2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 余弦定理与正弦定理（4） 课件

余弦定理与正弦定理第4课时知识回顾

遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？利用正弦定理和余弦定理．新知探究

①画出图形；③根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件．②理清已知条件，要求的目标；ABCD新知探究问题2

在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个（至少含有一边长），那么由余弦定理和正弦定理，是否可以求出其他3个元素？可以．新知探究追问：如何求其他3个元素呢？情形1：已知两个角的大小和一条边的长．先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小，然后根据正弦定理求得另外两条边的边长．情形2：已知两条边的边长及其夹角的大小．先由余弦定理求出第三边的边长，然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小．情形3：已知三条边的边长由余弦定理求出两个角，再利用三角形内角和等于180°求第三个角．情形4：已知两条边的边长和其中一边对角的大小首先，由正弦定理求出第二条边所对角的正弦，这时，要判断是两解、一解还是无解．然后，根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小．最后，由余弦定理或正弦定理得到第三边的长．新知探究问题3

如何求解与平面多边形有关的问题？与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决．初步应用例1

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°．解答：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，因为AD∥BC，所以∠BAD＝180°－∠ABC，CADB5945°30°求∠BAD的正弦值和BD的长．由正弦定理得

，sin∠ABC＝

．所以sin∠BAD＝sin∠ABC＝

．

在△ABD中，

所以

初步应用例2

如图所示，一次机器人足球比赛中，甲队4号机器人由点A开始匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线运动．解答：如图，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，

A45°BD

C设该机器人最快可在C处截住足球，BC＝xdm，解得x1＝5，x2＝

，

所以AC＝7dm（负的舍去）．初步应用例3

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝（a，b），n＝（sinB，sinA），p＝（b－c，a－c）．（1）若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若m⊥p，c＝2，C＝60°，求△ABC的面积．证明：（1）因为m∥n，所以asinA＝bsinB．由正弦定理得a2＝b2，所以△ABC为等腰三角形．

（详解参考教材P116例9的解析．）课堂练习练习：教科书第116页练习1．归纳小结1．如何利用正余弦定理解三角形？2．利用正余弦定理解三角形要注意什么？问题3

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：1．（1）已知三角形的两边与一角或已知三边解三角形，利用余弦定理解三角形．（2）已知两角和任一边，求其它两边和一角，或已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角，常用正弦定理．归纳小结1．如何利用正余弦定理解三角形？2．利用正余弦定理解三角形要注意什么？问题3

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：2．（1）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．（3）在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．基本条件．作业布置作业：教科书P123A组第5题；P124B组第2题．1目标检测D在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于（）A．12B．C．28

解析：由余弦定理可得cosA＝

，A＝60°，

2目标检测D已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最大角为（）A．30°C．60°D．120°B．45°解析：设三角形的三边长分别为a，b，c，设a＝3k，b＝5k，c＝7k（k＞0），根据正弦定理

化简已知的等式得:a∶b∶c＝3∶5∶7，

因为C∈（0°，180°），所以C＝120°．根据余弦定理可得cosC

所以这个三角形的最大角为120°，故选D．3目标检测45°在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．解析：因为a2＝b2＋c2－2bccosA，又已知a2＋4S＝b2＋c2，从而sinA＝cosA，