质点动力学(理论力学课件)课件

第三篇动力学§11.1动力学的任务和基本概念

一、研究对象动力学研究物体机械运动与作用力之间的关系。在静力学中，我们分析了作用与物体的力，并研究了物体在力系作用下的平衡问题，但没有研究物体在不平衡力系的作用下将如何运动。在运动学中，我们仅从几何方面分析了物体的运动，而不涉及所作用的力。

在运动学中，我们仅从几何方面分析了物体的运动，而不涉及所作用的力。动力学则对物体的机械运动进行全面的分析，研究作用于物体上的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。（研究运动速度远小于光速的宏观物体。）二、动力学在工程中的地位

动力学的形成与发展是与生产的发展密切联系的。特别是在现代工业和科学技术飞速发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。1、动力学是解决工程实际问题的强有力的工具；2、动力学是推动工程技术向前发展的重要基础。举例：①机器人的动态特性分析、运动机构的动力分析等需要应用动力学的理论基础。②在土木工程中对结构的振动分析需要应用动力学的理论基础。如高层结构受风载及地震的影响；又如厂房内有汽锤、吊车等，吊车刹车时引起吊车梁及柱的振动。举例：③在机械工程中对高速转动机械的动力分析需要应用动力学的理论基础。比如高速转动的转子，若重心不在转轴上（由误差引起），转速很高时将引起轴承破坏（此问题在制造和安装中都不容易克服）。在动力学有关章节将进一步介绍。④在宇宙飞行及火箭推进技术研制中都需要用到动力学的基本理论。第二宇宙速度就是理论指导实践的最典型的例子。在上世纪50年代，第二宇宙速度早已在理论上得到承认，但也有人（指理论力学专家）不相信。

1961年前苏联宇宙飞船发射成功，证明了这一理论，充分说明了理论指导生产实践的重要意义。42年后，中国的神州五号飞船也飞上了太空。研究动力学的方法主要有两种：1、矢量动力学(vectorialdynamics)

主要以矢量形式建立一般质点系的受力和运动量基本概念，由牛顿运动定律和由它作为推演依据得出的动力学规律所组成部分称为矢量动力学。

牛顿运动定律和质点系动力学普遍定理是矢量动力学的主要内容。三、动力学的研究方法2、分析动力学（analyticaldynamics）

一般以标量形式的功和能等作为一般质点系的基本概念，以力学的变分原理为基础，应用数学分析方法得出动力学方程称为分析动力学三、动力学的研究方法质点系普遍定理牛顿运动定律质点在非惯性系中的运动学动量定理动量矩定理动能定理达朗贝尔原理（动静法）达朗贝尔-拉格朗日原理（动力学普遍方程）拉格朗日方程受约束质点（系）自由质点惯性系非惯性系质点质点系四、质点和质点系（动力学中物体的抽象模型为质点和质点系）1、质点：大小和形状可以忽略不计且具有质量的物体称为质点。

例如，在研究人造地球卫星的轨道时，卫星的形状和大小对所研究的问题没有什麽影响，可以忽略不计，因此，可将卫星抽象为一个质量集中在重心的质点。

刚体作平动时，因刚体内各点的运动情况完全相同，也可以不考虑该刚体的形状和大小，而将它抽象为一个质点来研究。2、质点系：如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。刚体是质点系的一种特殊情况。其中任意两个质点间的距离保持不变，也称为不变的质点系。自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。

非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。所谓质点系是由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。常见的固体、流体、由几个物体组成的机构，以及太阳系等等都是质点系。五、动力学的基本定律

质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿（公元1642——1727年）在总结前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的称为牛顿三定律。第一定律（惯性定律）受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。

不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故又称为惯性定律。第二定律:力与加速度之间的关系的定律1、定律

质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即

(11-1)式(11-1)是第二定律的数学表达式，它是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。

当质点受到多个力作用时，式(11-1)中的F应为此汇交力系的合力。式(11-1)表明，质点在力的作用下必有确定的加速度，使质点的运动状态发生改变。

第二定律:力与加速度之间的关系的定律2、n个力同时作用时(11-1)

质量大的质点加速度小，

质量小的质点加速度大。这说明质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。对于相同质量的质点，作用力大，其加速度也大；如用大小相等的力作用于质量不同的质点上，则(11-1)3、第二定律与第一定律的联系(11-1)当F=0时，a=0，则mv=ct一般质量m为常量，故v=ct（大小、方向都不变）即当F=0时，物体作匀速直线（惯性运动），第二定律变成了第一定律，显然第二定律也只能适合于惯性参考系。在地球表面，任何物体都受到重力G的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用g表示。根据第二定律有G=mg

或m=G/g式中的G和g分别是物体所受的重力和重力加速度的大小，根据国际计量委员会规定的标准，重力加速度的数值为9.80665m/s，一般取9.80m/s。实际在不同的地区，g的数值有些微小的差别。第三定律（作用与反作用定律）

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。这一定理就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。

在动力学问题中，这一定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。22上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。今后，如无特别说明，我们取与地球固连的坐标系为惯性参考系；

以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学。在此范畴，质量、空间和时间是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。在国际单位制（SI）中，

长度、质量和时间是基本单位，分别取为m(米）、kg（千克）和s（秒）；六、单位制力的单位是导出单位。质量为1kg的质点，获得1m/s2的加速度时，作用于该质点的力为1N（单位名称：牛顿），即

1N=1kg×1m/s21kg质量物体的重量为G=mg=1kg×9.8m/s2=9.8N或§11.2质点运动微分方程

质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力的关系。当质点受到n个力F1，F2，…，Fn作用时，式（11-1）应写为（11-3）ma=∑F

