自动控制原理及应用课件(第五章)

自动控制原理及应用清华大学出版社董红生主编第5章控制系统的频域分析法本章小结5.4自动控制系统的应用举例5.3自动控制系统的基本要求5.2自动控制系统的分类5.1系统频率特性的基本概念

教学目标：了解系统频率特性的基本概念；掌握典型环节的频率特性；熟悉系统开环频率特性的绘制方法；掌握利用开环频率特性判定系统的稳定性；理解频率特性与系统性能的关系。

5.1系统频率特性的基本概念

5.1.1频率特性的定义

在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应，系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性。下面以RC电路为例分析系统频率特性。RC电路如图5-1所示。设RC电路的初始条件为0，其传递函数为图5-1RC电路式中，T=RC为电路的惯性时间常数。设输入为正弦电压信号式中，

对应的拉普拉斯变换为

则有

进行拉普拉斯逆变换，可得输出量的时域表达式为

显然，c(t)表达式中第一项是输出的暂态分量，当t→∞

时，暂态分量趋向于0；第二项是输出的稳态分量。

因此，RC电路的稳态响应可表示为

可见，当电路输入为正弦信号时，输出电压的稳态响应(频率响应)仍是一个正弦信号，其频率和输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，幅值衰减为原来，相位滞后了

，且均为

的函数。将输出的稳态响应和输入正弦信号用复数向量表示，则有

则它们的比值为式中，

可见，输出信号与输入信号的比值不仅与电路参数T有关，而且与频率

有关，称为RC电路的频率特性。

称为幅频特性，它是输出信号和输入信号的幅值之比，反映了频率特性的幅值与频率的关系；

称为相频特性，它是输出信号和输入信号的相角之差，反映了频率特性的相位与频率的关系。在相应的坐标系下绘制幅频特性和相频特性，如图5-2(a)、(b)所示。由图可见，当角频率

较低时，输出幅值衰减的不大，相位滞后不多，但随着角频率

的增加，输出幅值衰减加剧，直至趋近于零，相位滞后趋于-90°。

(a)幅频特性(b)相频特性图5-2RC电路的频率特性系统的频率特性定义为：线性系统(或环节)在正弦输入信号的作用下，系统的稳态输出与输入之比。系统的频率特性分为幅频特性和相频特性，又称为幅相特性。设n阶线性稳定系统的传递函数为

其中，s1,s2,…,sn为n个互异的闭环特征根。当时，则有取拉普拉斯逆变换得

系统输出响应为由于系统是稳定的，闭环特征根s1,s2,…,sn的均具有负实部，当t→∞时，c(t)表达式中的第一项逐渐趋于0，即为系统暂态响应。系统最终的稳态输出为

在极坐标下，和关于横轴对称，则有

式中，,为待定系数。其中(5-11)式(5-14)表明：线性系统的输入端加一频率为

正弦信号时，系统输出的稳态值是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位是频率

的函数。稳态输出幅值与输入幅值之比为|G(j)|；稳态输出与输入的相位相差∠G(j)。代入式(5-11)，则有

(5-14)根据频率特性的定义，则有系统的幅频特性

事实上，只要将系统传递函数中的s用j

代替，便可得到系统的频率特性，即有可见，系统频率特性和系统传递函数之间存在直接的内在联系。频率特性G(j

)是传递函数G(s)的一种特殊形式，它和系统的微分方程、传递函数一样都反映了系统的固有特性。

系统的相频特性系统的频率特性

频率特性G(j

)是

的复变函数，既可分解为幅频特性和相频特性，也可分解为实频特性和虚频特性，即有式中，

5.1.2频率特性的性质频率特性的性质主要包括以下几个方面。(1)频率特性描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性就完全确定。因此，频率特性也是控制系统的一种数学模型。(2)频率特性的定义为线性系统正弦输入作用下，输出稳态分量和输入的复数比。因此，频率特性是系统的稳态响应。(3)G(j

)、A(

)和(

)都是频率

的函数，并随频率的改变而改变，与输入幅值无关。(4)频率特性反映了系统性能，不同的性能指标对系统频率特性提出不同的要求。反之，根据系统的频率特性可确定系统的性能指标。(5)大多数实际控制系统的输出幅值A(

)随频率

的升高而衰减，呈现低通滤波器的特性。(6)频率特性一般适用于线性系统(元件)的分析，但也可推广到某些非线性系统的分析。5.1.3频率特性的图形表示常用的频率特性曲线有以下两种。

1．幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线以

为参变量，将幅频特性A(

)和相频特性(

)表示在复数平面上，复平面上的模值表示幅频值，幅角表示相频值，实轴正方向为相角零度线。逆时针旋转的角度为正角度，顺时针旋转的角度为负角度。幅相频率特性曲线也称奈奎斯特(Nyquist)图(简称奈氏图)或极坐标图。实际中常采用概略绘图方法。其作图方法是：取起点(

