自动控制原理第6章 频率特性分析法

第5章线性系统的频域分析内容提要频率特性是研究控制系统的一种工程方法，应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳态性能。本章主要介绍典型环节的频率特性、开环频率特性、最小相位系统、Nyquist稳定判据、对数稳定判据、闭环频率特性及用品类特性分析系统品质。知识要点开环频率特性、极坐标图、Bode图、Nyquist稳定判据、对数稳定判据、相对稳定性、闭环频率特性、等M圆、等N圆及用品类特性分析系统品质。时域分析方法的缺陷：（1）对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析；（2）某些元件或环节的数学模型难以求出时，系统的分析将无法进行；（3）系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需重新求解系统的时间响应，才能得到结果；（4）系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何调整系统的参数来获得预期的结果；（5）必须由闭环传递函数求系统的稳定性。

根轨迹法根据图形的变化趋势即可得到系统性能随某一参数变化的全部信息，从而可以获得应如何调整系统的参数来获得预期效果，是一种非常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用于高阶系统的分析求解。但对于高频噪声问题、难以建立数学模型等问题仍然无能为力。

§5.1引言频域分析方法的优点：(1)频域分析法可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。(2)除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。(3)频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位无关。(4)这种方法也可以有条件地推广应用到非线性系统中。利用频率特性进行控制系统分析和设计的图解法，可方便地用于工程中的系统分析和设计。§6.2频率特性的基本概念6.2.1频率响应与频率特性的定义RC网络图示电路的传递函数为设输入电压Ruiu0CRuC令T=RC，则可得电容两端的输出电压为对上式两端取拉氏反变换得式中：当t→∞时，于是系统的稳态解为可见，电路的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压的频率相同，幅值是输入幅值的倍，相角比输入迟后。其中：，3.系统的稳态解的幅值之比A(ω)是ω的函数，其比值为4.为输出稳态解与输入信号的相位差，也是ω的函数，其值为6.2.2频率特性的物理意义

线性定常系统（或元件）在正弦输入信号作用下，系统稳态输出与输入的复数比叫做系统（或元件）的频率特性，记为G(jω)。

记输入信号为

输出信号为

则其中RC电路的频率特性在复平面上构成一个完整的向量。用G(jω)表示这一向量，则

根据复数的数学定义，有称为电路的频率特性。是的幅值,是的相角，和都是输入信号频率故它们分别被称为电路的频率特性的物理意义是：当一频率为它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。由于的函数,幅频特性和相频特性。在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。

的正弦信号加到电路的输入端后，§6.3频率特性图示法幅相频率特性（极坐标图、奈氏图）G(jω)随ω从0变至+∞时在复平面上连续变化而形成的一条曲线。对数频率特性（Bode图）由采用对数分度作图的对数幅频特性和采用线性分度作图的对数相拼特性两条曲线组成。对数幅相特性（尼氏图）

横坐标为相位，纵坐标为对数幅值，且纵、横坐标均为线性分度。幅相频率特性可以表示成：代数形式、极坐标形式6.3.1幅相频率特性（奈氏图）1）代数形式设系统或环节的传递函数为令s=jω，可得系统或环节的频率特性这就是系统频率特性的代数形式，其中P(ω)是频率特性的实部，称为实频特性，Q(ω)为频率特性的虚部，称为虚频特性。

2）极坐标形式将上式表示成指数形式:式中A(ω)－复数频率特性的模，即幅频特性

(ω)－复数频率特性的幅角或相位移，即相频特性奈氏图6.3.2对数频率特性（Bode图）对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。对上式两边取对数，得

