自动控制原理ppt2

第二节控制系统的传递函数主要内容

一、传递函数的概念

二、传递函数的性质

三、典型环节及其传递函数引言

控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。

传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念一、传递函数的概念

图2-4所示的RC电路。

(2.13)

(2.14)消去中间变量i(t)，得到输入ur(t)与输出uc(t)之间的线性定常微分方程:(2.15)

图2-4RC电路

电容的端电压uc(t)。根据基尔霍夫定律，可列写如下微分方程：

现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，令电容上的初始电压uc(0)=0，得:

(2.16)式中Uc(s)——输出电uc(t)的拉氏变换；Ur(s)——输入电压ur(t)的拉氏变换。

由上式求出Uc(s)的表达式:

(2.17)

用式(2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为：式中T=RC。显然，传递函数G(s)确立了电路输入电压与输出电压之间的关系。

传递函数可用图2-5表示。该图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压Uc(s)=G(s)Ur(s)。

传递函数定义：线性（或线性化）定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数图2-5传递函数G(S)Ur(S)Uc(S)

若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：

(2.18)

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。

令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式(2.18)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)由传递函数的定义，由式(2.18)描述的线性定常系统的传递函数：式中

M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。(2.19)

二、传递函数的性质

从线性定常系统传递函数的定义式(2.19)可知，传递函数具有以下性质：1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m低于或等于分母的阶数n（m≤n），且所有系数均为实数。

2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。

(2.20)

3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。将式(2.19)中分子多项式及分母多项式因式分解后，写为如下形式：图2-6

G(s)=零极点分布图

4.若取式(2.19)中s=0，则：常称为传递系数（或静态放大系数）。从微分方程式(2.18)看，S=0相当于所有导数项为零，方程蜕变为静态方程

或b0/a0恰为输出输入时静态比值。5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量。多输入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示。

三、典型环节及其传递函数

控制系统从动态性能或数学模型来看可以分为以下几种基本环节，也就是典型环节。

（一）比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K

(2.21)

输出量与输入量成正比，比例环节又称为无惯性环节或放大环节。图2-7比例环节

图2-7(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图2-7(b)所示。

(a)(b)（二）惯性环节传递函数为如下形式的环节为惯性环节：

(2.22)

当环节的输入量为单位阶跃函数时，环节的输出量将按指数曲线上升，具有惯性，如图2-8(a)所示。式中

K——环节的比例系数；

T——环节的时间常数。

图2-8

惯性环节

（三）积分环节

它的传递函数为:

(2.23)

当积分环节的输入为单位阶跃函数时，则输出为t/T，它随着时间直线增长。T称为积分时间常数。T很大时惯性环节的作用就近似一个积分环节。图2-9(b)为积分调节器。积分时间常数为RC。

图2-9

积分环节（四）微分环节

理想微分环节传递函数为:G(s)=Ts

(2.24)

输入是单位阶跃函数1(t)时，理想微分环节的输出为c(t)=Td(t)，是个脉冲函数。

在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为：

理想微分环节示于图2-10(a)微分运算放大器。(2.25)

它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-10(b)所示。在低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.25)的传递函数。图2-10

微分环节（a）(b)（五）振荡环节振荡环节的传递函数为：

(2.26)式中wn

---无阻尼自然振荡频率，wn=1/T；z——阻尼比，0＜z＜1。图2-11所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。图2-11

振荡环节的单位阶跃响应曲线

（六）延滞环节

延滞环节是线性环节，t称为延滞时间（又称死时）。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。如图2-12所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间t