=0)，终点(

=∞)两点及0<

<∞之间的一些特殊点，如转折频率(

=1/T)处及与负实轴的交点，计算这些点处的幅频值和相频值，在幅相平面上找出这些点，并用光滑的曲线将它们连接起来。当频率

从零变到无穷大时，幅相频率特性向量终端的运动轨迹，即为幅相频率特性曲线。RC电路的频率特性为

取

=0、

=∞及

=1/T点，分别计算这三点处的幅频值和相频值如下：当

=0时，

绘制的幅相频率特性曲线如图5-3所示。图中，|OA|=0.707，=-45。。当

=∞时，

当

=1/T时，

图5-3RC电路的幅相频率特性曲线

2．对数频率特性曲线

对数频率特性曲线又称伯德(Bode)图，包括对数幅频特性和对数相频特性两幅图。对数幅频特性的横坐标表示频率

，按

的对数(lg

)分度，称为对数分度，单位为弧度/秒(rad/s)。频率

每变化10倍，称为10倍频程，记作dec。纵坐标表示幅频特性A(

)的对数值，按线性分度，单位为分贝(dB)，记作L(

)，有其坐标如图5-4所示。图中的横坐标采用对数分度，为了读数方便，仍以角频率

的真值标注。横坐标采用对数分度后，对

而言是不均匀的，但对lg

而言却是均匀的。由于横轴以对数分度，故其零频率在线性分度的负无穷处。图中的纵坐标采用线性分度，A(

)每变化10倍，L(

)变化20dB。对数相频特性的横坐标和对数幅频特性的横坐标相同，其纵坐标表示相角变化(

)，按线性分度，单位是度(°)。

在绘制对数幅频特性时，常用渐近线(分段直线)来近似精确曲线，大大简化了频率特性的计算和绘制。图5-4对数坐标图

采用对数坐标图的优点：(1)对数幅频特性采用频率

的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，可在一张图纸上清楚地画出频率特性的低、中、高频段的特性。(2)采用对数幅频特性将幅值的乘除运算转化为加减运算，可以简化图形的处理和分析计算。(3)对数幅频率特性曲线是建立在渐近线基础上的，可以利用简便的方法来绘制近似的幅频特性曲线。5.2典型环节的频率特性

1．比例(放大)环节利用频域分析法研究控制系统的性能，必须掌握几种典型环节的幅相频率特性和对数频率特性的绘制方法及其特点。

比例环节的传递函数为

频率特性为

幅频特性和相频特性分别为

对数幅频特性和对数相频特性分别为

显然，频率特性与频率

无关。幅相频率特性是实轴上的一个K点，奈氏图如图5-6所示。对数幅频特性是一条高度为20lgK且平行于横轴的直线，当K>1时，L(

)的值为正，当K<1时，L(

)的值为负。对数相频特性

(

)是与线(横轴)重合，伯德图如图5-7所示。图5-6比例环节的奈氏图

图5-7比例环节的伯德图2.积分环节理想积分环节传递函数为

显然，理想积分环节的幅相频率特性的特点是A(

)与频率

成反比，而(

)恒为。奈氏图如图5-8所示，当

从0→∞时，幅频特性由负虚轴的无穷远处趋于原点。频率特性为

幅频特性和相频特性分别为

对数幅频特性和对数相频特性分别为

理想积分环节的对数幅频特性L(

)是在

=1处穿过0dB线(横轴)，斜率为-20dB/dec的直线。对数相频特性是一条平行与横轴的直线，其纵坐标为。伯德图如图5-9所示。

图5-8理想积分环节的奈氏图

图5-9理想积分环节的伯德图

1.4自动控制系统的应用举例若积分环节的传递函数为频率特性为

对数幅频特性和对数相频特性分别为对数幅频特性L(

)是一条斜率为每10倍频程下降20dB的直线。当Ti=1，即为理想积分环节时，L(

)直线过横轴

=1点，当Ti≠1时，L(

)直线过横轴点。对数相频特性与理想积分环节相同。对数幅频特性如图5-10所示。图5-10积分环节对数幅频特性若有ν个积分环节串联在一起，即

频率特性为对数幅频特性和对数相频特性分别为显然，其对数幅频特性L(

)是一条在

=1处穿过0dB线(横轴)，斜率为-ν20dB/dec的直线，对数相频特性是通过-90°且平行于横轴的直线。

3．微分环节显然，理想微分环节的幅相频率特性的特点是A(

)与频率

成正比，而(

)恒为。奈氏图如图5-11所示，当

从0→∞时，幅频特性与正虚轴重合。

理想微分环节传递函数为

频率特性为幅频特性和相频特性分别为对数幅频特性和对数相频特性分别为

理想微分环节的对数幅频特性L(

)是一条在

=1处穿过0dB线(横轴)，斜率为20dB/dec的直线。对数相频特性是一条平行与横轴的直线，其纵坐标为。伯德图如图5-12所示。图5-11微分环节的奈氏图图5-12微分环节的伯德图

