2023年人教版B数学必修知识点总结及经典练习

人教版Ｂ数学必修2知识点总结及经典练习1、（1）平面含义:平面是无限延展的，没有大小，厚薄之分。此外，注意平面的表达方法。（2)点与平面的关系:点A在平面内，记作；点不在平面内,记作点与直线的关系:点A的直线ｌ上,记作：Ａ∈ｌ;点A在直线l外,记作Ａl；直线与平面的关系：直线l在平面α内,记作lα；直线l不在平面α内，记作ｌα。2、四个公理与等角定理:（1）公理1:假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.LALA·αA∈LＢ∈ＬLαＡ∈αＢ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.(只要找到直线的两点在平面内,则直线在平面内)C·BC·B·A·α符号表达为:A、B、Ｃ三点不共线=>有且只有一个平面α,使Ａ∈α、B∈α、C∈α。公理２的三个推论:(1):通过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。(2)：通过两条相交直线，有且只有一个平面。(3):通过两条平行直线,有且只有一个平面。公理2作用：拟定一个平面的依据。(３)公理3:假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表达为：P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈LP·P·αLβ公理3作用：鉴定两个平面是否相交的依据，是证明三线共点、三点共线的依据。即:①鉴定两个平面相交的方法。②说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③可以判断点在直线(交线)上,即证若干个点共线的重要依据。(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表达为:设a、b、c是三条直线a∥cａa∥cc∥ｂ强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都合用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。(表白空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行)（5）等角定理：空间中假如两个角的两边分别相应平行,那么这两个角相等或互补.3、(１)证明共面问题：方法１是先证明由某些元素拟定一个平面，在证明其余元素也在这个平面内。方法2是先证明分别由不同元素拟定若干个平面,再证明这些平面重合。(2）证明三点共线问题的方法:先拟定其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是这两个平面的公共点,则第三个点在必然在这两个平面的交线上。（３）证明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点,再证明第三条直线也通过这个点。4、异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线。(既不平行也不相交的两条直线)①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。③异面直线鉴定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内但是该点的直线是异面直线④异面直线所成角：直线ａ、b是异面直线，通过空间任意一点O,分别引直线a’∥a，ｂ’∥ｂ，则把直线a’和b’所成的锐角(或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，９0°]，若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。(两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形）说明：（1）鉴定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的鉴定定理(2）在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。（３)求异面直线所成角环节：（一作、二证、三计算)第一步作角:先固定其中一条直线,在这条直线取一点,过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。第二步证明作出的角即为所求角。第三步运用三角形边长关系计算出角。(思绪是把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角)5、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系（1)空间两条直线的位置关系有且只有三种:共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点。(2)直线与平面的位置关系有且只有三种:①直线在平面内——有无数个公共点②直线与平面相交——有且只有一个公共点③直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表达三种位置关系的符号表达:aαa∩α=Ａa∥α注意直线与平面的位置关系其他分类:(１）按直线与平面的公共点数分类：(自己补充)（2）按直线是否与平面平行分类：(3）按直线是否在平面内分类:（３）平面与平面之间的位置关系有且只有两种:（按有无公共点分类）①两个平面平行——没有公共点;α∥β。②两个平面相交——有一条公共直线；α∩β=b。6、空间中的平行问题（1)线线平行的鉴定方法:①线线平行的定义：两条直线共面,但是无公共点②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行③线面平行的性质定理：④线面垂直的性质定理:ｅq\o\aｃ(○，５)面面平行的性质定理：(2）直线与平面平行的鉴定及其性质线面平行的鉴定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行证明线面平行,只要在平面内找一条直线b与直线a平行即可。一般情况下，我们会用到中位线定理、平行线段成比例问题、平行公理等。线面平行的性质定理:线面平行线线平行性质定理的作用:运用该定理可解决直线间的平行问题线面平行的鉴定方法:①线面平行的定义：直线与平面无公共点②鉴定定理：③面面平行的性质:(3）平面与平面平行的鉴定及其性质面面平行的鉴定定理:假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行面面平行），两个平面平行的性质定理与结论：①假如两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)②假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行）面面平行的鉴定方法：①面面平行的定义:两个平面无公共点。②鉴定定理：③线面垂直的性质定理：④公理四的推广：7、空间中的垂直问题线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直:假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直：假如两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角）,就说这两个平面垂直。（1）线线垂直的鉴定方法：①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角。(共面垂直、异面垂直)②线面垂直的性质：②线面垂直的性质:(２)线面垂直鉴定定理和性质定理鉴定定理:假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。