上面就是对数频率特性的表达式。习惯上，一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。

Bode图6.3.3对数幅相特性（尼氏图）将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。

一般用于闭环系统频率特性分析。微分方程频率特性传递函数系统6.3.4频率特性、传递函数和微分方程三种数学模型之间的关系比较频率特性与传递函数具有十分相的形式

§6.4

典型环节的频率特性6.4.1控制系统中常见的典型环节—积分环节其中—比例环节—振荡环节—惯性环节—微分环节6.4.2典型环节的极坐标及频率特性1、比例环节1）传递函数2）频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性奈氏图Bode图2、积分环节1）传递函数2）频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性奈氏图Bode图3、惯性环节1）传递函数2）频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性奈氏图Bode图4、振荡环节1）传递函数2）频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性奈氏图Bode图见书P136、1375、微分环节（以一阶微分为例）1）传递函数2）频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性奈氏图Bode图6、延迟环节1）传递函数2）频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性对数幅频特性奈氏图§5.3系统开环幅相频率特性的绘制及奈氏判据5.3.1开环幅相频率特性（奈氏图）的绘制开环系统频率特性的一般形式为

开环系统的幅频、相频特性表示为：用不同的ω值分别代入以上各式，就可以逐点描绘系统的开环幅相特性。可用复数运算求得它的实频和虚频特性。,绘制开环奈氏图的基本步骤：1、确定开环极坐标曲线的起点()；2、确定开环极坐标曲线的终点()；3、确定开环极坐标曲线与负虚轴与负实轴的交点；4、分析开环极坐标曲线的变化范围及特点；5、综上，概略地绘出系统的开环极坐标曲线。1、起点：起点与系统的类型有关，即与系统的积分个数有关。结论：若系统有v个积分环节，则开环幅相特性开始于相位为，幅值为的地方。注意：实际的起点可能在坐标轴的任意一边，这要用求渐近线的方法来确定。即特性总是以顺时针方向趋于原点，并以的角度终止于原点，如下图所示。

2、终点：一般实际系统3、幅相特性与负实轴和虚轴的交点。特性与虚轴的交点的频率由下式求出

特性与负实轴的交点的频率由下式求出如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω由0增大到∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性可能出现凹部。例5-1已知单位负反馈系统的开环传递函数为，试绘出系统的极坐标图。解：分母有理化并整理得实频特性虚频特性幅频特性相频特性1、起点当时，，，，。2、终点当时，，，，。3、与虚轴的交点令，即，得，取时的若干点，结果如下表所示：0136…104.40.101.6…00-5.4-3.0-1.9-1.1…0代入中得在G（s）平面上绘出极坐标图如下图所示：例5-2设开环系统的传递函数为，系统的开环奈氏曲线。试绘出解：分母有理化并整理得实频特性虚频特性1、起点当时，，。2、终点当时，，。3、与负虚轴的交点令，得，代入中得在G(s)平面上绘出开环奈氏曲线如下图所示：例5-3设开环系统的传递函数为,试绘出开环奈氏曲线。解：经分母有理化可得幅频特性和相频特性为这是Ⅰ型系统。解:1、起点

当ω＝0时，可计算出，，,显然当ω→0时，G(jω)的渐近线是一条过实轴上点，且平行于虚轴的直线，即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处，它的渐近线是

2.终点

当ω→∞时，，，，。该系统m=0，n=3，故特性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点。3.幅相曲线与实轴的交点

令，可得，将此ω1值代入式P(ω)表达式中，可得幅相曲线与实轴的交点为，交点对应的频率为。可以证明

开环奈氏曲线如下图所示。w＝0w→∞P(ω)jQ(ω)5.3.2Nyquist稳定判据Φ(s)零点极点相同F(s)零点极点相同GK(s)零点极点F(s)有如下特点：(1)其零点和极点分别是闭环和开环特征根；(2)零点和极点的个数相同（均为N个）；(3)F(s)和G(s)H(s)只差常数1，相当于在坐标平面上平移一个单位。FReIm[F(s)]BG(b)jwGSA.ZiGSA.Zis(a)FReIm[F(s)]BG(b)jwGSA.ZiGSA.Zis(a)奈氏判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线反时针包围临界点(-1,j0)的圈数R等于开环传递函数在右半s平面的极点数P，即N＝P，Z＝0；否则闭环系统不稳定，Z≠0，存在闭环正实部的特征根，闭环正实部特征根的个数Z可按下式确定Z＝P－R例5-6