若微分环节的传递函数为

伯德图对称于横轴。对数幅频特性L(

)是一条斜率为20dB/dec的直线。当Td

=1，即为理想微分环节时，L(

)直线过横轴

=1点；当Td

1时，L(

)直线过横轴

=1/Td点。对数相频特性与理想微分相同。对数幅频特性如图5-13所示。

频率特性为对数幅频特性和对数相频特性分别为图5-13微分环节对数幅频特性4．一阶惯性环节

一阶惯性环节传递函数为

频率特性为幅频特性和相频特性分别为

对数幅频特性和对数相频特性分别为

可知，当

=0时，A(

)=1，(

)=0°，

逐渐增大，A(

)逐渐单调减小，(

)沿滞后方向逐渐增大。当

→∞时，A(

)=0，(

)=-90°，在

=1/T处，A(

)=，(

)=-45°。经过简单运算可将一阶惯性环节表示为圆的方程，即有

可见，惯性环节的幅相频率特性的特点是一个以(0.5,j0)为圆心，0.5为半径，位于第四象限的半圆，奈氏图如图5-14所示。式中，

为实频特性；

为虚频特性图5-14惯性环节的奈氏图

一阶惯性环节的幅值随

的增加而减小，具有低通滤波特性，一阶惯性环节的相位随

的增加而相位滞后增大，最大可达-90°，是一个相位滞后环节。采用渐近线近似表示一阶惯性环节的对数幅频特性。在低频段时，即

T<<1，可近似认为

T=0，则L(

)≈20lg1

=0dB，是一条0dB的水平线，称为低频渐近线。在高频段时，即

T>>1，可近似取L(

)≈20lg1-20lg

T=-20lg

T，是在

=1/T处穿过0dB线，斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。两条渐近线在

=1/T处相交，交点频率为

=1/T，称为转折频率或交接频率。采用渐近线表示对数幅频特性曲线和精确曲线必然存在一定的误差，其误差如表5-1所示。由表可知，在转折频率

=1/T处误差达到最大值为-3dB。

如需要精确曲线，可按表5-1，在

=0.1/T~10/T范围内加以修正。

绘制对数相频特性时，可给定若干

值，逐点求出(

)的值，再用光滑曲线连接即可。如取

=0时，则(

)=0°，取

=1/T时，则(

)=-45°，当→∞时，(

)=-90°。惯性环节对数频率特性的伯德图如图5-15所示。对数相频特性(

)关于

=1/T，()=-45°点中心对称，如表5-2所示。

图5-15惯性环节的伯德图

5．一阶微分环节一阶微分环节传递函数为

频率特性为

幅频特性和相频特性分别为

对数幅频特性和对数相频特性分别为图5-16一阶微分环节的奈氏图

可知，当

由0→∞时，A(

)由1→∞，(

)由0°→+90°，即一阶微分环节是一个相位超前环节，其幅相频率特性是在复平面中第一象限由(1,

j0)点出发，平行于正虚轴的一条直线，奈氏图如图5-16所示。一阶微分环节的频率特性和一阶惯性环节的频率特性互为倒数。因此，它们的对数幅频特性关于0dB线互为镜像对称，相频特性关于0°线互为镜像对称，一阶微分环节的对数频率特性的伯德图如图5-17所示，其对数幅频特性曲线也用渐近线表示，由低频段0dB水平线折为斜率+20dB/dec的高频段，转折频率为

=1/T。图5-17一阶微分环节的伯德图

对数幅频特性和对数相频特性分别为

可见，振荡环节的频率特性是频率和阻尼比的二元函数。以为参变量，在幅相频率特性上取若干(0→∞)的特殊点，计算对应的A()和()的值，即可画出幅相频率特性。6．振荡环节

振荡环节传递函数为

频率特性为

幅频特性和相频特性分别为

当=0时，A()=1，()=0°，幅相频率特性曲线为正实轴上的点(1，j0)；当→∞时，A()→0，()→-180°，幅相频率特性曲线沿负实轴的方向趋向原点；当=n时，A()=1/(2)，()=-90°，幅相频率特性曲线与负虚轴相交，值越小，曲线与负虚轴交点距离原点越远。振荡环节的奈氏图如图5-18所示。图5-18振荡环节的奈氏图振荡环节的对数幅频特性可由渐近线近似表示。在低频段，即当<<n=1/T时，有L()≈-20lg1=0dB，则振荡环节对数幅频特性的低频渐近线是0dB水平线；在高频段，即当>>n=1/T时，有L()≈-20lg2/2n=-40lgT，则振荡环节对数幅频特性的高频渐近线是一条在=n=1/T处穿过0dB线，斜率为-40dB/dec的直线。两条渐近线直线在=n=1/T处相交，构成了振荡环节的渐近线对数幅频特性，转折频率为振荡环节的无阻尼自然振荡频率n，渐近线对数幅频特性与无关。振荡环节的伯德图如图5-19所示。

图5-19振荡环节的伯德图当=1/T时，渐近线对数幅频特性与精确曲线的误差为对于不同

值，上述误差值如表5-3所示。当

在0.4～0.7之间取值，误差较小(<3dB)，可不用修正渐近线对数幅频特性。当

过小或过大时(

<0.4或

>0.7)，则应作适当修正。当

<0.707时，对数幅频特性上出现“突起”峰值，称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐振频率