式（11—3）是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时，需要用它的投影形式。1、质点运动微分方程在直角坐标轴上投影

设矢径r在直角坐标轴上的投影分别为x、y、z，力在轴上的投影分别为Fix、Fiy、Fiz，则式（10-3）在直角坐标轴上的投影形式为

（11-4）2、质点运动微分方程在自然轴上投影

由点的运动学知，点的全加速度在切线与主法线构成的密切面内，点的加速度在副法线上的投影等于零，即式中r为轨迹的曲率半径。

式中τ和n为轨迹切线和主法线的单位矢量。式中Fti、Fni、Fbi中分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影。式（11-4）和（11-5）是两种常用的质点运动微分方程。于是，质点运动微分方程在自然轴上的投影式为：

（11-5）

应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动力学的问题:第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）解题步骤和要点：

①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。

②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。

③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。

④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。

⑤求解未知量。§11.3质点动力学的两类基本问题29

第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）解题步骤如下：①正确选择研究对象。②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。选择并列出适当的质点运动微分方程。求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。

例1、小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动时，在最低处的速度为v；

摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为f，如图所示，此时小球在最低与最高位置时绳的拉力。

解：小球作圆周运动，受有重力G=mg；绳的拉力T1。在最低处有法向加速度an

＝v2／l，

由质点运动微分方程沿法向的投影式，有

man

＝mv2／l＝T1－mgman

＝mv2／l＝T1－mg则绳的拉力：

T1＝mg＋mv2／l

＝m(g＋v2／l)a

解：小球作圆周运动，受有重力G=mg；绳的拉力T1。在最低处有法向加速度

an

＝v2／l，小球在最高处角时，速度为零，法向加速度为零，则运动微分方程沿法向投影式为T2－mgcosf＝

man＝

0则绳的拉力

T2＝

mgcosf

例2

图示半径为R的偏心轮以匀角速度w绕O轴转动，推动导板ABD沿铅垂轨道作平动。已知偏心距OC=e，开始时OC沿水平线。若在导板顶部D处放有一质量为M的物块。试求：（1）导板对物体的最大反力及这时偏心C的位置；（2）欲使物块不离开导板，求角速度w的最大值。

轮匀角速度w转动，OC=e，开始时OC沿水平线。板顶D处有一质量为M的物块。试求：（1）最大反力及偏心C的位置；（2）求角速度w的最大值。

解：先求问题（1）。取物块M为研究对象，视为一质点。如果可以建立质点M的运动微分方程，易求出导板对质点M的反力。可见这是质点动力学第一类问题。

在任一瞬时，质点M受力如图。将x轴的原点取在固定点O上并取x轴铅垂向上为正。由式（11－4）可得质点M的运动微分方程为

由于物块M放在导板上，导板作平动，故质点M的加速度a等于导板上E点（偏心轮与导板的接触点）的加速度。a质点的加速度

(2)由图可知E点的运动方程为(1)将式(2)代入式(1)，得反力(3)由式(3)可知，反力F包含两部分：第一部分为质点M处于静止的反力，

称为静反力；第二部分是由于质点M具有加速度而引起的反力，称为附加动反力（简称动反力）。反力(3)当sinwt=－1时，即C点在最低位置时，反力F达到最大值Fmax，即反力(3)得求问题（2）求角速度w的最大值。由式(3)又可知，当sinwt=1时，即C点在最高位置，F达到最小值Fmin，即欲使物块不离开导板，必须

Fmin≥0,即(3)以上二例都属于动力学第一类问题，求解此类问题的步骤如下：

1、选定某质点为研究对象；

2、分析作用在质点上的力，包括主动力和约束力；

3、分析质点的运动情况，计算质点的加速度；

4、根据未知力的情况，选择恰当的投影轴，列出在该轴上的运动微分方程的投影形式；

5、求出未知的力。第一类问题：已知质点的运动，求作用于质点的力；

41（a)(b)解以木箱为研究对象，作受力分析如图所示。

[例3]

如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架AB输送木箱M，两曲柄等长，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，设在θ＝45°处由静止开始运动，已知曲柄O1A的初角加速度。如启动瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系数是多少？42由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB杆作平面曲线运动。

设木箱与货架无相对滑动，木箱的加速度应与点A的加速度相同，由于启动瞬时货架各点的速度为零，故建立图示坐标系，有根据静滑动摩擦力的性质有：(b)（a)43解方程组：可得：

为保证木箱与货架在启动瞬时不相对滑动，所需最小的静滑动摩擦系数为：（a)(b)O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，θ＝45°作业11—6,8

解：以弹簧未变形处为坐标原点O，物块在任意坐标x处弹簧变形量为|x|，弹簧力大小为

F=k|x|，指向O点，如图。则此物块沿x轴的运动微分方程为

例3

物块在光滑水面并与弹簧相连，如图所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k。在弹簧拉长变形量为a时释放物块。求物块的运动规律。或其中A、θ为任意常数，应由运动初始条件决定。由题意，取x＝a处的时间为t＝0，且此时有代入式（b），有令wn2＝k/m，上式化为自由振动微分方程的标准形式a＝Acosθ0＝－wnAsinθ微分方程的解可写为

x＝Acos(wnt＋θ)(b)a＝Acosθ0＝－wnAsinθ

可见此物块做简谐振动，振动中心为O点，振幅为a，周期T＝2p/wn。

wn称为圆频率，由其标准形式的运动微分方程（a）直接决定。由此解出

θ＝0,A＝a代入式（b），则此物块的运动方程为

x＝a

coswnt48[例6]

l0mkv0

弹簧－质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始速度为v0。求：物块的运动方程49xmkxO

解：这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。

以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置为原点建立Ox坐标