函数为三角函数；小于0：对应的函数为指数函数或双曲正弦（余弦）函数；当几种常用的本征值问题本征方程边界条件本征值本征函数P201：2、12本周作业：8.2二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量

例8.2.1物理模型：

带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度

是竖直的，方向向下．水平架设的输电线处于这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图8.2所示．不过离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为匀强的．现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外的电势分布．解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题．取圆柱的轴为Z轴．如果圆柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与Z坐标无关，我们只需在XY平面上加以研究就行了．图8.2画出了XY平面上的静电场分布，圆柱面在XY平面的剖口是圆

其中:是圆柱的半径．柱外的空间中没有电荷，所以电势

（在圆柱外）满足二维的拉普拉斯方程导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同．又因为电势只具有相对的意义，完全可以把导体的电势当作零，从而写出边界条件（8.2.1）在“无限远”处的静电场仍然保持为匀强的

因而还有一个非齐次的边界条件由于选取了

轴平行于，所以在无限远处，（8.2.2）于是定解问题可以描述为x2+y2>a2（8.2.3）【解】以变量分离形式的试探解上式左边是

代入拉普拉斯方程,得的函数，与无关；右边是的函数，

与无关．两边只能取同一个常数。这就分解为两个常微分方程常微分方程隐含着一个附加条件．

事实上，一个确定地点的