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2023中考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,在射线AB上顺次取两点C,D,使AC=CD=1,以CD为边作矩形CDEF,DE=2,将射线AB绕点A沿逆时针方向旋转,旋转角记为α(其中0°<α<45°),旋转后记作射线AB′,射线AB′分别交矩形CDEF的边CF,DE于点G,H.若CG=x,EH=y,则下列函数图象中,能反映y与x之间关系的是()A. B. C. D.2.下面说法正确的个数有()①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3,那么这个三角形是直角三角形;②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则这么三角形是直角三角形;③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形;④如果∠A=∠B=12⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差,那么这个三角形是直角三角形;⑥在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形是直角三角形.A.3个B.4个C.5个D.6个3.在Rt△ABC中∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,c=3a,tanA的值为()A. B. C. D.34.如图,在⊙O中,点P是弦AB的中点,CD是过点P的直径,则下列结论:①AB⊥CD;②∠AOB=4∠ACD;③弧AD=弧BD;④PO=PD,其中正确的个数是()A.4 B.1 C.2 D.35.已知,如图,AB是⊙O的直径,点D,C在⊙O上,连接AD、BD、DC、AC,如果∠BAD=25°,那么∠C的度数是()A.75° B.65° C.60° D.50°6.下列计算或化简正确的是()A. B.C. D.7.2016年底安徽省已有13个市迈入“高铁时代”,现正在建设的“合安高铁”项目,计划总投资334亿元人民币.把334亿用科学记数法可表示为()A.0.334×1011B.3.34×10108.如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE长为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是()A.2- B. C.2- D.9.某工厂计划生产210个零件,由于采用新技术,实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍,因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个,依题意列方程为()A. B.C. D.10.由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,比较它的正视图、左视图和俯视图的面积,则()A.三个视图的面积一样大 B.主视图的面积最小C.左视图的面积最小 D.俯视图的面积最小二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,已知正方形边长为4,以A为圆心,AB为半径作弧BD,M是BC的中点,过点M作EM⊥BC交弧BD于点E,则弧BE的长为_____.12.若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为______13..如图,圆锥侧面展开得到扇形,此扇形半径CA=6,圆心角∠ACB=120°,则此圆锥高OC的长度是_______.14.如图,以点为圆心的两个同心圆中,大圆的弦是小圆的切线,点是切点,则劣弧AB的长为.(结果保留)15.计算:_______________.16.某次数学测试,某班一个学习小组的六位同学的成绩如下:84、75、75、92、86、99,则这六位同学成绩的中位数是_____.17.当时,直线与抛物线有交点,则a的取值范围是_______.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为C,直线y=x+3与x轴交于点D.(1)求抛物线的顶点C的坐标及A,B两点的坐标;(2)将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度,再向左平移t(t>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点E在△DAC内,求t的取值范围;(3)点P(m,n)(﹣3<m<1)是抛物线y=x2﹣6x+9上一点,当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时,求m,n的值.19.(5分)我们已经知道一些特殊的勾股数,如三连续正整数中的勾股数:3、4、5;三个连续的偶数中的勾股数6、8、10;事实上,勾股数的正整数倍仍然是勾股数.另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数,毕达哥拉斯学派提出的公式:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数,请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数.然而,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中,书中提到:当a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2)(m、n为正整数,m>n时,a、b、c构成一组勾股数;利用上述结论,解决如下问题:已知某直角三角形的边长满足上述勾股数,其中一边长为37,且n=5,求该直角三角形另两边的长.20.