直角三角形与勾股定理

第五节直角三角形与勾股定理考点一直角三角形的性质与判定例1(2017·江苏宿迁中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝2，则线段EF的长是

．【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长，然后根据三角形的中位线定理求解．【自主解答】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，即CD是直角三角形斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2×2＝4.又∵E，F分别是BC，CA的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×4＝2.故答案为2.应用勾股定理的注意问题(1)应用勾股定理的前提必须是在直角三角形中；(2)当直角三角形的斜边不确定时，要注意分类讨论．1．(2018·江苏扬州中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是()A．BC＝ECB．EC＝BE C．BC＝BED．AE＝ECC2．(2017·四川泸州中考)在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O，若OD＝2cm，OE＝4cm，则线段AO的长为_______cm.考点二俯角、仰角例2(2018·四川泸州中考)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值)．【分析】在直角三角形中，利用三角函数用AD表示出AE，DE，用BC表示出CE，BE.根据BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90m，求出AD，DE，CE的长．在Rt△DEC中，利用勾股定理求出CD的长．【自主解答】由题意知BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90m.3．(2018·湖北咸宁中考)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为______m(结果保留整数，≈1.73)．

3004．(2018·四川达州中考)在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°.问：该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D.设CD＝x米．∵∠CBD＝45°，∠BDC＝90°，∴BD＝CD＝x米．∵∠A＝30°，AD＝AB＋BD＝(4＋x)米，考点三勾股定理逆定理的应用例3(2017·浙江温州中考)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(

)A．12SB．10SC．9SD．8S【分析】设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2＋b2，由题意可知EF＝(2a－b)－2(a－b)＝2a－b－2a＋2b＝b，由此即可解决问题．【自主解答】设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2＋b2.由题意可知EF＝(2a－b)－2(a－b)＝2a－b－2a＋2b＝b.∵AM＝2EF，∴2a＝2b，∴a＝b.∵正方形EFGH的面积为S，∴b2＝S，∴正方形ABCD的面积＝4a2＋b2＝9b2＝9S.故选C.5．如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为()D考点四直角三角形全等的判定例4(2017·湖南常德中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连结AD，作BF⊥AD分别交AD于点E，AC于点F.(1)如图1，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图2，若BD＝4DC，取AB的中点G，连结CG交AD于点M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.【分析】(1)根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)①过点G作GH∥AD交BC于点H，由AG＝BG得到BH＝DH，根据已知条件及平行线分线段成比例定理求解；②过点C作CN⊥AC，交AD的延长线于点N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到结论．【自主解答】(1)∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠DEB＝90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)．(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于点H.∵BD＝4DC，G是AB的中点，GH∥AD，∴H是BD的中点，∴HD＝BH＝2DC.由GH∥AD得∴GM＝2MC.②如图，过点C作CN⊥AC，交AD的延长线于点N，则AB∥CN，∴△ADB∽△NDC.∵BD＝4DC，又∵BF⊥AD，∠BAC＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝∠FAE＋∠BAE，∴∠ABE＝∠FAE，即∠ABF＝∠CAN.在△ABF与△CAN中，∴△ABF∽△CAN，∴∴AF·CA＝AB·CN＝AB2＝AG2，∴AG2＝AF·AC.6．(2017·黑龙江齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连结EF，若AC＝10，求EF的长．(1)证明：∵AD⊥BC于点D，∴∠BDG＝∠ADC＝90°.∵BD＝AD，DG＝DC，∴Rt△BDG≌Rt△ADC，∴BG＝AC.∵AD⊥BC于点D，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝BE＝BG，DF＝AF＝AC，∴DE＝DF.∵DE＝DF，BD＝AD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°，∴DE⊥DF.(2)解：如图所示．∵AC＝10，∴DE＝DF＝AC＝×10＝5.∵∠EDF＝90°，∴EF＝7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，CE⊥BD于点E，AB＝EC.(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠EDC＝65°，求∠ECB的度数；(3)若AD＝3，AB＝4，求DC的长．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC.∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠A＝∠CEB.又∵AB＝EC，∴△ABD≌△ECB.(2)解：由(1)证得△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝65°.∵∠DCE＝90°－65°＝25°，∴∠ECB＝∠BCD－∠DCE＝40°.(3)解：由(1)证得△ABD≌△ECB，∴AB＝CE＝4，BE＝AD＝3，∴BD＝BC＝5，∴DE＝BD－BE＝2，∴CD＝易错易混点一先入为主，高线在三角形内例1在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高线AD＝12cm，则BC＝

.错解14cm正解(1)如图1，在锐角△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，BC边上高线AD＝12cm.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝5cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝9cm，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14(cm)；错解14cm正解(2)如图2，在钝角△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，BC边上高AD＝12cm，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝5cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝9cm，∴BC＝CD－BD＝9－5＝4(cm)．故答案为14cm或4cm错解14cm错因忽略高线AD在△ABC中的位置可能在三角形内部也可能在三角形外部(即△ABC有可能是钝角三角形)