已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。解:

系统开环稳定，即P=0。从图中看到：ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，即R=0，Z=P-R=0，所以，闭环系统是稳定的。例5-8系统开环传递函数为没有极点位于右半s平面，P=0。试判断闭环系统的稳定性。解：实频特性虚频特性

开环系统右半s平面的极点数为0。当ω从－∞～＋∞时，奈氏曲线不包围(－1，0)点，即R＝0。Z＝P－R＝0－0＝0，故闭环系统稳定，在右半s平面没有根。。概略绘制开环系统频率特性的极坐标如右图所示。与负虚轴的交点：令P(ω)=0，可解得

。代入Q(ω)中可解得例5-9系统开环传递函数为没有极点位于右半s平面，P=0。试判断闭环系统的稳定性。实频特性虚频特性

开环系统右半s平面的极点数为0。当ω从－∞～＋∞时，奈氏曲线以顺时针包围(－1，0)点2圈，即N＝－2。Z＝P－N＝0－(－2)＝2，Z≠0，故闭环系统不稳定，在右半s平面有2个根。解：。概略绘制开环系统频率特性的极坐标如右图所示。与负实轴的交点：令Q(ω)=0，可解得

。代入P(ω)中可解得由奈氏判据判断系统稳定性的一种简易方法用奈氏判据判断反馈系统的稳定性时，一般只需绘制ω从0到＋∞时的开环幅相曲线，再加上正实轴后形成封闭曲线，然后按其包围(-1,j0)点的圈数N(反时针方向包围时为正，顺时针方向包围时为负)和开环传递函数在右半s平面上的极点数P，再根据公式Z＝P－2R确定闭环特征方程在右半s平面上的根的个数。如果Z＝0，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。如果开环系统传递函数包含v个积分环节，则绘制开环幅相曲线后应从ω＝0＋对应的点开始，反时针方向补画v/4个半径为无穷大的圆。但圆随ω增大的方向是顺时针的。例5-10设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图(a)所示，开环系统在右半s平面上没有极点，试用奈氏判据判断系统稳定性。解：由于系统是Ⅰ型系统，需要从幅相曲线ω＝0＋对应的点反时针补画1/4个半径趋于无穷大的圆，如下图(b)中虚线部分。由幅相曲线看到曲线没有包围(-1,j0)点，故R＝0。又因为开环系统在右半s平面上没有极点，即P＝0，因此闭环特征方程位于右半s平面上的根的个数Z=P-2R=0-2×0＝0故闭环系统稳定。(a)Ⅰ型系统的开环幅相曲线(b)补画后的系统的开环幅相曲线例5-11一单位反馈系统，其开环传递函数为,试用奈氏判据判断系统稳定性。解：这是一个Ⅱ型系统，开环幅相曲线如下图(a)所示。图中虚线是按v＝2从幅相曲线ω＝0＋对应的点反时针方向补画的半径趋于无穷的半圆。由幅相曲线看到，曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，即R＝－1，而开环传递函数在右半s平面上的极点数为0，即P＝0，因此闭环特征方程在右半s平面上的根的个数Z=P-2R=0-2×(-1)＝2故闭环系统不稳定。例5-12系统,解：绘制奈图如下：P=0,R=-1,Z=P-2R=0-2×（－1）＝2≠0系统一定不稳定，并有两个闭环极点在s平面的右半部。试由奈氏判据判断系统稳定性。5.4.1Bode图的绘制例：一系统开环传递函数为求得频率特性为§5.4系统开环对数频率特性的绘制