鉴定线面垂直,只要在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可（注意:两条直线必须相交)经常用到的知识点有:①等腰三角形三线合一（中线,角平分线，高）,假如取等腰三角形底边的中点，连接顶点与中点的线既是中线也是高，所以,这条线垂直于底边;②正方形的对角线是互相垂直的；③三角形勾股逆定理，可以推出a边与ｂ边垂直；④假如是要证异面垂直的两条直线，一般采用线面垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的平面，从而得到两条异面直线垂直；ｅq＼o\ac(○,5)采用三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直。性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直的鉴定方法：①线面垂直的定义②线面垂直的鉴定定理:③平行线垂直平面的传递性推论：④面面平行的性质结论：eq\ｏ\ａc（○,5)面面垂直的性质定理：（3）面面垂直的鉴定定理和性质定理鉴定定理:假如一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理:假如两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的鉴定方法①面面垂直的定义:两个平面相交所成的二面角是直二面角②面面垂直的鉴定定理：③面面平行的性质结论:AOB8、空间角问题AOB（1)直线与直线所成的角①两平行直线所成的角:规定为。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线ａ，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角，的范围为（0°，９０°］。注意：(1)异面直线所成的角θ:0°<θ≤90°（锐角或者直角)(２)计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。(3）角AOB的度数并不等于直线AO与直线BO所成的角。（２)直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为。②平面的垂线与平面所成的角：规定为。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角,取值范围为（0°，9０°)。由①②③直线与平面所成的角的范围为［0°,90°］。求斜线与平面所成角的思绪类似于求异面直线所成角:“一作，二证，三计算”。关键的环节是“作角”(斜线和射影所成的角）求线面角的方法(求一条直线与平面所成的角,就是要找这条直线在平面上的射影，射影与它的直线所成的角即为线面角,即作垂线，找射影）①定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角)②方法：作直线上任意一点到面的垂线,与HYPERLINＫ""\t"_bｌaｎk"线面交点相连,运用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。③在解题时,注意挖掘题设中两个重要信息：1、斜线上一点到面的垂线；２、过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。（3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面假如所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来,假如两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角④二面角:二面角的平面角θ,0°≤θ≤18０°求二面角的方法①定义法：在棱上选择一个特殊点,过这个点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线得到平面角②垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角为二面角的平面角③垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，运用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。“转化思想”,要纯熟他们之间的转换线线垂直线面垂直面面垂直线线平行线面平行面面平行证明空间线面平行或垂直需要注意三点（1)由已知想性质，由求证想鉴定。（2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。(3)使用定理时要明确已知条件是否满足定理条件,再由定理得出相应结论。10、巩固专项练习1.如图，在三棱锥Ｓ－ＡBC中,SＡ＾底面AＢＣ,ＡＢ＾BＣ,DＥ垂直平分SC，且分别交AC于D，交SＣ于E，又ＳＡ=AＢ，ＳB=BC，求二面角E-ＢＤ-C的度数。2、在棱长都为1的正三棱锥S－AＢC中,侧棱SA与底面ABC所成的角是＿_______.3、在正方体ABＣD-中，①与平面所成的角的大小是__＿__＿_____;②与平面所成的角的大小是________＿__；③与平面所成的角的大小是________＿＿＿;④与平面所成的角的大小是____＿_＿_＿__;eq＼o＼aｃ（○,5)与平面所成的角的大小是___________。4、已知空间内一点O出发的三条射线OＡ、OB、ＯC两两夹角为60°，试求OＡ与平面BOC所成的角的大小.5、已知点是正三角形所在平面外的一点,且,为上的高,、、分别是、、的中点,试判断与平面内的位置关系，并给予证明６、已知正方体,求证７、已知直线ＰA垂直正方形ABＣD所在的平面,A为垂足。求证：平面PAC^平面PBD。8、已知直线PＡ垂直于圆O所在的平面，Ａ为垂足，ＡB为圆O的直径，C是圆周上异于A、Ｂ的一点。求证：平面ＰAC＾平面PBＣ。9.若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若m⊂β，α⊥β,则m⊥αＢ.若α∩γ＝m,β∩γ=n,ｍ∥ｎ，则α∥βC.若ｍ⊥β,ｍ∥α,则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β,则β⊥γ１0、设P是△ABＣ所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等,并且Ｐ到△ＡBC各边的距离也相等,那么△ABＣ（)Ａ.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形Ｃ.是等边三角形D.不是A、B、C所述的三角形11、把等腰直角△ＡＢＣ沿斜边上的高AD折成直二面角Ｂ—ＡD—Ｃ,则BＤ与平面ABＣ所成角的正切值为(））Ａ.eq\r(2)Ｂ.eq\ｆ(\r(2),2）C．1D.ｅq\ｆ（\r(3),３)12、如图，已知△ABＣ为直角三角形，其中∠ACＢ＝90°,M为ＡB的中点,ＰM垂直于△ACB所在平面，那么（）A、ＰA=PB>PCB、ＰA＝ＰB<PCC、ＰＡ＝ＰＢ=ＰCD、PA≠PB≠PC13、正四棱锥S—ＡBCD的底面边长为2，高为2，Ｅ是边BＣ的中点，动点P在表面上运动，并且总保持ＰＥ⊥AC，则动点P的轨迹的周长为.14、α、β是两个不同的平面，m、ｎ是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β;④ｍ⊥α。以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论,写出你认为对的的一个命题:.15、如图(1),等腰梯形ABCD中,AＤ∥BＣ,AＢ＝AＤ，∠ABC＝６０°，E是ＢC的中点，如图(2)，将△ABE沿ＡE折起,使二面角B—ＡＥ—Ｃ成直二面角,连接BＣ，BD，F是CD的中点，Ｐ是棱BC的中点．(１)求证：AE⊥BＤ；（2）求证:平面ＰEF⊥平面AECD;(3)判断DE能否垂直于平面ABＣ?并说明理由．１６、17、如图所示,已知△BCD中,∠ＢCD＝9０°,BＣ＝CＤ=1，AB⊥平面BＣD,∠ＡDB=60°,E、F分别是AＣ、ＡＤ上的动点,且eq\ｆ（ＡＥ,AC)=eq\f(AＦ,AD)=λ(０<λ<1)．(1)求证：不管λ为什么值，总有平面BEF⊥平面AB