大学生数学竞赛

一、已知曲线积分（常数）。其中是可导函数且，L是绕原点（0，0）一周的任意正向闭曲线，试求出及A。[分析]可添设辅助路径，使之得到不包围原点的闭路构成单连域，若没此闭路的曲线积分与路径无关，有，可得微分方程从而解出，取L为可计算A值。图4解：设为平面上任意一条不经过原点也不包含原点的正向闭曲线，取辅助路径如图4、（使构成闭路且包围原点）。由已知有 （1） （构成闭路包围原点） （2） 是的负向与构成闭路包围原点）（1）－（2） （构成闭路。但不包围原点围成单连域）所以积分与路径无关。 。 。所以 即 解出 由。又可取L为正向， 二、设u在所围闭域D上连续，且二阶导数连续，又，试证 ，其中是u沿D的边界外向法线方向导数，L方向为逆时针方向，求此曲线积分的值。[分析]先考虑由方向导数，第I、II型曲线积分的关系写出所求曲线积分的一般形式，通过格林公式可计算结果。证明：由方向导数定义： （沿D边界外法线方向与x轴正向夹角为）设沿D边界逆时针方向（正向）的切线正向与轴、y轴正向的夹角分别为、（图22）图22则 ， 。 （第I型） （第II型） （已知） （域D的面积） 。三、质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A（1，2）运动到点B（3，4）的过程中受变力F作用（见图54），F的大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于。求变力F对质点P所作的功。[分析]设变力，则当P沿从点A运动到点B，变力F对质点P所做的功为，这是一个对坐标的曲线积分。问题解决的关键是确定的参数方程和变力F的向量表达式。解：按题意，变力。圆弧的参数方程是变力F所作的功。本题考查曲线积分在计算变力沿曲线所作的功问题上的应用，难度值为0.28，区分度为0.5。1。四、设为连续函数，C为平面上逐段光滑的闭曲线，证明：五、计算线积分，C是沿圆周由点（0，R）依逆时针方向到点（0，－R）的半圆六、求，其中L是球面与柱面的交线（），L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边。解：记为曲线L所围球面积分的外侧。因为按题意所规定L的方向及曲面与其边界的定向法则（右手系法则）知外侧为正侧。由斯托克斯公式，有 其中是球面上每点处的单位法向量。由球面方程不难求出 。从而 。由于曲面关于平面对称，函数是奇函数，故，这样 。其中D是曲面在平面上的投影区域：。注：曲线L的参数方程为 七、曲线C为与的交线，从原点看去C的方向为顺时针方向，则_____________。[分析]根据斯托克斯公式计算。解：应填：。八、设空间曲线C由立方体：，，的表面化与平面相截而成，试计算： [分析]空间闭曲线上的曲线积分可以分段直接化为定积分计算，并注意应充分运用对称性来简化计算，或可以考虑用斯托克斯公式计算（图7）解法一：直接计算图7对于， （在平面上：， 点A、B各对应的横标为） 。 （在平面上：， 点D、E各对应的横标为） 由对称性可知： 。解法二：选取平面上被折线C所包围的朝上侧的部分作为张于曲线C上的曲面S。它的法向量的方向余弦为 。设表示曲面S在坐标平面上的投影区域，其面积。由斯托克斯公式： （由，知 。故 九、计算曲线积分，其中C是曲线从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。[分析]C为一条封闭的空间曲线，令，则，将其化为参数方程，要利用公式正确计算出本题的曲线积分关键是确定C起点和终点对应的值和，根据题意，。也可以利用斯托克斯公式将曲线积分化为曲面积分，在将曲面积分化为二重积分时注意曲面S的侧与曲线C的正向符合右手规则，从而正确决定二重积分的正负号。解法一：令，则。于是。解法二：设S是平面上以C为边界的有限部分，其法向量与z轴正向的夹角为钝角。为S在面上的投影区域。记则利用斯托克斯公式知。考生典型错误有：（1）解法一中对的积分从.（2）用斯托克斯公式时没有考虑方向定错符号。（3）将C化为，根号前没有正、负号，从而致错。十、设曲线是球面与平面的交线，试求积分十一、。其中是由曲线绕x轴旋转成的旋转曲面[分析]利用高斯公式解：作平面，与曲面围成闭区域，由高斯公式可得故原积分十二、计算曲面积分 ，其中是 （）的上侧。[分析]直接计算此曲面积分是相当困难的，因而应利用高斯公式。考虑到被积分表达式中有分母，所以在增被曲面以构成封闭曲面时，要注意所增补的曲面不能过原点，同时所构成的封闭曲面不要包围原点。解：以表示以原点为中心的上半单位球面（）。可以验证被包在S的内部。的内侧和外侧分别表示为和。记为平面上满足 部分的下侧。这样构成一个封闭曲面的外侧。此封闭曲面既不经过也不包围坐标原点。于是 其右端的第一项，由高斯公式得 ，其中是所包围的区域；其第三项显然为0，所以 再次利用高斯公式来计算 记为平面上满足部分的下侧，则构成封闭曲面，其所包围的区域记为，则 而 ，最后有 。注：本题中既可取为上半单位球面，也可取为以原点为球心，以r为半径的上半球面，只需使被包含在S内即可。本题的结论还表明它与曲面S的具体形式是无关的：只需S是不经过原点的分片光滑曲面（）。十三、曲面 在其上分布有密度函数为的质量，求S的质量m。[分析]m可化为曲面积积分，进而化为二重积分来计算。解： 在平面上的投影域：。 。令。 。十四、计算其中是的外侧。十五、求曲面积分，其中是曲面的满足的部分的下侧。（已知：解：由对称性只要计算其中D为，经计算得。十六、计算曲面积分 其中S是球面的外侧。[分析]充分利用球面S的对称性，可将组合曲面积分化为对的单一曲面积分，再将此曲面积分化成二重积分计算。解：利用球面S的对称性 而 所以 。。十七、计算曲面积分，其中是由曲面及两平面，所围成立体表面的外侧。[分析]虽然S是一个封闭曲面，但由于被积函数在原点处不具有一阶连续偏导数，因此高斯公式成立的条件不具备，故不能将此二重积分化为三重积分计算，只能按照曲面积分的定义计算。计算中要充分利用和与有关坐标面平行、垂直等位置关系简化积分。解：设、、依次为S的上、下底和圆柱面部分，则记、在面上的投影区域为，则。在上，，记在平面上的投影区域为，则。所以，原积分。本题考查计算曲面积分的基本技巧和能力，同时检测了考生对高斯公式的理解和掌握的程度。难度值为0.22，区分度为0.36。十八、计算，其中S是圆柱面被平面和所截出部分的外侧。[分析]先作出图形，其中为平面与圆柱面所截部分的上侧，为平面与圆柱面所截部分的下侧，为封闭曲面所围区域，为在平面上的投影区域，为S在平面上的投影区域。本题有两种曲型解法，一种是应用高斯公式求出上的曲面积分，然后再减去对和上的曲面积分，此时要注意和的侧对积分前取正负号的影响。另一种方法是直接将曲面积分化为二重积分，此时应注意曲面S在平面上的投影为一圆周，二重积分，因此，所求曲面积分I化为二重积分。解法一：设，，，，所示。记，，则。而