研究生数值分析试卷

2005〜2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上,凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）设求方程12-3%+2cos%=0根的迭代法2%=4+—cos%k+i 3 k⑴证明对V%eR，均有lim%=%*，其中%*为方程的根。0 …k此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。%+2%-2%=1,<%+%+%=—1,2%+2%+%=0.1 23'2aa0'三、（8分）若矩阵A=0a0,说明对任意实数a丰0,方程组AX=b都是、00a,非病态的。（范数用叱）四、（15分）已知y=f（%）的数据如下:%012f(%)026f'(%)1i求f（%）的Hermite插值多项式H3（%），并给出截断误差R（%）=f（%）—H3（%）。五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度%（℃）的试验数据为%1234i0.81.51.82.0已知经验公式的形式为y=a%+b%2，试用最小二乘法求出a,b。六、（12分）确定常数a，b的值，使积分I（a,b）=）10%x2+b—%Jd%—1

取得最小值。七、（14分）已知Legendre（勒让德）正交多项式Ln（x）有递推关系式:L(x)取得最小值。七、（14分）已知Legendre（勒让德）正交多项式Ln（x）有递推关系式:L(x)=1, L(x)=x01丁(、2n+17(、L(x)= xL(x)一n+1 n+1n—Ln+1n-1(x)(n=1,2,)试确定两点的高斯-勒让德（G—L）求积公式』1f(x)dx仁Af(x)+Af(x)-11122的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分I=』2exdx1八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题dy、—=f(x,y)<dx、y(x0)=y0的单步法：yn+1=y+h(-k+-k)122+hk)14=f(，yn)

k=f(x++hk)12 nn验证它是二阶方法；确定此单步法的绝对稳定域。2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名:注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。x+2x-2x=1,<x+x+x=—1,2x+2x+x=0.1 23二、（15分）设求方程12-3x+2cosx=0根的迭代法x-4+—cosxk+i 3k(1)证明对VxeR，均有limXk=x*洪中x*为方程的根.(2)此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.’2aa0、三、(8分)若矩阵A-0a0,说明对任意实数a丰0，方程组AX-b都是、00a,非病态的.(范数用卜||J四、(15分)已知y-f(x)的数据如下:x123f(x)242f'a)-1i求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)-以X)-H3(x)。五、(10分)在某个低温过程中，函数y依赖于温度x(℃)的试验数据为x1234i0.81.51.82.0已知经验公式的形式为y-ax+bx2，试用最小二乘法求出a,b。六、(12分)确定常数a，b的值，使积分I(a,b)-』1\xx2+b-|x|ldx-i取得最小值。七、(14分)对于求积公式：Jbp(x)f(x)dx六£af(x)，其中：p(x)是区间(a,b)kka k-1上的权函数。(1)证明此求积公式的代数精度不超过2n—1次；(2)若此公式为Gauss型求积公式,试证明k-1

八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题dy八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题dy、~=f(x，y)<dx、y(x0)=y0的单步法：yn+1=y+h(1k1+2k2)+hk)1+hk)1k=f(x+h,y2 nn验证它是二阶方法；确定此单步法的绝对稳定域。2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效.一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。x+2x-2x=1,<x+x+x=—1,2x+2x+x=0.1 23’2aa0、二、（8分）若矩阵A=0a0,说明对任意实数a丰0，方程组AX=b都是、00a）非病态的。（范数用Ml/三、（15分）设①（x）导数连续，迭代格式xk+1=①（xk）一阶局部收敛到点x*。构造新的迭代格式：x=Xx+^p（x）问如何选取常数X及N，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。四、（15分）已知y=f（x）的数据如下:x123f(x)242尸(x)-1i