r。

可求得谐振频率为

由则谐振峰值Mr为振荡环节的对数相频特性通过取定若干特殊点绘制。当

=0时，(

)=0°；当

=n=1/T时，(

)=-90°；当

→∞时，(

)→-180°。可见，振荡环节也是一个相位滞后环节，相位滞后随

增加而增大，且与阻尼比

值有关，最大滞后角为-180°。

振荡环节的对数相频特性随阻尼比

不同，其在转折频率附近的变化速度也不同。

越小，相频特性在转折频率附近的变化速度越大，而在远离转折频率处的变化速度越小，如图5-19所示。7．延迟环节延迟环节的传递函数为

频率特性为

幅频特性和相频特性分别为

对数幅频特性和对数相频特性为

延迟环节的幅频特性恒为1，与

无关，相频特性是与

成正比的负相移。它的幅相频率特性是一个以坐标原点为圆心，以1为半径的单位圆。奈氏图如图5-20所示。图5-20延迟环节的奈氏图

图5-21延迟环节的伯德图延迟环节的对数幅频特性是一条与0dB线(横轴)重合的直线，与

和

都无关；对数相频特性是一条随

增大而相角滞后增大的曲线。因此，延迟环节对系统的稳定性非常不利。延迟环节的伯德图如图5-21所示。8．非最小相位系统

在开环传递函数中不含有s右半平面的极点或零点且无延迟环节的系统，则称为最小相位系统。

不稳定惯性环节的传递函数为频率特性为

幅频特性和相频特性分别为

对数幅频特性和对数相频特性分别为不稳定惯性环节的幅频特性与惯性环节的幅频特性完全相同，而相频特性却大不一样。当

从0→∞变化时，惯性环节相角变化为0°→-90°，而不稳定惯性环节相角变化为-180°→-90°。惯性环节的滞后相移最小，故称其为最小相位系统。不稳定惯性环节称为非最小相位系统，奈氏图如图5-22所示。不稳定惯性环节的奈氏曲线与惯性环节的奈氏曲线关于虚轴对称。

图5-22不稳定惯性环节的奈氏图

不稳定惯性环节的对数幅频特性与惯性环节的对数幅频特性完全相同，而对数相频特性则关于-90°线成镜像对称。不稳定惯性环节的伯德图如图5-23所示。最小相位系统有一个重要性质是其幅频特性与相频特性之间有唯一的对应关系。

图5-23不稳定惯性环节的伯德图

5.3系统开环频率特性曲线的绘制

5.3.1系统开环幅相频率特性曲线的绘制

系统开环传递函数一般可表示为

系统频率特性为

式中，

i,Tj为时间常数，n为系统的阶次，ν为积分环节的个数，K为开环增益。系统开环幅频特性和相频特性的可表示为

(1)开环幅相曲线的起始点。当

→0时，开环幅相曲线的起始点取决于开环传递函数中积分环节的个数(系统型数)和开环增益K。当

=0(0型系统)时，开环幅相曲线在

=0时始于复平面上(K，j0)点；当

=1(Ⅰ型系统)时，开环幅相曲线始于无穷远处，曲线趋于与负虚轴平行的一条渐近线，渐近线与虚轴的距离为；当

=2(Ⅱ型系统)时，开环幅相曲线始于以负实轴为渐近线的无穷远处。奈氏图的起点情况如图5-24所示。图5-24奈氏图的起点(2)开环幅相曲线终止点。当

→∞

时，有开环幅相曲线以-(n-m)×90方向终止于坐标原点，且曲线与某坐标轴相切。奈氏图的终点情况如图5-25所示。(n>m)图5-25奈氏图的终点(3)开环幅相曲线与负实轴的交点。开环幅相曲线与负实轴的交点频率及交点处的幅值，可由求出交点频率，再代入，计算出交点处幅值。(4)开环幅相曲线与负虚轴的交点。开环幅相曲线与负虚轴的交点频率及交点处的幅值，可由求出交点频率，再代入，计算出交点处幅值。(5)若ν=0，n=m，则开环幅相曲线将始于实轴上某一有限点而止于实轴上另一有限点。【例5-1】系统的开环传递函数为

试绘制系统奈氏图。解：G(s)为0型系统，n-m=2

幅频特性相频特性起始点：

终止点：

令得，，求得则所以，曲线与虚轴交于(0,-4.71)，交点的频率值为。系统的奈氏图如图5-26所示。

图5-26例5-1系统奈氏图

【例5-2】系统开环传递函数为

试绘制系统奈氏图。解：G(s)为Ⅰ型系统，n-m=2

幅频特性相频特性起始点：

终止点：

因为则低频开环幅频曲线渐近线与虚轴的距离为系统奈氏图如图5-27所示。图5-27例5-2系统奈氏图

5.3.2系统开环对数频率特性曲线的绘制

系统开环传递函数通常可表示为若干典型环节的串联形式，即

则系统的频率特性为

系统对数幅频特性和对数相频特性为绘制系统开环对数频率特性的一般步骤如下所述。(1)将开环传递函数写为各环节串联的标准形式，并确定开环增益K。(2)确定各环节的转折频率，并由小到大依次标注在频率轴上。注意，由于比例环节和积分环节没有转折频率，可以排在最左边。(3)绘制开环对数幅频特性的渐近线。渐近线由若干条分段直线所组成，在低频段(

→0)时，，其中，v为积分环节数。故L(

)的低频段斜率为-v20dB/dec的直线，其位置确定方法为：①过

=1，高度为L(

)=20lgK的点作斜率为-v20dB/dec的直线；②当v≥1时，令，则L(

)的低频段或其延长线与0dB线交点频率为。点(

=1,20lgK)和点(,0dB)的连线，即为斜率-v20dB/dec的直线。以低频段作为分段直线的起始段向中、高频段延伸，每遇到一个环节的转折频率就改变一次分段直线的斜率。(4)如有必要，可对绘出的对数幅频特性渐近线的转折频率及其附近(两侧各10倍频程内)进行适当误差修正，以获得精确的对数幅频特性曲线。(5)相频特性曲线的绘制可根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成光滑曲线。