及对数稳定判据对数幅频特性具有如下特征：1、对数幅频特性是下降的，表明系统具有低通滤波性能；2、对数幅频特性的渐近线的斜率都是的整数倍，“—”对应惯性环节和振荡环节，“+”对应一阶和二阶微分环节；3、最小相位系统对数幅频特性与相频特性是一一对应，且唯一确定的；4、曲线低频段的高度和斜率取决于比例环节K的大小和积分环节的数目ν;5、只要过(1,20lgK)做斜率为，即可得到低频段的渐近线；6、转折频率处，渐近线的斜率发生变化，改变多少取决于典型环节的种类。绘制步骤：1、将开环传递函数写成典型环节乘积的形式，并将这些典型环节的传递函数化成如下所示的标准形式，即各典型环节传递函数的常数项为1。2、确定K值、ν值和各环节的交接频率

并将交接频率从小到大标注在角频率ω轴上。3、绘制对数幅频特性的低频渐近线。

把ω→0时的对数幅频特性称为对数幅频特性的低频渐近线低频渐近线的方程为

当ω＝1时，L(1)=20logK(dB)。由此可绘出过ω＝1，L(1)=20logK(dB)点的斜率为－20νdB的一条直线，即为低频渐近线。4、以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频端开始沿频率增大的方向，每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率

当遇到一阶微分环节转折频率时，斜率增加＋20dB/dec；当遇到一阶微分环节转折频率时，斜率增加＋40dB/dec；当遇到惯性环节转折频率时，斜率增加－20dB/dec；当遇到振荡环节转折频率时，斜率增加－40dB/dec；5、高频渐近线，其斜率为n为极点数，m为零点数

6、相频特性按描点的方法绘制。--必要时可利用渐近线和精确曲线的误差表,对交接频率附近的曲线进行修正,以求得更精确的曲线。系统开环对数幅频特性L(ω)通过0dB线，即

时的频率称为穿越频率。穿越频率是开环对数相频特性的一个很重要的参量。绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。

-也可以利用相频特性函数φ(ω)直接计算。不同类型的系统，低频段的对数幅频特性显著不同。5.4.2系统类型与开环对数频率特性1、0型系统

0型系统的开环频率特性有如下形式：

对数幅频特性的低频部分如下图所示

这一特性的特点：在低频段，斜率为0dB/十倍频；低频段的幅值为20lgK，由之可以确定稳态位置误差系数KP。2、1型系统

1型系统的开环频率特性有如下形式

对数幅频特性的低频部分如下图所示

这一特性的特点：

在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频；低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为ωc=K，由之可以确定系统的稳态速度误差系数kv=K；低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为20lgKdB。3、2型系统

2型系统的开环频率特性有如下形式

对数幅频特性的低频部分如下图所示

这一特性的特点：

低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频；低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为，由之可以确定加速度误差系数；低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为20lgKdB。例5-14绘制系统开环传递函数为的系统Bode图。解：2、K＝10，ν＝1，交接频率。3、低频渐近线的斜率为－20νdB/dec=-20dB/dec。当ω＝1时，L(ω)=20logK＝20dB。即低频渐近线的斜率为-20，且过点(1，20)。当ω＝1时，斜率变为－40dB/dec；当ω＝2时，斜率变为－20dB/dec；φ1、将G(s)中的各因式写成典型环节的标准形式，即当ω＝20时，斜率变为－40dB/dec；4、ω→∞时，对数频率特性的高频渐近线的斜率为–(n-m)20dB/dec＝－40dB/dec。ω→0时，φ(0)=-90°；ω→∞时，φ(∞)=－180°φ则控制系统的Bode图如下图所示：例5-15设开环系统的频率特性为试绘制用分段直线表示的对数幅频特性。K＝10－３，v＝2，各个环节的交接频率:ω1=1/100=0.01，

ω2=1/10=0.1，ω3=1/0.125=8，ω4=1/0.05=20。解：2.低频渐近线的斜率为－20vdB/dec＝－40dB/dec。当ω＝1时，低频渐近线的坐标，L(1)＝20log10－3＝－60dB，即低频渐近线过点(1，－60)。3.当ω=ω1=0.01时，斜率变化为0dB/dec；当ω=ω2=0.1时，斜率变化为－20dB/dec；当ω=ω3=8时，斜率变化为－40dB/dec；当ω=ω4=20时，斜率变化为－60dB/dec。这五段直线即是系统的近似对数幅频特性。4.由于最小的交接频率ω＝0.01，分段直线近似表示的第一段只包括ω＜0.01那一部分的低频渐近线。所以，当ω＝1时，分段直线的纵坐标值不等于20logK(但其延长线的纵坐标值在ω＝1时等于20logK)。ω→∞时，对数频率特性的高频渐近线的斜率为

