自动控制理论 根轨迹法课件

第四章根轨迹法目的

掌握绘制系统根轨迹的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法内容根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则利用根轨迹进行系统分析稳定性即闭环极点闭环特征方程的根动态性能稳态误差系统的性能开环放大倍数开环积分环节个数困难!困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生变化时系统闭环特征方程的根如何变化!

参数改变，系统性能如何改变！

1948年，伊万思（W.R.Evans）提出了一种图解方法，即在复平面上由系统的开环极点、零点来确定闭环极点、零点，称为根轨迹法。

根轨迹法，是控制系统设计的十分重要的图上设计法，在控制工程上应用很广泛。第一节

根轨迹法的基本概念

1.引例讨论Kg变化时闭环极点的变化。开环传递函数闭环传递函数闭环极点特征方程闭环极点在S平面上的变化

系统的开环传递函数中某一参数变化时，系统闭环特征方程的根在S平面上的变化轨迹即为根轨迹问题：绘制根轨迹是用描点法吗？高阶系统闭环特征方程的根的表达式如何求?思路：利用开环传函绘制闭环特征方程的根的变化。2.根轨迹的幅值条件和相角条件闭环特征方程若开环传递函数则根轨迹的条件方程为幅值条件相（幅）角条件根轨迹增益开环零点-zj-pi开环极点开环增益注:(1)不计原点处的零值极点；

（2）m=0时根轨迹增益第二节绘制根轨迹的基本法则

1.根轨迹的连续性

根轨迹是连续变化的曲线2.根轨迹的对称性

根轨迹对称于实轴3.根轨迹的分支数n阶系统，n条根轨迹。4.根轨迹的起点和终点Kg=0

时的闭环极点为根轨迹的起点Kg∞

时的闭环极点为根轨迹的终点n条根轨迹起始于系统的n个开环极点

n条根轨迹终止于系统的n个开环零点

m<n时，m条根轨迹终止于系统的m个开环零点,其余n-m条趋于无穷远处例

已知开环传递函数试确定根轨迹的起点与终点。

解：开环零点用“○”表示开环极点用“×”表示5.根轨迹的渐近线渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的夹角例已知系统开环传递函数，试确定根轨迹的支数、起点和渐近线解:n=3,根轨迹有3条起点为0，-1，-5

渐近线与实轴交点渐近线倾角6.实轴上的根轨迹

在实轴上选取实验点si

，如果实验点si右方实轴上的开环零点数和极点数的总和为奇数，则实验点所在的实验段是根轨迹，否则该实验段不是根轨迹。奇是；偶不是例：系统开环传函为试确定实轴上的根轨迹解：7.根轨迹的分离点和会合点

根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。分离点会合点分离点会合点判别：实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点；实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点；实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。

分离点或会合点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点或会合点）或重共轭复根（复平面上的分离点或会合点）。基于代数重根法则，如果方程f(x)=0有重根，则f(x)=0的根也是f(x)=0的根。分离点会合点求取：重根法：联立求解上述两个方程，得出分离点公式例：已知解：确定实数轴上根轨迹的分离点和会和点。分离点-0.33会和点-1.67开环传递函数则分离点的坐标d是下列方程的解说明：当开环系统无有限零点时，应取8.根轨迹的出射角和入射角8.根轨迹的出射角和入射角

根轨迹离开共轭复数极点处的切线与实数轴正方向的夹角称为根轨迹的出射角根轨迹进入共轭复数零点处的切线与实数轴正方向的夹角称为根轨迹的入射角入射角出射角出射角为入射角为例：已知开环传递函数，试确定根轨迹的出射角。解：由得由周期性，取同理，得9.根轨迹与虚轴的交点利用劳斯判据令s=jω，代入闭环特征方程求得与虚轴交点ω值和相应的临界根轨迹增益K值例：已知系统的开环传函，试求其根轨迹与虚轴的交点。解：闭环特征方程令代入特征方程得即解得根轨迹与虚轴的交点为临界根轨迹增益10.闭环极点之和与闭环极点之积当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和且为常数闭环极点之积和开环零极点关系为闭环极点开环传递函数控制系统根轨迹手工的绘制

综合应用绘制根轨迹图的基本规则，可绘制出控制系统的根轨迹草图，然后再根据幅角条件选择一些试验点作一些修正，就可得到满意的根轨迹图。手工绘图时还需注意：（1）根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值Kg的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。(2)要标出一些特殊点的Kg值，如起点(Kg

→0)，终点(Kg

→∞)；根轨迹在实轴上的分离点和会和点d(Kg=Kgd)；与虚轴的交点(Kg=Kgp)。还有一些要求标出的闭环极点s及其对应的开环根轨迹增益Kg，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。

例：系统开环传函为试绘制闭环根轨迹。解:(1)根轨迹有两条。起点在开环极点一支根轨迹的终点在开环零点s=-1,另一支沿负实轴趋向于无穷。（2）实轴上的根轨迹在区间。（3）根轨迹在实轴上的会合点和分离点为