求于(x)的Hermite插值多项式H3a)，并给出截断误差R(x)=f(x)-H3(x)。五、(10分)在某个低温过程中，函数y依赖于温度x(℃)的试验数据为x1234i0.81.51.82.0已知经验公式的形式为y=ax+bx2,试用最小二乘法求出a,b。六、(12分)确定常数a，b的值，使积分I(a,b)二』1axx2+b-|x|-i取得最小值。七、(14分)对于求积公式：1bp(x)f(x)dx六£af(x)，其中：p(x)是区间(a,b)上kka k=1的权函数.(3)证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次;(4)若此公式为Gauss型求积公式,试证明£a=Jbp(x)dxk=1 ady，/ 、=f(x，y)八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：<dx八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：、y(x0)=y0ynyn+1=y+h(?k+1k)n2+hk)1<ki=f(xn,yn)k=f(x+h,+hk)12 nn验证它是二阶方法；确定此单步法的绝对稳定域。2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A卷)科目名称：数值分析学生所在院:学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、(12分)设方程组Ax=b为(21丫c(7)111(1)用Doolittle分解法求解方程组;(2)求矩阵A的条件数Cond(A)9二、(12分)设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为九1V九2V<Xn,为求解方程组Ax二b，建立迭代格式x(k+1)=x(k)+①(b-Ax(k))，求出常数①的取值范围，使迭代格式收敛。三、(12分)已知数据x—2-101201210试用二次多项式p(x)=ax2+bx+c拟合这些数据。四、(14分)已知y=f(x)的数据如下:x123f(x.)2412f'(x)3i(1)求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)；(2)为求J3f(x)dx的值，采用算法：J3f(x)dx=J3H(x)dx+R

1 1 13试导出截断误差R五、(12分)确定常数a,b的值,使积分12I(a,b)=J(ax+b-ex)dx0取得最小值。六、(12)确定常数Ai,使求积公式f(x)dxyAf(0)+Af(1)+Af(2)23的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式.七、(12分)设①(x)导数连续，迭代格式丫卜+1=①(xk)一阶局部收敛到点x*。对于常数九，构造新的迭代格式:k+13Xk+1问如何选取入，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛.dy取、八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法:=f(t，y八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法:<dt、y(10)=y0匕+1='Jhk2k1=f(1,yn)k=f(t+1h,y+1hk)2n2n2 1（7）验证它是二阶方法；（8）确定此单步法的绝对稳定区域。2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）给定方程f（x）=（X-1）ex-1-0（1）分析该方程存在几个根；（2）用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；（3）说明所用的迭代格式是收敛的。二、（15分）设线性方程组为ax+ax=b,<111 122 1 aa中0ax+ax=b, 1122（1）证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散.（2）当同时收敛时比较其收敛速度。三、（10分）设A为非奇异矩阵，方程组Ax=b的系数矩阵A有扰动AA，受扰动后的方程组为（A+AA）（x+Ax）=b，若IIA-1II•IIAA11<1，试证：1-IIA-1II•IIAAIIIIxIIIIAx111-IIA-1II•IIAAIIIIxII四、(15分)已知y=f(x)的数据如下:x012f(x)101f<x)1求f(x)的Hermite插值多项式H3a)，并给出截断误差R(x)=f(x)-H3a)。五、(10分)已知数据i0123x.0123yi3247设f(x)=ax+b(x-1)2，求常数a，b,使得发[f(x)-y]2=miniii=0六、(15分)定义内积(f,g)=J1f(x)g(x)dx在H=Span{1,x,x2}中求-1f(x)=1xI的最佳平方逼近元素.七、(10分)给定求积公式J2卜f(x)dxxAf(-h)+Bf(0)+Cf(h)-2h试确定A,B,C，使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss型公式.八、(10分)给定微分方程初值问题—=y2 0<x<1<dx、y(0)=2用一个二阶方法计算y(x)在0.1,0。2处的近似值.取h=0.1计算结果保留5位有效数字.2008~2009学年第一学期硕士研究生期末考试试题一、(本题共3小题，每题8分,共24分)解答下面各题：

1）下表给出了函数f（X）在一些节点上的函数值:X0.00。10。20.30。40.50.60。70。8f(x)58630—3—335用复化Simpson求积公式近似计算函数f（x）在区间［0,0.8］上的积分。2）已知函数y=f（x）的观察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多项式。X0123y230一13）取初值为2,利用Newton迭代法求方程:f（x）=x2—2=0在［0，2］中的近似解。要求迭代两次。（如果计算结果用小数表示，则最后结果应保留5位小数）。一、（本题15分）设常数a/。,试求a的取值范围，使得用雅可比Jacobi）迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。三、（本题16分）利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式:ff（x）d-2［f（0）+f（h）］+1Th2［『（0）-f'（h））并导出0其积分余项。四（14分）已知方程a+10x—4=0在0。2附近有解，建立用于求解此解的收敛的迭代公式。并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有4位有效数字（不计舍入误差）。五、（15分）对初值问题1表达式,并与准确解计