在实际工程中，对于相频特性除了解相频特性的大致的变化趋势外，更关心的是L(

)和0dB线交点频率

c(称为截止频率、穿越频率或剪切频率)处的相角。

1.0型系统对于0型系统

在低频起始段时，

很小，有，则，即0型系统幅频特性曲线起始段的高度为20lgKdB。0型系统低频起始段的伯德图如图5-30所示。图5-300型系统低频起始段的伯德图

【例5-4】0型的系统开环传递函数为绘制系统的伯德图。解：(1)系统由一个比例环节、两个惯性环节组成。系统开环对数幅频特性和相频特性分别为(2)系统为0型，故低频起始段为高度20lgKdB的水平线；

(3)在横坐标上标出各环节的转折频率，即1=0.1rad/s，2=1rad/s。(4)在=1处，作高度为20lgK

dB的水平线；在1=0.1rad/s处，曲线斜率由0变为-20dB/dec；在2=1rad/s处，曲线斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，绘制出系统的开环对数幅频特性渐近线。(5)分别画出各典型环节的对数相频特性曲线，并将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向叠加，可得到系统的对数相频特性曲线。系统伯德图如图5-31所示。图5-31例5-4系统伯德图2.Ⅰ型系统

对于Ⅰ型系统

Ⅰ型系统幅频特性曲线的低频起始段渐近线的斜率为-20dB/dec，且低频段或低频段渐近线的延长线在

=1时的高度为20lgKvdB；低频段或低频段渐近线的延长线与横轴相交，交点处的频率=Kv，如图5-32所示。

(a)

=1位于低频段(b)

=1位于低频段的延长线图5-32Ⅰ型系统低频起始段的伯德图

【例5-5】Ⅰ型的系统开环传递函数为

绘制系统的伯德图。解：(1)系统由一个比例环节、一个积分环节、一个比例微分环节、两个惯性环节组成。将系统开环频率特性化为标准形式，即

则系统开环对数幅频特性和相频特性分别为

(2)系统为Ⅰ型，故低频起始段渐近线的斜率为-20dB/dec，低频段在=1时的高度为20lg10=20dB。(3)在横坐标上标出各环节的转折频率，即1=1rad/s，2=2rad/s，3=20rad/s。(4)找到=1处，高度为20dB的点，通过该点作斜率为-20dB/dec的直线，并且在1=1rad/s、2=2rad/s、3=20rad/s处，改变线段斜率，即可绘制出系统开环对数幅频特性渐近线。(5)分别画出各典型环节的对数相频特性曲线，并将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向叠加，可得到系统的对数相频特性曲线。系统伯德图如图5-33所示。

图5-33例5-5系统伯德图3.Ⅱ型系统

对于Ⅱ型系统Ⅱ型系统幅频特性曲线的低频起始段渐近线的斜率为-40dB/dec，且低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的高度为20lgKadB；低频段或低频段渐近线的延长线与横轴相交，交点处的频率，如图5-34所示。

(a)低频段与横轴相交(b)低频段延长线与横轴相交图5-34Ⅱ型系统低频起始段的伯德图【例5-6】某一最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线曲线如图5-35所示。若已知a、1、2参数，试分别写出系统开环传递函数G(s)和

=c时相角(c)的表达式。解：(1)由图可知，该系统为Ⅱ型系统，由比例环节、两个积分环节、一个比例微分环节和一个惯性环节组成。图5-35【例5-6】系统开环对数幅频特性

(2)写出开环传递函数的表达式为(3)计算各环节的参数由于而则有解得于是系统开环传递函数为(4)求剪切频率

c和(

c)由于而则有解得5.4利用频率特性法分析控制系统的性能5.4.1控制系统的稳定性分析1.奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)为：闭环系统稳定的充要条件是式中，z为闭环系统在s右半平面的极点数；p为开环系统在s右半平面的极点数；N为当

从0～∞变化时，开环幅相特性曲线围绕(-1,j0)点转过的圈数(以逆时针方向为正)。

判据说明：

(1)若开环系统稳定(p=0)，则闭环系统稳定的充要条件是N=0，即奈奎斯特曲线不包围(-1,j0)点。(5-57)(2)若开环系统不稳定(p

0)，则闭环系统稳定的充要条件是N=p/2。(3)开环系统含有积分环节时，式(5-57)不变，只需将奈奎斯特曲线相应频率从

=0到

=0+顺时针补充半径为∞，角度为v×90°的大圆弧(v所含积分环节的个数)。设开环系统稳定(p=0)，系统开环幅相频率特性的三种情况如图5-36所示。

(a)不包围(-1,j0)点(b)包围(-1,j0)点(c)过(-1,j0)点图5-36系统开环幅相频率特性的3种情况

图5-36(a)所示奈奎斯特曲线不包围(-1,

j0)点，闭环系统稳定；图5-36(b)所示奈奎斯特曲线包围(-1,j0)点的圈数为N=-1，则z=p-2N=0-2×(-1)=2，不满足奈氏判据的条件，闭环系统不稳定；图5-36(c)所示奈奎斯特曲线正好通过(-1,j0)点，闭环系统临界稳定。