后才出现阶跃信号，在0＜1＜t内，输出为零。图2-12延滞环节

延滞环节的传递函数可求之如下：c(t)=r(t－t)其拉氏变换为:式中x=t-t，所以延滞环节的传递函数为:系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。(2.27)(七)串联环节等效传递函数的求取相互间无负载效应的环节串联时，串联后的等效环节的传递函数等于每个环节空载时传递函数的乘积。如图2-13两环节串联（2.28）X1(S)X2(S)X3(S)图2-13串联环节的方框图G1(S)G2(S)（八）同向并联环节等效传递函数的求取环节同向并联时，并联后的等效环节的传递函数等于各个同向并联环节传递函数之和，如图2-14G1(S)G2(S)X1(S)X2(S)X3(S)X4(S)++图2-14同向并联环节方框图传递函数：（九）反馈回路传递函数的求取G1(S)G2(S)X1(S)X2(S)Y(S)E(S)+-图2-15反馈回路方框图反馈回路方框图如图2-15传递函数：正反馈回路：G1G2G1G2G1G2GHG1G2几种传递函数的等效关系：四、控制系统的传递函数控制系统方框图如图2-16所示图中:R(S)为控制信号，F(S)为扰动信号，C(S)为被控信号，为偏差信号的拉氏变换。G1(S)、G2(S)、H(S)为前向通道和反馈通道的传递函数--图2-16控制系统方框图Y(S)X1(S)X2(S)求得被控信号对于控制信号的闭环传递函数：其中被控信号对于扰动信号的闭环传递函数:偏差信号对于控制信号的闭环传递函数：反馈系统的特征方程：第三节

控制系统方框图及其简化提纲：

一

、控制系统的方框图

二、控制系统方框图的简化引言：求系统的传递函数时，需要对微分方程组或经拉氏变换后的代数方程组进行消元。而采用方框图（结构图）或信号流图，更便于求取系统的传递函数，还能直观地表明输入信号以及各中间变量在系统中的传递过程。因此，方框图和信号流图作为一种数学模型，在控制理论中得到了广泛的应用。一

、控制系统的方框图定义

定义：应用函数方框将控制系统的全部变量联系起来以描述信号在系统中流通过程的图示，称控制系统方框图。方框图也是系统的一种数学模型，它实际上是数学模型的图解化。控制系统可用函数方框、相加点、分支点构成的方框图表示，如图2-17。图2-17反馈系统方框图G1(S)G2(S)R(S)C(S)Y(S)E(S)+-相加点方框分支点相加点：对信号求和的点；分支点：一个信号同时进入两个以上方框或相加点时的分离点。

箭头表示信号传递方向。二、写出组成系统的各个环节的微分方程

求取各环节的传递函数，画出个体方框图

从相加点入手，按信号流向依次连接成整体方框图，即系统方框图

绘制方框图的步骤举例：画出图2-18RC网络运动特性的方框图。

图2-18，RC网络的微分方程式为:对上面二式进行拉氏变换，得:

图2-18RC网络

(2.29)(2.31)将式(2.29)表示成:(2.30)1/R1/CS-U1(S)+U2(S)I(S)U2(S)1/R-U1(S)+U2(S)I(S)1/CSI(S)U2(S)由式和式画出相应函数方框，如图2-18（a）和（b）所示，最后，按信号流向将上列两函数方框连接起来，画出相加点和分支点即得图（c）的描述RC电路运动特性的方框图。（a）（b）（c）图2-18

RC电路运动特性的方框图1．分支点的移动规则根据分支点移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则，可将分支点顺着信号流向或逆着信号流向移动。（1）前移三、方框图化简规则图2-19分支点前向移动（2）后移图2-20分支点后向移动2．相加点移动规则（1）前移图2-21相加点前移（2）后移图2-21相加点后移相加点移动前后，分出支路信号保持不变。结论：相加点前移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数倒数的函数方框；相加点后移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数的函数方框。分支点移动前后，分支路信号是保持不变的。结论：分支点前移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数的函数方框；分支点后移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数倒数的函数方框。3．等效单位反馈变换规则

图2-22等效单位反馈变换G2(S)G1(S)++R(S)C(S)R(s)1G2(S)G2(S)G1(S)++C(S)4、同向并联环节易位图2-23同向并联环节易位4．交换或合并比较点原则图2-24交换、合并比较点应用方框图简化基本规则简化后所得最简形式，可根据下列两项要求检验简化的正确性：（1）前向通道中传递函数的乘积保持不变；（2）反馈回路中传递函数的乘积保持不变。简化方框图求总传递函数的一般步骤1、确定系统输入和输出量，若有多个输入量（作用在不同位置），则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于多个输出量的情况也应分别变换。2、若方框图中有交叉关系，应运用等效变换法则先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。3、对于多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。例：图2-25电路，试绘制其方框图，并通过等效简化求取传递函数U2(S)/U1(S)