分离点坐标会合点坐标复平面上的根轨迹是圆证明：设s

点在根轨迹上，则满足根轨迹幅角条件把代入得利用反正切公式可写为上式两边取正切得整理得

例：系统开环传函为试绘制闭环根轨迹。解:根轨迹有4条。起点0,-3,-1+j,-1-j，一条根轨迹终止于开环零点-2，其余三条终止于无穷远点。实轴上的根轨迹[-2,0]，渐近线与实轴的交点为渐近线倾角为无分离点会合点，出射角为与虚轴的交点即解得令得系统的闭环特征方程为第三节参量根轨迹的绘制

系统开环传函中除Kg

外其余参数发生变化时闭环特征方程的根变化的轨迹为参量根轨迹。绘制参量根轨迹的步骤

写出原系统的闭环特征方程。以特征方程中不含参量的各项除特征方程，得等效系统的开环传递函数，该方程中原系统的参量即为等效系统的根轨迹增益。绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。

1.单一个可变参量根轨迹的绘制例控制系统如图所示，当Kg=4时，试绘制开环极点p变化时参量根轨迹。

解:由系统开环传递函数由系统闭环特征方程得等效开环传递函数系统闭环传递函数由系统闭环特征方程令2.几个可变参量根轨迹的绘制例试绘制图4-20所示,试绘制以K和α为参变量的根轨迹图4-20单位反馈控制系统解：系统的闭环特征方程式令α=0，上式变为然后考虑闭环特征方程改写为根据做出图4-21a）所示的根轨迹例如令K=4,则先令K为某一定值，然后做出参变量α由时的根轨迹。根轨迹为图4-21b）为取不同K值时所作的根轨迹簇图4-21

根轨迹图第四节非最小相位系统的根轨迹开环传递函数的零点、极点均位于S左半平面的系统，称为最小相位系统；反之，则称为非最小相位系统出现非最小相位系统有如下三种情况1）系统中有局部正反馈回路2）系统中含有非最小相位元件3）系统中含有纯滞后环节1.正反馈回路的根轨迹闭环传递函数闭环特征方程正反馈系统的根轨迹方程实轴上的根轨迹渐近线与实轴的夹角出射角、入射角

在正反馈系统根轨迹的绘制规则中，凡是与幅角条件有关的规则都要作相应的修改。

因为幅角条件为而非常规的故称之为零度根轨迹。

在绘制根零度根轨迹的规则中，不同于负反馈系统的有以下几点：１）实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为偶数。

２）根轨迹的渐近线与实轴的夹角为

３）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为

正反馈系统的根轨迹与负反馈系统的根轨迹是互补的负反馈正反馈2.系统中含有非最小相位元件

在绘制这种系统的根轨迹时，要注意开环传递函数（分子或分母）中是否含有s最高次幂为负系数的因子。若有，则其根轨迹的相角条件就变为根轨迹为零度根轨迹图4-23非最小相位系统由相角条件得例非最小相位系统如下图由此得根轨迹的复数部分为一圆周，其方程为可写为

3.滞后系统的根轨迹图4-25滞后系统的框图含有滞后环节的系统称为滞后系统，它属于非最小相位系统。特征方程为图4-25所示滞后系统的闭环传递函数为例考虑含有延迟环节的系统

其闭环特征方程为

当K给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。方程就是所以对应的相角条件为所以相角条件变成

当K=0时相角条件为

复平面上任一点如果满足条件就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。而条件是与纵坐标ω的大小有关的，比如ω=0对应实轴，实轴上满足arg(s+1)=180°的点一定在根轨迹上，显然实轴上(∞,1]段在根轨迹上；再看ω=ω1一条直线上的点,如果试验点s1满足arg(s+1)=180°-ω157.3°就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。这样可以作出k=0时的根轨迹如图4-27。图4-27延迟环节根轨迹的相角条件当k=1,2,…时，相角条件是各不相同的，取T=1，根据各自的相角条件可以绘出k=1,2,…时的根轨迹如图4-28。这样的根轨迹分支有无穷个。

图4-28延迟环节的根轨迹图

图4-28可以看出，当k=0时，临界增益K0=2，当k=1时，临界增益K0=8，当k=2时，临界增益K0=14…，即k越大临界增益K0也越大。这是必然结果，因为临界增益对应根轨迹上s=jω的点，从相角条件知道s=jω时k越大ω越大，再从幅值条件：