开环不稳定(p

0)和开环系统含有积分环节的开环幅相频率特性如图5-37所示，其中，p为开环不稳定极点的个数，v为所含积分环节的个数。

图5-37(a)曲线包围(-1,j0)点的圈数为N=1，则z=p-2N=2-2×1=0，闭环系统稳定；(a)p=2,v=0情况(b)p=1,v=1情况(c)p=0,v=2情况图5-37系统开环幅相频率特性图5-37(b)从

=0到

=0+顺时针补充半径为∞，角度为90°的大圆弧，曲线包围(-1，j0)点的圈数为N=1/2，则z=p-2N=1-2×(1/2)=0，闭环系统稳定；图5-37(c)从

=0到

=0+顺时针补充半径为∞，角度为180°的大圆弧，曲线包围(-1,j0)点的圈数为N=-1，则z=p-2N=0-2×(-1)=2，闭环系统不稳定。

2.对数频率稳定判据利用开环系统的伯德图来判别闭环系统的稳定性，称之为对数频率稳定判据，它实际上是奈氏稳定判据的另一种表述形式。

系统开环频率特性的奈氏图和伯德图之间的对应关系如图5-38所示，由图可知：奈氏图上|Gk

(j

)|=1的单位圆对应伯德图对数幅频特性0dB线；奈氏图上单位圆以外对应伯德图对数幅频特性L(

)>0的部分；奈氏图上单位圆内部对应伯德图对数幅频特性L(

)<0的部分；奈氏图上的负实轴对应伯德图上相频特性的-180°线。

(a)奈氏图(b)伯德图图5-38系统奈氏图和伯德图的对应关系

若规定开环幅相特性曲线沿

增加方向，由上往下穿过(-∞,-1)的负实轴一次，称为一个正穿越；由下往上穿过(-∞,-1)的负实轴一次，称为一个负穿越；幅相特性曲线从(-∞,-1)的负实轴开始向下(向上)称为半个正(负)穿越。

正、负穿越对应于伯德图上是：在L()>0的频段内，随增加，相频特性()曲线从下往上穿过-180°线，称为()对-180°线的正穿越(相角增加)；反之，称为负穿越(相角减少)。相频特性()曲线从-180°线开始往上称为半个正穿越，()从-180°线开始往下称为半个负穿越。

对数频率稳定判据表述为：当由0→∞时，在开环对数幅频特性L()≥0的频段内，相频特性()穿越-180°线的次数N为p/2(N=N+-N-)。p为s右半平面开环极点数，N+为正穿越次数，N-为负穿越次数。

【例5-7】系统的开环传递函数为试画出K=2，K=50时的伯德图，并判断其稳定性。解：因v=1，故应在()的=0+处补充—段从上而下、变化范围为-90°的直线，如图中虚线所示。当K=2时，系统对数幅频特性在L()≥0的频段内，()不穿越-180°线，故系统稳定。当K=50时，系统对数幅频特性在L()≥0的频段内，N+=0，N-=1，N=N+-N-=-10，故系统不稳定。说明随开环增益增大K，系统的稳定性下降。图5-39例5-7系统伯德图

3.稳定裕度稳定裕度可以表征闭环系统的稳定程度，即为系统的相对稳定性。若开环系统稳定，则闭环系统稳定的充要条件为：系统的奈奎斯特曲线G(j

)不包围(-1,j0)点，而当奈奎斯特曲线正好穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。因此，奈奎斯特曲线靠近(-1,

j0)点程度表征了系统的相对稳定性。图5-41所示为两个系统的频率特性和其对应的阶跃响应曲线。

(a)稳定性高的奈氏图和阶跃响应(b)稳定性低的奈氏图和阶跃响应图5-41系统频率特性与阶跃响应的对应关系

图5-41(a)和图5-41(b)对应的闭环系统均是稳定的，但图5-41(a)系统的奈奎斯特曲线距离(-1,j0)点远，系统的相对稳定性高。

规定以稳定裕度——相角裕度

和幅值裕度Kg，作为衡量闭环系统相对稳定性的定量指标。

和Kg在频率特性上的图示如图5-42所示。对应于幅值A(

)=1(即L(

)=0)的角频率称为剪切频率

c，在剪切频率处，相频特性距-180°线的相位差

称为相角裕度，即对应于()等于-180°的频率

g处，开环幅频特性A(g)的倒数Kg称为幅值裕度，即

在伯德图上，幅值裕度以分贝(dB)表示。

(a)奈氏图表示(b)伯德图表示图5-42相角裕度和幅值裕度的图示当系统稳定时，

>0°称为正相角裕度，Kg>1或20lgKg>0，称为正幅值裕度；当系统不稳定时，

<0°称为负相角裕度，Kg<1或20lgKg<0称为负幅值裕度，如图5-43所示。

(a)稳定系统(b)不稳定系统图5-43系统的相角裕度和幅值裕度

对于最小相位系统只有当相角裕度

>0°、幅值裕度Kg≥1，即Kg(dB)≥0dB时，闭环系统才稳定。为使闭环系统具有良好的动态性能，通常要求=40°～65°，Kg≥2，即Kg(dB)≥6dB。最小相位系统的L()的斜率与相移()之间有唯一对应关系，为了保证足够的相角裕度，在开环截止频率c处L()的斜率应大于-40dB/dec。【例5-9】已知某最小相位系统开环对数幅频特性如图5-44所示，试求(1) 开环传递函数；(2) 开环剪切频率c；(3)相角裕度