–(n-m)20dB/dec

＝－60dB/dec。近似对数幅频特性如图所示。1、最小相位传递函数2、非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数3、最小相位系统4、非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统5.4.3最小相位系统和非最小相位系统例如:最小相位系统和非最小相位系统的传递函数分别为式中.则二者的零-极点分布如下图所示。两者幅频特性相同而相频特性却不同，且参见下图.非最小相位系统

最小相位系统

相同的幅值特性在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围

最小相位系统，幅频特性和相频特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅频曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相频曲线被唯一确定这个结论对于非最小相位系统不成立。

反之亦然

表5-1最小相位系统幅频、相频对应关系环节幅频相频-20dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-40dB/dec→0dB/dec→20dB/dec→………………0dB/dec→n·(-20)dB/dec→0dB/dec→m·(+20)dB/dec→根据系统的对数幅频特性渐进曲线确定最小相位系统的开环传递函数的基本步骤：1、确定系统开环传递函数中积分或微分环节的个数ν和开环放大倍数K。特性低频段的斜率为-20νdB/dec，低频段或其延长线在ω=1时对应的对数幅值L(ω)=20lgK。2、确定系统开环传递函数的结构形式。从低频到高频对数幅频特性渐近线的斜率变化和转折频率的大小为所含环节的类型和参数(斜率变化-20dB/dec，对应惯性环节；斜率变化-40dB/dec对应二阶振荡环节；斜率变化20dB/dec，对应比例微分环节；斜率变化40dB/dec对应二阶微分环节。转折频率ω的倒数即为时间常数)。

3、由给定条件确定传递函数的参数。

例5-17已知开环系统的近似对数幅频曲线如图所示。试写出该系统传递函数G(s)H(s)。解：(1)曲线的低频段的渐近线的斜率为0，故由特性斜率=-20v=0知，v=0,系统不含一个积分环节，为0型系统。又ω为1时最左端直线的纵坐标为20dB，由式(2)转折频率：从图中可见各转折频率为ω1=1，ω2=2，ω3=4，ω4=10，

当ω=ω1=1时，近似特性从0变为－20dB/dec，故1是惯性环节的交接频率。当ω=ω2=2时，近似特性从－20dB/dec变为－40dB/dec，故2也是惯性环节的交接频率。可求得比例环节K＝10。当ω=ω3=4时，近似特性从－40dB/dec变为－20dB/dec，故4是一阶微分环节交接频率。当ω=ω4=10时，近似特性从－20dB/dec变为－40dB/dec，故10也是惯性环节交接频率。综上可得系统的开环传递函数为例5-18已知某最小相位系统的近似对数幅频曲线如图所示，试确定系统的传递函数G(s)H(s)。解：(1)曲线的低频段的渐近线的斜率为-20，故由特性斜率=-20v=-20知，v=1,系统含积分环节，为Ⅰ型系统。(2)转折频率：从图中可见各转折频率为

当ω=ω1=5时，近似特性从-20变为－40dB/dec，故5是惯性环节的交接频率。当ω=ω2=10时，近似特性从－40dB/dec变为－20dB/dec，故10是比例微分环节的交接频率。当ω=ω3=120时，近似特性又从－20dB/dec变为－40dB/dec，故120也是惯性环节的交接频率。ω1=5，ω2=10，ω3=120。综上可得系统的开环传递函数为且对数频率特性在时穿越零分贝线，即，精确求得K=106.4，近似取K=100。故系统的传递函数为5.4.4对数频率稳定判据例：例5-20一反馈控制系统，其开环传递函数为，试用对数频率稳定判据判断系统稳定性。解：系统的开环对数频率特性曲线如下图所示。GK(s)有两个积分环节，故在对数相频曲线ω为0＋处，补画了0°到－180°的虚线，作为对数相频曲线的一部分。显见N＋＝0，N－＝1。N＝N＋－N－＝－1根据GK(s)表达式知道，P＝0。由于Z＝P－2N＝2，故系统不稳定，闭环特征方程在右半s平面的根数为2。