1R2RR3R4i1i2i3i4C3U1U2C1C2U3U4图2-25电路图图2-26模拟控制器电路图例：图2-26是一个模拟控制器的电路示意图。1）建立该控制器的结构图；2）求闭环传递函数Uc(s)/Ur(s)；3）当R1=R2=R3=R4=100KΩ；；输入，求的稳态输出。

例：

简化图2-27所示系统的结构图，并求系统传递函数GB(s)〔即C(s)/R(s)〕。图2-27多回路系统结构图解：

将综合点后移，然后交换综合点的位置，将图2-27化为图2-28(a)。然后，对图2-28(a)中由G2，G3，H2组成的小回路实行串联及反馈变换，进而简化为图2-28(b)。图2-28图2-27系统结构图的变换第四节控制系统的信号流图（一）信号流图的定义信号流图中节点代表系统变量（或信号），两节点间用标明信号流向的定向线段连接，其上标出两变量间的传递函数。信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。下面介绍几个常用术语：

x1x2x3x3x4a11输入节点（源点）混合节点回路输入节点（源点）输出节点（肼点）图2-29信号流图一、控制系统的信号流图

（1）节点：表示变量或信号的点称节点，用符号“”表示。（2）传输：两节点间的增益或传递函数称传输。（3）支路：连接两个节点并标有信号流向的定向线段称支路，支路的增益是传输。（4）输入节点（源点）：只有输出支路的节点称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。（5）输出节点（肼点）：只有输入支路的节点称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。（6）混合节点

既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。x1x2x3x3x4a11输入节点（源点）混合节点回路输入节点（源点）输出节点（肼点）图2-29信号流图（7）通路

从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点所构成的路径称为通路。通路中各支路增益的乘积叫做通路增益。有开通路和闭通路两种。（8）前向通路

是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其它节点相交不多于一次的通路。该通路的各增益乘积称为前向通路增益。（9）回路

通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。（10）不接触回路一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，则称为不接触回路，反之称为接触回路。x1x2x3x3x4a11输入节点（源点）混合节点回路输入节点（源点）输出节点（肼点）图2-29信号流图（二）信号流图的绘制方法信号流图可以根据系统微分方程绘制，也可以由系统结构图按照对应关系得出。1、根据微分方程绘制例：已知某控制系统运动方程的拉氏变换为：其中：、分别为系统输入、输出信号的拉氏变换。2、根据系统结构图绘制信号流图

图2-30多回路系统x1x2x3x4x5x6x7

（三）用梅森(S.J.Mason)公式求传递函数借助于梅逊公式，不经任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。

计算信号流图输入输出节点间总增益的梅森公式的表达式为：P=P,G(s)为待求的总传递函数（总增益）。(2.32)式中Δ——称为信号流图的特征式，且(2.33)

n——从输入节点到输出节点所有前向通路的条数；Pk——从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益；Dk——在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分的特征式，称为第k条前向通路特征式的余子式；

∑Li——所有各回路的回路增益之和；∑LiLj——所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；∑LiLjLk——所有三个互不接触回路的增益乘积之和；在回路增益中应包含代表反馈极性的正、负符号。

图2-30（b）中共有四个回路，故：

四个回路中，只有Ⅱ、Ⅲ回路互不接触，没有重合的部分。

而故可得特征式：

图2-30（b）中只有一条前向通路，故P1=G1G2G3G4G5G6由于所有回路均与前向通路相接触，故余子式D1=1。

图2-30（b）系统的总传递函数为：图2-31系统结构图例：求图2-31所示系统的传递函数。解:

回路有四个：L1=-G1G2H1，L2=-G2G3H2，

L3=-G1G2G3，L4=-G1G4。回路中L2与L4不接触，L2L4=（-G2G3H2）（-G1G4）因而特征式：

D=1-L1-L2-L3-L4+L2L4

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G1G2G3G4H2有两条前向通路，故k=2。P1=G1G2G3，与每个回路均有接触，P1的余子式Δ1=1；P2=G1G4，与回路L2=-G2G3H2不接触，P2