；(4)概步绘制系统开环对数相频特性曲线()。图5-44开环对数幅频特性

解：(1)求系统开环传递函数。由L()各段斜率可知

L(

)起始段斜率为-40dB/dec，且和0dB线交于0=20rad/s，则有当

=1时，L(

)起始段为20lg4，则有

得

1=10rad/s，

=1/1=0.1s

由图可得，T=1/2=0.01s

因此，系统开环传递函数为

(2)计算c由

可得

c=40rad/s

(3)计算相角裕度。(4)作(

)曲线如图5-44所示。由图可知，当→∞时，(

)→180°，所以，Kg=∞，该系统具有很好的相对稳定性。

5.4.2控制系统的性能分析1.三频段与系统性能的关系利用开环频率特性来分析闭环控制系统性能时，通常将开环频率特性分成低、中、高三个频率段，称为三频段。一般来说，开环频率特性的第一个转折频率之前的部分称为低频段；剪切(穿越)频率c附近的区段为中频段；中频段以后的部分(

>10c)为高频段。

图5-45典型开环频率特性的三段频

1)低频段低频段特性完全取决于系统开环增益K和系统型别(开环积分环节的数目v)。低频段反映了系统的稳态性能。

低频段对应的开环传递函数可近似为

对数幅频特性为

低频段的L(

)的渐近线是以斜率为-v20dB/dec的直线，如图5-46所示。

图5-46低频段频率特性

可以从低频段的对数频率特性上确定开环增益K的值。1）低频渐近线(或其延长线)在

=1处，有L(1)=20lgK2）低频渐近线或其延长线交于0dB线的频率0和开环增益K的关系为K=。

2)中频段中频段是指L(

)在剪切频率

c附近的频段，其斜率及宽度集中反映了系统动态响应的平稳性和快速性。若系统开环对数幅频特性的中频段斜率为-20dB/dec，且占有一定的频程宽度，可近似认为开环整个曲线为一条斜率为-20dB/dec的直线，如图5-47所示。其对应的开环传递函数为对于单位反馈，闭环传递函数为

这相当于一阶系统，其阶跃响应按指数规律变化，无超调。调节时间。图5-47中频段对数幅频特性(1)

剪切频率

c反映了系统响应的快速性。若系统开环对数幅频特性的中频段斜率为-40dB/dec，且占有一定的频程宽度，可近似认为开环整个曲线为一条斜率为-40dB/dec的直线，如图5-48所示。其对应的开环传递函数为

对于单位反馈，闭环传递函数为相当于无阻尼的二阶系统，其动态响应持续振荡，系统处于临界稳定状态。

图5-48中频段对数幅频特性(2)

中频段的斜率反映了系统响应的平稳性。通常，应取中频段的斜率为-20dB/dec，且需占有一定的频程宽度。

3)高频段高频段特性主要由系统中小时间常数的环节决定，其转折频率和剪切频率

c相距较远，且分贝值较小。因此，对系统的动态性能影响不大。高频段系统的开环对数幅频特性的幅值大小，却反映了系统对输入端高频干扰的抑止能力，高频段分贝值越低，系统抗高频干扰的能力越强。

在开环对数幅频特性的三个频段中，低频段决定了系统的稳态精度；中频段决定了系统的平稳性和快速性；高频段决定了系统的抗干扰能力。

2.频率特性与系统性能指标的关系1)二阶系统开环频域指标与时域指标的关系典型二阶系统的开环频率特性为

幅频特性和相频特性分别为

由于在

=c处，A(c)=1，可得

求得系统的相角裕度为

(5-65)(5-66)相位裕度

与系统的阻尼比

有关，它们之间的关系曲线如图5-49所示。

图5-49二阶系统

%、

与

的关系当0<

<0.707时，其关系近似表示为

=100

比较

、

%和

的关系曲线后可以看出，

越大，

%越小；

越小，

%越大。在时域分析中，当0<

<1时，

将式(5-65)代入上式，得

将式(5-66)代入式(5-68)，得(5-68)

(5-69)由式(5-69)可知，调节时间ts与

、c都有关。在

不变时，c越大，则ts越短。若两二阶系统的

相同，则它们的超调量

%大致相同，但其调节时间ts不同，c较大的系统，ts较短。剪切频率c在频率特性中是一个十分特殊的重要参数，它不仅影响系统的相位裕度，还影响动态过程的调节时间。

2)闭环频率特性及其性能指标对于单位反馈系统，其闭环频率特性为控制系统典型闭环幅频特性曲线如图5-51所示。衡量系统性能的闭环频率指标主要如下。(1)零频幅值M0

。闭环幅频特性在

=0时的值称为零频幅值M0，即，它反映了系统的稳态精度。图5-51控制系统的典型闭环幅频特性(2)谐振峰值Mr。闭环幅频特性的最大值和零频幅值的比值称为谐振峰值Mr。谐振峰值反映了系统的相对稳定性。一般而言，Mr值越大，则系统阶跃响应的超调量也越大。通常希望系统的谐振峰值在1.1～1.4之间，相当于二阶系统的