例5-21一反馈控制系统，其开环频率特性如图所示，试判断闭环系统的稳定性,P=0。解：因为ν＝2，故如图中虚线所示在对数相频特性的低频段曲线上补作0°到－180°的虚线，作为对数相频曲线的一部分。当ω＜ωc

时有L（ω）＞0，且在此频率范围内，φ（ω）穿越－180°线一次，且为自上向下穿越。显见N＋＝0，N－＝1。N＝N＋－N－＝－1已知P＝0，Z＝P－2N＝2，故系统不稳定，闭环特征方程在右半s平面的根数为2。5.4.5非单位反馈系统和多回路系统的稳定性分析如下图a所示的非单位反馈系统，可将其闭环系统传递函数写为：式中，GK(s)＝G(s)H(s)为开环系统的传递函数。非单位反馈系统可以看成是传递函数为的环节和开环传递函数GK(s)的单位反馈闭环系统所组成。如图b所示。当环节和单位反馈闭环系统都是稳定时，图a所示的非单位反馈闭环系统才是稳定的。的稳定性可由奈氏判据判别。判别多回路系统稳定性时，首先应判别其局部反馈部分(即内环)的稳定性。如上图所示，内环为非单位反馈时应按上述方法分析。然后根据内环部分在右半s平面的极点数和整个控制系统其余开环部分在右半s平面的极点数判别整个控制系统的稳定性。多环控制系统需多次利用奈氏判据才能最后确定整个系统的稳定性。奈氏判据是根据开环系统的频率特性来判别闭环系统的稳定性。对于实际系统，应将其化为可应用奈氏判据的形式，然后再进行判别。给定输入作用下的系统和扰动输入作用下的系统，均可应用奈氏判据。对于复合控制系统，只有当开环部分和闭环部分都是稳定的，系统才是稳定的。开环部分的稳定性容易判别，闭环部分的稳定性则应用奈氏判据进行判别。1.已知系统的开环传递函数为，试绘出开环幅相曲线（奈氏曲线）并判断闭环系统的稳定性。2.P188－5－17（3）习题与作业§5.5控制系统的相对稳定性5.5.1控制系统的相对稳定性从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的。开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高；开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低。这就是通常所说的相对稳定性，通过乃氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量，其定量表示为相角裕量和增益裕量Kg。5.5.2增益(幅值)裕量

G(jω)H(jω)曲线与负实轴交于g点时，g点的频率ωg称为相位穿越频率，此时ωg处的相角为-180°，幅值为|G(jωg)H(jωg)|。定义：开环频率特性曲线上，相角等于-180°时所对应的幅值A(ωg)=|G(jωg)H(jωg)|的倒数称为增益(或幅值)裕量，用Kg表示。意义：增益裕量用于表示G(jω)H(jω)曲线在负实轴上相对于(-1,j0)点的靠近程度。表示：

式中ωg满足∠G(jωg)H(jωg)=-180°增益裕度用分贝数来表示:

Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB（a）最小相位系统的Nyquist图（b）对数频率特性应用对于最小相位系统当|G(jωg)H(jωg)|<1或20lg|G(jωg)H(jωg)|<0时，闭环系统稳定；当|G(jωg)H(jωg)|>1或20lg|G(jωg)H(jωg)|>0时，闭环系统不稳定；当|G(jωg)H(jωg)|=1或20lg|G(jωg)H(jωg)|=0时，系统处于临界状态。结论增益裕度Kg表示系统到达临界状态时，系统增益所允许增大的倍数。