(8分)如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C,景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量,景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处,位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上,已知AB=5km.景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路,不考试其他因素,求出这条公路的长.(结果精确到0.1km).求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km).21.(10分)如图,抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A,点B的坐标;(2)P为第二象限抛物线上的一个动点,求△ACP面积的最大值.22.(10分)先化简,再求值:,其中.23.(12分)如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.求证:AP=BQ;当BQ=时,求的长(结果保留);若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.24.(14分)如图,在△ABC中,(1)求作:∠BAD=∠C,AD交BC于D.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法).(2)在(1)条件下,求证:AB2=BD•BC.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】∵四边形CDEF是矩形,∴CF∥DE,∴△ACG∽△ADH,∴,∵AC=CD=1,∴AD=2,∴,∴DH=2x,∵DE=2,∴y=2﹣2x,∵0°<α<45°,∴0<x<1,故选D.【点睛】本题主要考查了旋转、相似等知识,解题的关键是根据已知得出△ACG∽△ADH.2、C【解析】试题分析:①∵三角形三个内角的比是1:2:3,∴设三角形的三个内角分别为x,2x,3x,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴3x=3×30°=90°,∴此三角形是直角三角形,故本小题正确;②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°,∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则此三角形是直角三角形,故本小题正确;③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形,故本小题正确;④∵∠A=∠B=12∴设∠A=∠B=x,则∠C=2x,∴x+x+2x=180°,解得x=45°,∴2x=2×45°=90°,∴此三角形是直角三角形,故本小题正确;⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,三角形的一个内角等于另两个内角之差,∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和,∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的,且外角与它相邻的内角互补,∴有一个内角一定是90°,故这个三角形是直角三角形,故本小题正确;⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,又一个内角也等于另外两个内角的和,由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的,且外角与它相邻的内角互补,∴有一个内角一定是90°,故这个三角形是直角三角形,故本小题正确.故选D.考点:1.三角形内角和定理;2.三角形的外角性质.3、B【解析】
根据勾股定理和三角函数即可解答.【详解】解:已知在Rt△ABC中∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,c=3a,设a=x,则c=3x,b==2x.即tanA==.故选B.【点睛】本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.4、D【解析】
根据垂径定理,圆周角的性质定理即可作出判断.【详解】∵P是弦AB的中点,CD是过点P的直径.∴AB⊥CD,弧AD=弧BD,故①正确,③正确;∠AOB=2∠AOD=4∠ACD,故②正确.P是OD上的任意一点,因而④不一定正确.故正确的是:①②③.故选:D.【点睛】本题主要考查了垂径定理,圆周角定理,正确理解定理是关键.平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧;同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.5、B【解析】因为AB是⊙O的直径,所以求得∠ADB=90°,进而求得∠B的度数,又因为∠B=∠C,所以∠C的度数可求出.解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠BAD=25°,
∴∠B=65°,
∴∠C=∠B=65°(同弧所对的圆周角相等).
故选B.
6、D【解析】解:A.不是同类二次根式,不能合并,故A错误;B.
,故B错误;C.,故C错误;D.,正确.故选D.7、B【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.解:334亿=3.34×1010“点睛”此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.8、B【解析】