知道ω越大K也越大。所以在分析稳定性时，只需看k=0的根轨迹图就行了。第五节增加开环零、极点对根轨迹的影响

当按某一参变量作出系统的根轨迹图后，如果系统的性能不能满足设计要求时，一般可增加开环零点的方法实现。1.增加开环零点设系统的开环传递函数(4-50)当K由变化时，系统的根轨迹如图4-29所示图4-29根轨迹图若增加一个开环零点-b，则开环传递函数变为(4-51)（1）假设零点-b位于的实轴段上，若令b=5，即(4-52)根据式（4-52）作出的根轨迹图如图4-30所示图4-30系统的根轨迹图由劳斯判据求得该系统稳定的临界增益k0=12，此值与未加零点前的值一样大小。当k0>12，根轨迹中有两条分支进入s的右半平面，这表明附加零点对系统根轨迹的影响甚小，即系统的动态性能不会因此而有明显的改善，其原因是该零点距离虚轴较远。（2）假设零点-b位于间的实轴段上，若令b=1.2，即(4-53)据此作出系统的根轨迹如图4-31所示。图4-31根轨迹图由图可见，当K在范围内变化时，该系统总是稳定的。（3）假设零点-b位于间的实轴段上，若令b=0.4，即(4-54)图4-32根轨迹图据此，作出系统的根轨迹图如图4-32所示。由图可知：1）当K由变化时，系统的根轨迹都位于s平面的左方，因而该系统总是稳定的。2）当k>k1，3个闭环极点中同样有一对共轭复数极点s1、s2和一个实数极点s3，但由于极点s3距虚轴很近，因而相应的瞬态分量衰减得很缓慢，从而导致系统的输出响应有较长的过渡过程时间，这是一般的控制系统所不希望的。

由上述分析可知，增加的开环零点于s平面实轴上的不同位置，它对系统根轨迹所产生的影响是不同的。对于某一具体的开环传递函数，只有选择合适的附加零点，才有可能使控制系统的稳定性及动态性能得到显著地改善。系统不稳定1）增加零点系统仍不稳定0××j系统为临界稳定

系统稳定2）增加零点3）增加零点增加合适的开环零点将使根轨迹向左弯曲或移动，可以改善系统的稳定性和快速性，而且增加的开环零点越靠近原点对系统改善性能越好。结论2.增加开环极点若在开环传递函数中增加一个开环极点，-p(p>0)，则在根轨迹的相角方程中增加了一个负角[-arg(s+p)]，从而导致系统的根轨迹作向右倾斜变化，这显然不利于系统的稳定性及动态性能的改善。例如：设一单位反馈系统的开环传递函数为由图可知，当参变量K由变化时，该系统总是稳定的。系统的根轨迹如下图所示如增加一个开环极点-2，则开环传递函数变为对应的根轨迹如下图所示。当K>6时，系统就变为不稳定了。K取何值也稳定（如图所示）。

-20j-4ds22-22当0<K<6时系统稳定-2jds-220当0<K<4时系统稳定-2j0K取何值都不稳定。

△

p3在[-∞，0]之间为条件稳定，p3越靠近原点,使系统稳定的K取值范围越小。当p3在原点时，K取何值系统都不稳定。

增加开环极点将使根轨迹向右弯曲或右移，从而使系统的稳定性和快速性变差；而且所增加极点的模值越小，这种影响越明显。结论第六节用根轨迹法分析控制系统利用绘制的根轨迹进行系统分析

稳定性动态性能稳态误差利用绘制的根轨迹进行系统设计根据性能指标要求确定系统参数1.用根轨迹法确定系统中的有关参数图4-35控制系统试用选择参数K1和K2以使系统满足下列性能指标解系统的开环传递函数系统的静态速度误差系数

若要满足系统误差的要求，K1必须取值较大，K2必须取值较小。由题意得

为了同时满足的要求，闭环极点必须位于图4-36所示的阴影区域内。在S左半平面上,过坐标原点作一与负实轴成45°角的射线,如图4-36所示图4-36在S平面上希望极点的区域设，则式（4-57）变为令，则图4-35所示系统的闭环特征方程为作出以为参变量的根轨迹如图4-37所示。为了满足静态性能的要求，试取则式（4-57）可写为图4-37式（4-58）的根轨迹式中开环传递函数的极点为-3.15±j3.17。以β为参变量的根轨迹如图4-38所示,该图与由过坐标原点作一与负实轴成45°角的直线；并与根轨迹相交于-3.15±j3.17。由根轨迹幅值条件求得β=4.3=20K2；即K2=0.215因为所求闭环极点实部σ=3.15;因而图4-38式（4-59）的根轨迹2.确定指定K0时的闭环传递函数控制系统的闭环零点由开环传递函数中G(s)的零点和H(s)的极点组成，它们一般均为已知。系统的闭环极点与根轨迹的增益Ko有关。如果Ko已知，就可以沿着特定的根轨迹分支，根据根轨迹的幅值条件，用试探法求得响应的闭环极点。求K0=0.5时的闭环传递函数。解在分离点S=-0.423处，由幅值条件求得K0=0.385由此可知，K0=0.5时，系统有一对共轭复根和一个实根，经试样法确定，当s3=-2.192时，K0≈0.5例

已知图4-39根轨迹图一对共轭极点的对应的多项式为系统的传递函数为根据指定的阻尼比

值，由根轨迹图的坐标原点作一与负实轴夹角为的射线。该射线与根轨迹的交点就是所求的一对闭环主导极点，由幅值条件确定这对极点对应的Ko值，并据此确定闭环的其他极点。3.确定具有指定阻尼比

的闭环极点和单位阶跃响应1）闭环极点和相应的增益2）单位阶跃信号作用下的输出响应仍以图4-8所示系统为例，令，试求4.稳定性分析思路：关键点，根轨迹与虚轴的交点。例：

利用根轨迹分析系统稳定时根轨迹增益的取值范围。系统开环传函为

参数在一定范围内取值才能稳定的系统称为条