5.5.3相角裕量意义：为了表示系统相角变化对系统稳定性的影响，引入相角裕量的概念引入ωc：ωc称增益穿越频率，也称剪切频率或截止频率，在（a）图中G(jω)H(jω)与单位圆相交于c点，c点处的频率为ωc。此时|G(jωc)H(jωc)|=1定义：使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角，称为系统的相角裕度或相角裕量，表示为应用：相角裕量γ为增益穿越频率ωc处相角与-180°线之距离。对于最小相位系统当γ＞0时，闭环系统稳定当γ＜0时，闭环系统不稳定增益裕度和相角裕度通常作为设计和分析控制系统的频域指标，如果仅用其中之一都不足以说明系统的相对稳定性。结论：欲使系统稳定，需满足例：某单位反馈系统的开环传递函数为求相角裕度和幅值裕度，并判断闭环系统的稳定性。解：系统的开环对数频率特性如图所示：由曲线2和3可知，K＝2时，相角裕度和幅值裕度分别是因为γ＞0，Lg＞0，故对应的闭环系统是稳定的。K＝20时，由曲线1和3看到因为γ＜0，Kg＜0，故对应的闭环系统是不稳定的。求ωc和相角裕度γ的另一种方法由已知的开环传递函数得按定义由A(ω)＝1就可以求出ωc来，但系统阶数高时，由A(ω)＝1求ωc是很麻烦的。可以采用近似处理的办法求ωc。由图可知因1＜ωc＜5，故可取，。则。当K＝20时，。当K＝2时，。知道了ωc后，便可利用如下公式求相角裕度。

当K＝20，时，当K＝2，时，。这种求法有一定的误差，但此方法在要求不太高的情况下，还是很实用的。为了获得满意的过渡过程，通常要求系统有45°－70°的相角裕度。这可以通过减小开环增益K的办法来达到。但是，减小K一般会使斜坡输入时稳态误差变大。因此有必要应用校正技术，使系统兼顾稳态误差和过渡过程的要求。§5.6

闭环系统的频率特性5.6.1闭环频率特性和开环频率特性的关系在单位负反馈系统中，开环和闭环频率特性有如下固定的关系，即：如果单位负反馈系统的开环幅相曲线如下图所示，则由图可知ω＝ω１时，开环频率特性而即

，可用图解计算法逐点求得不同频率对应的闭环幅值和相角，就可求得闭环频率特性。但此方法比较麻烦，在工程上常用等M圆和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位负反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率特性曲线。5.6.2等M圆图和等N圆图如果将函数G(jω)和Φ(jω)表示成下列形式

式中M(ω)和α(ω)分别为闭环系统的幅频和相频特性，由式可得将方程两边平方，经变换得若令M为常数，上式在G(jω)平面上表示一个圆。圆心为〔M

2/(1－M2

)，0〕，半径为｜M

/(1－M

2)｜。在G(jω)平面上，等M轨迹是一簇圆.对于给定的M值，很容易算出它的圆心和半径。如下图所示。等M圆图由图可见，M＞1时，等M圆在P＝－直线的左边，随着M的增大，M圆愈来愈小，最后收敛于(－1，j0)。当M

＜1时，等M圆在P＝－直线的右边，随着M的减少，M圆愈来愈小，最后收敛于原点。下面求G(jω)平面的等N圆图因为设即依三角函数公式得整理得令N为常数，上述方程表示半径，圆心为(-0.5，)的圆。无论N等于多少，P＝Q＝0和P＝－1，Q＝0时，方程总成立，故每个圆都过原点和(－1，j0)点。下图是将α作为参变量的等N圆图。图上α

＝60°和α

＝－120°，对应同一等N圆图，这是因为tan60°＝tan(－120°)的原因。

利用等M图和等N图，由开环幅相曲线与等M圆和等N圆交点，可得相应频率的M值和N值，即可得在交点频率处闭环频率特性的幅值和相角。如下图所示，a和b是画在等M圆图和等N圆图上的开环幅相曲线，c是求得的闭环频率特