西安科技大学自动控制原理教学同步教程-第八章课件

1第八章

离散控制系统的分析和校正

8-1信号的采样与保持

8-2Z变换理论8-3采样系统的数学模型

8-4离散系统的时域分析法8-5离散控制系统的校正本章主要内容8-1信号的采样与保持

一、采样过程及其数学描述

离散控制系统是指系统内的信号在某一点上是不连续的。1）在有规律的间隔上系统采取到了离散信息，则称这种采样为周期采样；2）如果信息之间的间隔是时变的或随机的，则称这种采样为非周期采样（随机采样）；

3）把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样。1采样控制系统2、数字控制系统例如图所示的数字闭环控制系统。数字闭环控制系统3、离散系统特点⑴由数字计算机构成的数字校正装置,效果比连续式校正装置好,且由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活.⑵采样信号,特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声,从而提高了系统的抗干扰能力.⑶允许采用高灵敏度的控制元件,以提高系统的控制精度.⑷可用一台计算机分时控制若干个系统,经济性好.⑸对于具有传输延迟,特别是大滞后的控制系统,可以引人采样的方式使其趋于稳定.4、采样过程及其数学描述1)、采样过程描述采样过程

当采样开关的闭合时间时,采样器就可以用一个理想采样开关来代替,采样过程可以看成是一个幅值调制过程.理想采样开关好像是一个载波为的幅值调制器,如图所示,其中为理想单位脉冲序列.理想采样过程

脉冲调制器r(t)e(t)e*(t)c(t)t单位脉冲信号的表达式为：

脉冲函数，是一宽度为

，高度为的矩形脉冲，矩形的面积为A。当

趋于零时，是一宽度为0，面积为A，幅值为无穷的理想脉冲。当A=1时，称为理想单位脉冲函数，亦称

函数。单位脉冲函数可看作是单位阶跃函数的导数。理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义，但在自动控制系统的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不同的无限个脉冲函数的叠加。定义脉冲函数特性：⑴、面积为1；⑵、当，脉冲函数为函数。函数，或脉冲函数，性质：⑴、⑵、对连续的任何函数f,有2)、采样过程的特点(1)、采样过程相当于一个脉冲调制过程(2)、采样的输出信号可表示两个信号的乘积决定采样时间决定采样信号的幅值调制器采样器3)、采样信号的物理意义连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。

如果用数学形式描述上述调制过程,则有因为单位脉冲序列可以表示为其中是出现在时刻时、强度为1的单位脉冲,故可以写为4)采样信号的数学描述因此,脉冲序列是从零开始的.上述讨论过程中,假设了由于e(t)

的数值仅在采样瞬时才有意义,所以上式又可表示为采样器输出看做是一串脉冲，脉冲的强度，分别等于各采样瞬时上的采样数值。5）、采样过程的数学描述采样信号的拉氏变换15对采样信号进行拉氏变换,可得根据拉氏变换的位移定理,有注意:②由于只描述了e(t)在采样瞬时的数值,所以不能给出连续函数e(t)在采样间隔之间的的信息.①与采样函数e(nT)

联系了起来,可以直接看出的时间响应.③采样拉氏变换,与连续信号e(t)

的拉氏变换非常类似.因此,如果e(t)是一个有理函数,则无穷级数也总是可以表示成的有理函数形式.④在求的过程中,初始值通常规定采用所以,采样拉氏变换

由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息,所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比,要发生变化.研究采样信号的频谱,目的是找出与之间的相互联系.

展开为如下形式的富氏级数：式中,,为采样角频率,是富氏系数,其值为1、采样信号的频谱二采样函数的频谱分析与采样定理

在区间中,仅在t=0时有值,且所以得那么对上式两边取拉氏变换,由拉氏变换的复数位移定理,得到：上式说明：1采样开关前后信号的拉氏变换之间的关系；2

是s的周期函数。式中：----原函数e(t)的频谱，最高频率为----调幅脉冲序列的频谱，以为周期。以代入（在频域内）,上式变为：即离散信号与连续信号频谱关系。非周期连续信号采样前后的频谱采样频率变化时原连续信号与采样信号的频谱0连续信号的频谱0n=-1n=0n=1采样信号的频谱()2、香农（shannon）采样定理1）、信号恢复条件23

如果满足条件s>2h

，频谱的主分量与补分量相互分离，可以采用一个低通滤波器，将采样信号频谱中的镜像频谱滤除，来恢复原连续时间信号。当s<2h

时，采样频谱中的补分量相互交叠，致使采样器的输出信号发生畸变。0连续信号的频谱0n=-1n=0n=1采样信号的频谱()信号复现的条件：加一个如图所示的理想滤波器。12脉冲序列互不搭接：01.0理想滤波器的频率特性2）、shannon采样定理实际使用时：

