平面弯曲杆件(二)(魏德敏)

平面弯曲杆件

（二）一、弯曲正应力和强度二、梁的切应力和强度三、提高弯曲强度的措施四、拉压与弯曲组合五、压杆稳定一、弯曲正应力和强度实验研究PPaaPa纵向线由直线变为弧线，上部纵向线压缩，下部纵向线拉伸；梁变形后横向线仍为直线，且仍与纵向线垂直。平截面假设：截面变形后仍为平面，且仍与梁轴线垂直yzZ为中性轴：该层纤维既不伸长也不缩短1、纯弯曲下的应力几何关系dxdθρy定义为曲率

即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离y成正比。yzy1、纯弯曲下的应力物理关系处在y位置纤维层的正应力与坐标y成正比zxyX方向力的平衡静力关系

为截面对于z轴的静矩或一次矩。

横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴z通过横截面的形心；1、纯弯曲下的应力zxy可以证明，其他平衡关系均自动满足对z轴力矩的平衡正应力分布公式上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。1、纯弯曲下的应力横力弯曲的变形特征BAdxx剪切变形dvdxγQQMMdxdθρ弯曲变形剪切变形与剪力成正比，弯曲变形与弯矩成正比。2、横力弯曲时的正应力横力弯曲的正应力分布公式对细长杆（l/h)>5，剪切变形远比弯曲变形小,剪切变形可以忽略对短粗杆（l/h)〈5，剪切变形不能忽略。对细长杆最大正应力计算在总荷载不变的情况下，弯矩随跨度成线性增加，而剪力不随跨度增加。式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截面模量，其单位为m3。中性轴z为横截面对称轴的梁其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；hbzyo2、横力弯曲时的正应力中性轴z不是横截面对称轴的梁，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。矩形截面圆形截面zoyyzdA2、横力弯曲时的正应力

例题图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力。由型钢规格表查得56a号工字钢截面危险截面上点a处的正应力为抗弯强度条件拉压性质相同的材料示例3-1：简支梁受均布荷载。[σ]=10MPa。校核强度。2kN/m4m210mm140mmzyM图4kNm许可荷载3、梁的弯曲强度计算示例3-5：外伸梁受集中荷载。校核强度。[σt]=30MPa，[σc]=60MPa。Iz=0.573×10-5m4，y1=0.072m，y2=0.038m。BA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y1作弯矩图拉压性质不相同的材料抗弯强度条件最大拉应力最大压应力3、梁的弯曲强度计算BA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y1C截面B截面强度校核3、梁的弯曲强度计算二、梁的切应力和强度1、矩形截面梁zyzhby切应力分布公式τmax最大切应力在中性轴位置2、工字型截面梁τmaxb3、圆形zyBAb5、薄壁圆环4、薄壁箱型与工字型相似切应力强度条件max≤［］对等直梁，上式可改写为：例

T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作FS、M图如图所示1FS0.250.75(kN)_+CAB40401010ycM(kN.m)0.250.5+_该梁满足强度要求三、提高弯曲强度的措施降低∣M∣max值1、改变荷载的位置和作用方式BAPl/2Pl/4l/2BAPl/43Pl/163l/4BAPl/4Pl/8l/4BAlP/lPl/8提高Wz值矩形截面方形截面圆形截面按面积相等，有面积分布离中性轴越远，Wz越大。故工字形截面为最好。2、改变支座的位置l/5l/5q0.020.020.025BAl/2l/23、增加支座q0.0470.0080.008烟

囱牛腿柱1、工程应用四、拉压与弯曲组合+=+=2、应力公式及强度例题：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。

解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩（2）立柱横截面的内力

（3）立柱横截面的最大应力（2）立柱横截面的内力

（4）求压力F五、压杆稳定1、稳定性概念刚体平衡稳定性稳定的平衡不稳定的平衡随遇平衡P较小δFP较大δFPCRδFPCR---临界压力压杆稳定性：压杆保持其直线平衡状态的能力拱失稳梁弯曲失稳储油罐aa象腿现象2、临界力、欧拉公式μ—长度系数，与压杆的支座条件有关μ=1，两端铰支；μ=2，一端固定，一端自由；llμ=0.5，两端固定；l/4l/4μ=0.7，一端固定，一端铰支；0.7lμ=1，一端固定，一端定向支座；l/2l/2注意空间效应1、关于惯性矩xzyyzhbxzxy2、关于支座临界应力压杆的长细比与杆长、支座条件、截面面积分布有关。σCRλσpλp欧拉公式的应用范围3、临界应力、欧拉公式的应用范围示例1：计算临界力lxyxzybalyzbazl=4m,a=0.12m,b=0.2m,E=210GPa,σp=200MPa。在xz平面内在xy平面内λy>λz，压杆在xz平面内失稳λy>λp，可用欧拉公式4、稳定校核稳定条件稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安全系数规定为1.5～2.2，甚至更大。折减系数或稳定系数：是的函数，即=()，其值在0～1之间。安全条件稳定性计算主要解决三方面的问题：(1)稳定性校核；(2)选择截面；(3)确定许用荷载。

例题机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰，从而该连杆如在xy平面内失稳，可取长度因数mz=1.0；如在xz平面内失稳，则可取my=0.6。已知：连杆由Q235钢锻造成型，它属于a类截面中心压杆。该连杆承受的最大轴向压力为F=35kN，材料的强度许用应力[s]=206MPa。试校核其稳定性。解：1.工字形截面面积A和形心主惯性矩Iz，Iyz2.横截面对z轴和对y轴的惯性半径iz，iy3.连杆的柔度连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为分别比工字形截面的Iz和Iy大了15.5％和126％，Iy'远大于Iy。这就表明两端的矩形截面部分对中间工字形截面部分在xz平面内的弯曲位移起到明显的约束