利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE,BE的长以及∠EBF的度数,进而利用图中阴影部分的面积=S-S-S,求出答案.【详解】∵矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBF=45°,AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE=45°,∴AB=AE=1,BE=,∵点E是AD的中点,∴AE=ED=1,∴图中阴影部分的面积=S−S−S=1×2−×1×1−故选B.【点睛】此题考查矩形的性质,扇形面积的计算,解题关键在于掌握运算公式9、A【解析】
设原计划每天生产零件x个,则实际每天生产零件为1.5x个,根据提前5天完成任务,列方程即可.【详解】设原计划每天生产零件x个,则实际每天生产零件为1.5x个,由题意得,故选:A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程即可.10、C【解析】试题分析:根据三视图的意义,可知正视图由5个面,左视图有3个面,俯视图有4个面,故可知主视图的面积最大.故选C考点:三视图二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解析】
延长ME交AD于F,由M是BC的中点,MF⊥AD,得到F点为AD的中点,即AF=AD,则∠AEF=30°,得到∠BAE=30°,再利用弧长公式计算出弧BE的长.【详解】延长ME交AD于F,如图,∵M是BC的中点,MF⊥AD,∴F点为AD的中点,即AF=AD.又∵AE=AD,∴AE=2AF,∴∠AEF=30°,∴∠BAE=30°,∴弧BE的长==.故答案为.【点睛】本题考查了弧长公式:l=.也考查了在直角三角形中,一直角边是斜边的一半,这条直角边所对的角为30度.12、【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的横、纵坐标之积不变可得关于m的方程,解方程即可求得m的值,再由待定系数法即可求得反比例函数的解析式.【详解】设反比例函数解析式为y=,由题意得:m2=2m×(-1),解得:m=-2或m=0(不符题意,舍去),所以点A(-2,-2),点B(-4,1),所以k=4,所以反比例函数解析式为:y=,故答案为y=.【点睛】本题考查了反比例函数,熟知反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于比例系数k是解题的关键.13、4【解析】
先根据圆锥的侧面展开图,扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长,求出OA,最后用勾股定理即可得出结论.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,∵AC=6,∠ACB=120°,∴=2πr,∴r=2,即:OA=2,在Rt△AOC中,OA=2,AC=6,根据勾股定理得,OC==4,故答案为4.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式,圆锥的侧面展开图,勾股定理,求出OA的长是解本题的关键.14、8π.【解析】试题分析:因为AB为切线,P为切点,劣弧AB所对圆心角考点:勾股定理;垂径定理;弧长公式.15、【解析】
先把化简为2,再合并同类二次根式即可得解.【详解】2-=.故答案为.【点睛】本题考查了二次根式的运算,正确对二次根式进行化简是关键.16、85【解析】
根据中位数求法,将学生成绩从小到大排列,取中间两数的平均数即可解题.【详解】解:将六位同学的成绩按从小到大进行排列为:75,75,84,86,92,99,中位数为中间两数84和86的平均数,∴这六位同学成绩的中位数是85.【点睛】本题考查了中位数的求法,属于简单题,熟悉中位数的概念是解题关键.17、【解析】
直线与抛物线有交点,则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算.【详解】解:法一:与抛物线有交点则有,整理得解得,对称轴法二:由题意可知,∵抛物线的顶点为,而∴抛物线y的取值为,则直线y与x轴平行,∴要使直线与抛物线有交点,∴抛物线y的取值为,即为a的取值范围,∴故答案为:【点睛】考查二次函数图象的性质及交点的问题,此类问题,通常可化为一元二次方程,利用根的判别式或根与系数的关系进行计算.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)C(2,0),A(1,4),B(1,9);(2)<t<5;(2)m=,∴n=.【解析】分析:(Ⅰ)将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标,联立抛物线与直线的解析式即可求出A、B的坐标.(Ⅱ)由题意可知:新抛物线的顶点坐标为(2﹣t,1),然后求出直线AC的解析式后,将点E的坐标分别代入直线AC与AD的解析式中即可求出t的值,从而可知新抛物线的顶点E在△DAC内,求t的取值范围.(Ⅲ)直线AB与y轴交于点F,连接CF,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥x轴于点N,交DB于点G,由直线y=x+2与x轴交于点D,与y轴交于点F,得D(﹣2,0),F(0,2),易得CF⊥AB,△PAB的面积是△ABC面积的2倍,所以AB•PM=AB•CF,PM=2CF=1,从而可求出PG=3,利用点G在直线y=x+2上,P(m,n),所以G(m,m+2),所以PG=n﹣(m+2),所以n=m+4,由于P(m,n)在抛物线y=x2﹣1x+9上,联立方程从而可求出m、n的值.详解:(I)∵y=x2﹣1x+9=(x﹣2)2,∴顶点坐标为(2,0).