为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍：这样才有可能通过理想滤波器,把原信号毫无畸变地恢复出来。ωh为连续信号f(t)的最高次谐波的角频率。则采样信号f*(t)就可以无失真地再恢复为原连续信号f(t)。需要指出的是，采样定理只是在理论上给出了信号准确复现的条件。但还有2个实际问题需要解决。其一，实际的非周期连续信号频谱最高频率是无限的.其二，需要一个幅频特性为矩形的理想低通滤波器，才能把原信号不失真地复现出来。三、信号保持能使采样信号不失真地复现为原连续信号的低通滤波器应具有理想的矩形频率特性。即：理想滤波器的频率特性实现外推常用的方法是采用多项式外推公式由于Δt=0时上式也成立，所以ao=f(kT)，从而得到零阶保持器的外推公式为经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为：保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。零阶保持器的作用此矩形波可表达为两个单位阶跃函数的叠加。即：可求得零阶保持器的传递函数为：其频率特性则为：据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线零阶保持器的频率特性7-2Z变换理论一、定义z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。引入一个新的变量z，令：对于采样函数:取拉氏变换:则:说明:z变换仅仅是一种取的变量置换，通过它将s的超越函数变为z的幂级数或z的有理分式。例7-1

求单位阶跃函数的z变换二、Z变换方法

1、级数求和法（从定义出发）例8-1求理想脉冲序列的z变换

解:因为T

为采样周期,故由拉氏变换知因此把上式写成闭合形式.得的z变换为例8-2

求指数函数的z变换

解:这是一个首项为1、公比为的几何级数,其和为:例8-3求e(t)=t

的z变换2、部分分式法例8-4

求

的z变换

先求出已知连续函数e(t)的拉氏变换E(s),然后将其分解为部分分式之和,再利用z变换表求出每一部分分式对应的z变换,最后相加即可.

设连续函数e(t)的拉普拉斯变换E(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换当E(S)具有一阶极点s=p1时,其留数为当E(S)具有q阶重复极点时,其留数为3、留数计算法例8-5：求的Z变换解:例8-6：求的Z变换

解:具有两阶重极点设Z[e(t)]=E(z),则:式中,为常数或与t,z无关的量。z变换的基本定理,与拉氏变换的基本定理有相似之处.三、Z变换基本定理

1.线性定理2、实数位移定理（平移定理）

设连续函数e(t),当t<0时，e(t)=0则:以及证明：由z变换定义令m=n-k,则有由于z变换的单边性，当m<0时，有e(mT)=0,所以令m=n,立即得证式。取k=1,得令m=n+1,上式可写为取k=2,同理，得取k=k时，必有证明：由z变换的定义3、复数位移定理

令则有如果e(t)的z变换为E(z),并且是存在的，则e(t)或e(nT)的初始值e(0)为

证明：由z变换定义可见时，即可证得结论。4、初值定理如果e(t)的z变换为E(z),序列e(nT)为有限值，存在，则证明：由z变换线性定理由平移定理于是5、终值定理当取n=N为有限项时，上式右端可写为所以终值定理亦可表示为证明：由z变换定义6、复域微分G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)线性定常系统，输入输出关系可用卷积分表示7、卷积和定理输出量c(t)在采样瞬时t=nT,n=0,1,2,…,←卷积和简记为当时，Z反变换是已知Z变换表达式E(z)e(nT)的过程注意：z-变换的非唯一性，即：e*1(t)=e*2(t)，E1(s)=E2(s)但e1(t)≠e2(t)。只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！求解方法：长除法、部分分式法、留数法。四、z反变换

1、长除法（幂级数法）59要点：用长除法化为降幂排列的展开形式

Z反变换为即：例8-7：

求的Z反变换解：步骤：①先将变换式写成，展开成部分分式，③查Z变换表②两端乘以Z2、部分分式法（因式分解法，查表法）例8-8求的Z反变换解：①②③3、留数法（反演积分法）设为z平面上包围全部极点的封闭曲线，且为反时针方向。由此得到反演积分公式：是函数E(z)zn-1在极点zi处的留数曲线可以是包含E(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线，若zi为一重极点若zi为q重极点例8-9：求