为0.4<

<0.7。

(3)谐振频率r。产生谐振峰值对应的频率称为谐振频率r。它在一定程度上反映了系统动态响应的速度。r越大，则动态响应越快。

(4)截止频率b。

闭环幅频特性下降到0.707M0或零频幅值以下3dB时所对应的频率称为截止频率b。

(5)频带宽度BW。频率范围0<

<b称为频带宽度BW，它反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。BW越大，响应速度越快。反之，BW越小，只有较低频率的信号才易通过，则动态响应往往比较缓慢。

5.4.3典型控制系统的频域分析1.典型Ⅰ型系统频域分析典型Ⅰ型系统的开环传递函数为

开环对数频率特性如图5-52所示。

图5-52Ⅰ型系统开环对数频率特性

Ⅰ型系统的开环传递函数中有两个参数，即开环增益K和时间常数T。实际上，时间常数T往往是控制对象本身固有的，能够由调节器改变的只有开环增益K。K改变的对数幅频特性如图5-53所示。由图可以看出，典型Ⅰ型系统开环对数幅频特性随着K值的变化而上下平移。

图5-53K值变化的对数频率特性

要使系统中频段的斜率为-20dB/dec，应有

c<1/T，又因为有c=K，所以，K<1/T或KT<1，否则，中频段的穿越斜率为-40dB/dec，对系统稳定很不利。由c=K可知，典型Ⅰ型系统开环增益K越大，则剪切频率c也越大，系统响应越快。而系统的相角裕度为，当c增大时，

将降低，说明快速性与稳定性之间的是相互矛盾的。在选择参数时，应折中考虑。

1)典型Ⅰ型系统稳态性能典型Ⅰ型系统的稳态性能可用不同输入信号作用下的稳态误差来表示。对于典型Ⅰ型系统有Kv=K，Kp=∞、Ka=0

在不同输入信号作用下的稳态误差如表5-4所示。

可见，在阶跃输入下Ⅰ型系统在稳态时是无差的，但在斜坡输入下，则存在恒值稳态误差，且与K值成反比，在抛物线(加速度)输入下稳态误差是∞，故Ⅰ型系统不能用于具有加速度输入的随动系统。2)典型Ⅰ型系统动态性能典型Ⅰ型系统单位反馈的闭环传递函数为式中，

且有

在Ⅰ型系统中KT<1，故

>0.5。在典型Ⅰ型系统中，取0.5<

<1。根据阻尼比

和T或K可计算系统动态性能指标。

(1) 时域指标。超调量

上升时间

调节时间

(当

<0.9时)(2) 开环频域指标。剪切频率

准确的剪切频率

相角裕度

(当KT<1时)

在0.5～1范围的性能指标的计算结果如表5-5所示。表5-5Ⅰ型系统的动态性能指标与参数的关系参数关系KT0.250.390.50.691.0阻尼比

1.00.80.7070.60.5上升时间tr∞6.67T4.72T3.34T2.41T调节时间ts9.4T6T6T6T6T超调量

%01.54.39.516.3剪切频率c0.24/T0.37/T0.46/T0.59/T0.79/T相角裕度

76.3°69.9°65.3°59.2°51.8°从表5-5中可以看出，若KT值较大，即

为0.5～0.6，系统的动态响应快；若KT值较小，即

为0.8～1，系统的动态超调小；当KT=0.5时，即

=0.707，此时，2c=1/T，动态响应略有超调，称为二阶开环最优模型。

2.典型Ⅱ型系统频域分析典型Ⅱ型系统的开环传递函数为开环对数频率特性如图5-54所示。

可见，对数幅频特性的中频段以-20dB/dec的斜率穿越0dB线。系统含有一个重积分环节和一个惯性环节，系统分子上添加一个比例微分环节，将系统的相频特性抬到-180°线以上，保证系统稳定。

图5-54Ⅱ型系统开环对数频率特性显然，有，则相角裕度为可见，

比T大得越多，则系统稳定裕度越大。为了分析方便，引入一个新的变量，令

h是斜率为-20dB/dec的中频段的宽度，称为中频宽。由图5-54可以看出，，则有

由于T是系统固有的时间常数，可改变

调整中频宽h，若中频宽h给定，改变K可使开环对数幅频特性上下平移，从而改变了剪切频率c。

(5-80)只有一个确定的

c或K，可以得到最小的闭环幅频特性峰值Mr，它们之间的关系为

对应的最小Mr峰值为

不同值h时计算出来的Mrmin值和对应的频率比如表5-6所示。一般取h在7～12之间，系统的动态性能较好。

(5-81)表5-6不同值h最小Mr和最佳频率比h345678910121518Mrmin2.001.671.501.401.331.291.251.221.181.141.122/c1.501.601.671.711.751.781.801.821.851.871.90c/12.02.53.03.54.04.55.05.56.58.09.51)典型Ⅱ型系统稳态性能典型Ⅱ型系统的稳态性能可用不同输入信号作用下的稳态误差来表示。在不同输入信号作用下的稳态误差如表5-7所示。

表5-7Ⅱ型系统在不同输入信号作用下的稳态误差输入信号阶跃输入r(t)=A(t)斜坡输入r(t)=At抛物线输入r(t)=At2/2稳态误差00A/K可见，在阶跃和斜坡输入下，Ⅱ型系统在稳态时都是无差的。在抛物线(加速度)输入下，稳态误差的大小与开环增益K成反比。

2)典型Ⅱ型系统动态性能按Mr最小原则设计参数，可得出时域和频域指标的关系。将式(5-8