自动控制原理 第5章 频率法-2-1

§5-2系统开环频率特性典型环节频率特性(7种)幅相曲线伯德图开环系统频率特性幅相曲线伯德图15.2.1典型环节的幅相曲线以角频率w为参变量，当w=-+变化时，将系统的频率特性绘制在复平面上所得的曲线，简称为幅相曲线。它是关于实轴对称的，通常只画出w=0+的部分，并用箭头标明w增大的方向。2(1)幅相曲线传递函数：频率特性：.0K图5-4比例环节的幅相曲线频率特性如图5-4所示。其幅频特性和相频特性分别为1、比例环节3(2)对数频率特性对数幅频特性是一条平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。

当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。比例环节的相频特性是

它是一条与角频率w无关且与w轴重合的直线。图5-21比例环节的Bode图4当有n个放大环节串联时，即：

G(s)=G1(s)G2(s)……Gn(s)幅值的总分贝数为

5

对应的频率特性：

幅频特性和相频特性分别为（5-17）（5-18）图5-5积分环节的幅相曲线2、积分环节(1)幅相曲线0+0+6积分环节频率特性的特点：积分环节属于相角滞后环节，对正弦信号有900的滞后作用；幅相曲线与负虚轴重合。7对数幅频特性是：当时，；当时，；当时，。(2)对数频率特性斜率为-20(5-35)8设，则有

可见，积分环节的对数幅频特性是一条在w=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（w轴），斜率为-20dB/dec的直线。

积分环节的相频特性是

是一条与w无关，值为-900且平行于w轴的直线。图5-22积分环节的Bode图几何意义(5-36)引申i)此时，即将积分环节的幅频曲线平移20lgK(dB)，因此其幅频曲线是在w=K处穿过0dB线，斜率仍为-20dB/dec的直线。w=1时，L(w)=20lgK(dB)

10引申ii)

n个积分环节串联时，即

其对数幅频特性为

这是一条斜率为-n×20dB/dec，且在w=1（弧度/秒）处过零分贝线（w轴）的直线。其相频特性是一条与与w轴平行的，值为-n×900的直线。图5-13两个积分环节串联的Bode图12

频率特性为：（5-19）幅频特性和相频特性分别是（5-20）（5-21）3、惯性环节(1)幅相曲线13当时，；当时，；当时，。

当ω=0+时，惯性环节的频率特性正实轴下方的半圆，圆心(1,0)，半径为1/2。证明：

令，14

则有

这是一个标准圆方程，其圆心坐标是，半径为。且当ω由时，由，说明惯性环节的频率特性在平面上是实轴下方半个圆周。证明幅相曲线的形状时，多用实频特性和虚频特性15思考题：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即时，其频率特性是圆心为，半径为的实轴下方半个圆周。0=0R()jI()=∞图5-6(a)惯性环节的幅相曲线10KK/2

图5-6(b)惯性环节的幅相曲线16一阶惯性环节频率特性的特点：惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，相位滞后也小；在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为900。17对数幅频特性是：令w=0+，依次取值，计算出相应的对数幅值L(w)，利用描点法即可绘制出较为精确的对数幅频曲线。(2)对数频率特性18L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0－4519相频特性曲线是一条由00至-900范围内变化的反正切函数曲线，且以和的交点为斜对称。相频特性为：()=arctanT

T=0()=0°T=0.3()=16.7°T=0.8()=38.7°

T=1()=45°T

()=90°20

上述两条直线在w=1/T处相交，该点频率称为惯性环节的转折频率或者交接频率。工程上常用简便的作图法来得到L(w)曲线，方法如下：即当频率很低时，L(w)可用零分贝线近似；低频渐近线即在频率很高时，L(w)可近似为一条在w=1/T处穿过零分贝线，斜率为-20(dB/dec)的直线。高频渐近线渐近特性精确特性图5-24惯性环节的Bode图由图可见，距离转折频率愈远，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。22用渐近线近似表示L(w)，必然存在误差，记作：其中L(w)为精确值，La(w)为近似值，因此：根据上式计算出的误差，可绘制如图所示的误差曲线：23在转折频率处的误差最大，约为-3dB；误差主要存在于转折频率上下十倍频程范围内,十倍频以上的误差极小，可忽略。惯性环节对数幅频特性误差修正曲线24思考题：当惯性环节的时间常数T增大时，相应的幅频曲线和相频曲线会如何变化？与时间响应的性能相联系进行分析。2540db0.1110w20db惯性环节20db0.22200db-20db-40db8db2690-90

-45w0惯性环节454227振荡环节的传递函数为：其频率特性是

幅频特性和相频特性分别为(5-25)(5-26)4、振荡环节(1)幅相曲线(5-24)可见，振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关。28(3)当w=+时，说明幅相曲线的终点为原点，且在第三象限趋近原点；(1)当w=0时，，；表明幅相曲线的起点为实轴上的(1,0)这点；(2)当w=1/T=wn时，说明该点为幅相曲线与负虚轴的交点。

利用这一特点，可以利用实验法求取，n。29根据以上分析，可绘制出不同值的幅相曲线，如图所示：图5-7振荡环节的幅相曲线减小300Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:振荡环节G(jω)31谐振由图可见，当较小时，幅频特性A(w)随着w的增加，先增大后减小，当w+时衰减至零，也就是说在某一频率下，A(w)达到最大值，这一现象称为谐振，谐振峰值和谐振频率可由幅频特性的极值方程解出。令：解得：(5-27)32将wr代入A(w)得到谐振峰值Mr为：(5-28)振荡环节的幅频特性33谐振现象分析：=0时，wr=wn，Mr=，表明此时谐振发生在wn上，谐振峰值为，振荡环节处于临界稳定状态；0<0.707时，会出现谐振，越小，wr及Mr就越大，意味着时间响应超调量大；

>0.707时，不会出现谐振，随着w的增加，A(w)单调衰减；34振荡环节的相频特性：始终为负角，因此是一个滞后环节，相位滞后随着w增加而增加，且与阻尼比有关，最大滞后角为-180度。思考题：当振荡环节传递函数的分子是常数K时，即：它的幅相曲线的起点？35对数幅频特性：(2)对数频率特性(5-43)即在低频段，L(w)可用零分贝线近似；低频渐近线即在高频段，L(w)可近似为一条在w=1/T处穿过零分贝线，斜率为-40(dB/dec)的直线。高频渐近线36由这两段直线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，它的转折频率为w=wn=1/T。其中wn为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，它也是渐近线的转折（交接）频率。

高频渐近线低频渐近线

图5-25振荡环节对数幅频特性的渐近线37用渐近线近似表示L(w)，必然存在误差，记作：其中L(w)为精确值，La(w)为近似值，因此：根据这一表达式，可绘制误差曲线：38

渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：当时，，它是阻尼比ξ的函数；当=1时为-6（dB），当=0.5时为0(dB)，当=0.25时为+6(dB)；图5-26振荡环节对数幅频特性误差修正曲线39由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是