的Z反变换解：有两个一重极点的Z反变换解：有一个两重极点例8-10：求7-3采样系统的数学模型①差分方程；②脉冲传递函数；③离散状态空间。

将输入序列r(n)变换为输出序列c(n)的一种变换关系,称为离散系统.记作其中,r(n)和c(n)为时系统的输入序列和输出序列为采样周期.一、线性离散系统的数学模型

1、离散系统的数学定义两个采样点信息之间的微商即称为差分。忽略采样间隔T连续时间系统r(t)c(t)微分方程R(s)C(s)G(s)2、差分方程及其解法连续时间系统r(k)c(k)差分方程R(z)C(z)G(z)这样就变成了以复变量z为自变量的函数。称此函数为f*(t)的z变换。将上式展开：可见，采样函数的z变换是变量z的幂级数。z变换与z反变换并非一一对应3、用z变换法解差分方程例8-11已知一阶差分方程为：设输入为阶跃信号u(kT)=A，初始条件y(0)=0，试求响应y(kT)。解将差分方程两端取z变换，得：代入初始条件，求得输出的z变换为：为求得时域响应y(kT)，需对Y(z)进行反变换，先将Y(z)/z展成部分分式：于是查变换表，求得上式的反变换为：二、脉冲传递函数

1、脉冲传递函数的定义离散过程的结构

对于如图离散系统结构图，定义脉冲传递函数：如果一个系统如图表示，此时有

Y(s)=G(s)U*(s)

Y(s)=L[y(t)]开环采样系统方框图所谓零初始条件,是指在t<0时,输入以及输出脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T),

c(-T),c(-2T),均为零.R(z)已知,求c*(t)关键在于求出系统脉冲传递函数G(z).

线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为:在零初始条件下,系统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比,记作如果已知R(z)和G(z),输出采样信号为实际开环离散系统G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)虚设开关2、脉冲传递函数意义由卷积和定理，可得系统的脉冲传递函数即为系统单位脉冲响应g(t)经采样后离散信号的Z变换，即系统的响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)衰减越快，则相应的脉冲传递函数的展开式中包含的项数越少。脉冲响应求G(z)的一般步骤：①求出系统的传递函数G(s);②将G(s)分解成部分分式后用查表法求取G(z),

若不能查表，则继续按下述步骤进行；③求出脉冲响应函数④从nT代替g(t)中的t，再按Z变换的定义计算：3、脉冲传递函数的求法三、开环系统脉冲传递函数1、连续信号拉氏变换的采样规律（1）采样函数的拉氏变换具有周期性[E*(s)G1(s)G2(s)]*=E*(s)[G1(s)G2(s)]*（2）离散信号可从离散符号中提出来设G1(s)G2(s)=G(s)，则有：[E*(s)G(s)]*=∵E*(s)与∑无关，=E*(s)[G(s)]*所以有：G*(s)=G*(s+jnωs)2、串联环节的脉冲传递函数（1）二串联环节间有采样器环节串联的开环系统（2）串联环节间无采样器若则若则有零阶保持器的开环系统3、并联环节的脉冲传递函数并联环节的等效并联环节方框图四、闭环系统的脉冲传递函数1、闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法93闭环采样系统结构图G(s)H(s)R(s)+-C(s)E(s)B(s)误差方程采样后z变换反馈方程输出方程（1）反馈通道无采样器代入作采样z变换误差的z变换即输出方程采样z变换输出对输入的脉冲传递函数G(s)H(s)R(s)+-C(s)E(s)（3）对于一般的单闭环系统（2）反馈通道有采样器下表列出了部分离散系统结构图及其脉冲传递函数。续表2、闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法①离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；②表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，该项才能打“*”号。否则需相乘后才打“*”号。③取Z变换，把有“*”号的单项中的s变换为z，多项相乘后仅有一个“*”号的其Z变换等于各项传递函数乘积的Z变换。7-4离散系统的时域分析法一、Z平面与S平面的影射关系1、S平面的虚轴在Z平面上的映射（1）S平面的虚轴映射到Z平面上，是以原点为圆心、半径为1的单位圆。S平面的原点映射到Z平面上则是(+1，j0)点。S平面到Z平面的映射(a)稳定域从S平面到Z平面的映射S平面到Z平面的映射(b)S平面的虚轴在Z平面上的映射（2）S平面左半部分在Z平面上的映射

S平面左半部分每一条宽度为ωs的带状区域，映射到Z平面上，都是单位圆内区域。（3）S平面右半部分在Z平面上的映射因此，整个S平面右半部分在Z平面上的映像是以原点为圆心的单位圆外部区域。二、离散系统稳定的充要条件根据在S平面系统稳定的条件是极点σ＜0可知：

离散系统稳定的条