联立,解得:或;(II)由题意可知:新抛物线的顶点坐标为(2﹣t,1),设直线AC的解析式为y=kx+b将A(1,4),C(2,0)代入y=kx+b中,∴,解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣2x+1.当点E在直线AC上时,﹣2(2﹣t)+1=1,解得:t=.当点E在直线AD上时,(2﹣t)+2=1,解得:t=5,∴当点E在△DAC内时,<t<5;(III)如图,直线AB与y轴交于点F,连接CF,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥x轴于点N,交DB于点G.由直线y=x+2与x轴交于点D,与y轴交于点F,得D(﹣2,0),F(0,2),∴OD=OF=2.∵∠FOD=90°,∴∠OFD=∠ODF=45°.∵OC=OF=2,∠FOC=90°,∴CF==2,∠OFC=∠OCF=45°,∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°,∴CF⊥AB.∵△PAB的面积是△ABC面积的2倍,∴AB•PM=AB•CF,∴PM=2CF=1.∵PN⊥x轴,∠FDO=45°,∴∠DGN=45°,∴∠PGM=45°.在Rt△PGM中,sin∠PGM=,∴PG===3.∵点G在直线y=x+2上,P(m,n),∴G(m,m+2).∵﹣2<m<1,∴点P在点G的上方,∴PG=n﹣(m+2),∴n=m+4.∵P(m,n)在抛物线y=x2﹣1x+9上,∴m2﹣1m+9=n,∴m2﹣1m+9=m+4,解得:m=.∵﹣2<m<1,∴m=不合题意,舍去,∴m=,∴n=m+4=.点睛:本题是二次函数综合题,涉及待定系数法,解方程,勾股定理,三角形的面积公式,综合程度较高,需要学生综合运用所学知识.19、(1)证明见解析;(2)当n=5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.【解析】
(1)根据题意只需要证明a2+b2=c2,即可解答(2)根据题意将n=5代入得到a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),再将直角三角形的一边长为37,分别分三种情况代入a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),即可解答【详解】(1)∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1,c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,∴a2+b2=c2,∵n为正整数,∴a、b、c是一组勾股数;(2)解:∵n=5∴a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),∵直角三角形的一边长为37,∴分三种情况讨论,①当a=37时,(m2﹣52)=37,解得m=±3(不合题意,舍去)②当y=37时,5m=37,解得m=(不合题意舍去);③当z=37时,37=(m2+n2),解得m=±7,∵m>n>0,m、n是互质的奇数,∴m=7,把m=7代入①②得,x=12,y=1.综上所述:当n=5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题关键20、(1)景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km;(2)景点C与景点D之间的距离约为4km.【解析】
解:(1)如图,过点D作DE⊥AC于点E,过点A作AF⊥DB,交DB的延长线于点F,在Rt△DAF中,∠ADF=30°,∴AF=AD=×8=4,∴DF=,在Rt△ABF中BF==3,∴BD=DF﹣BF=4﹣3,sin∠ABF=,在Rt△DBE中,sin∠DBE=,∵∠ABF=∠DBE,∴sin∠DBE=,∴DE=BD•sin∠DBE=×(4﹣3)=≈3.1(km),∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km;(2)由题意可知∠CDB=75°,由(1)可知sin∠DBE==0.8,所以∠DBE=53°,∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°,在Rt△DCE中,sin∠DCE=,∴DC=≈4(km),∴景点C与景点D之间的距离约为4km.21、(1)A(﹣4,0),B(2,0);(2)△ACP最大面积是4.【解析】
(1)令y=0,得到关于x的一元二次方程﹣x2﹣x+4=0,解此方程即可求得结果;(2)先求出直线AC解析式,再作PD⊥AO交AC于D,设P(t,﹣t2﹣t+4),可表示出D点坐标,于是线段PD可用含t的代数式表示,所以S△ACP=PD×OA=PD×4=2PD,可得S△ACP关于t的函数关系式,继而可求出△ACP面积的最大值.【详解】(1)解:设y=0,则0=﹣x2﹣x+4∴x1=﹣4,x2=2∴A(﹣4,0),B(2,0)(2)作PD⊥AO交AC于D设AC解析式y=kx+b∴解得:∴AC解析式为y=x+4.设P(t,﹣t2﹣t+4)则D(t,t+4)∴PD=(﹣t2﹣t+4)﹣(t+4)=﹣t2﹣2t=﹣(t+2)2+2∴S△ACP=PD×4=﹣(t+2)2+4∴当t=﹣2时,△ACP最大面积4.【点睛】本题考查二次函数综合,解题的关键是掌握待定系数法进行求解.22、-1,-9.【解析】
先去括号,再合并同类项;最后把x=-2代入即可.【详解】原式=,当x=-2时,原式=-8-1=-9.【点睛】本题考查了整式的混合运算及化简求值,关键是先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值.23、(1)详见解析;(2);(3)4<OC<1.【解析】
(1)连接OQ,由切线性质得∠APO=∠BQO=90°,
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