通信原理-抽样定理

《通信原理》

抽样定理周文炯学习目标1.了解模拟信号数字化传输系统的过程2.掌握理想低通抽样定理

重点：理想低通抽样定理难点：由抽样信号恢复原信号2模拟信号的数字传输数字通信系统具有许多优点而成为当今通信的发展方向自然界的许多信息经各种传感器感知后都是模拟量，例如电话、电视等通信业务，其信源输出的消息都是模拟信号。若要利用数字通信系统传输模拟信号，一般需要三个步骤：（1）把模拟信号数字化，即模数转换（A/D）（2）进行数字方式传输（3）把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）3模拟信号的数字传输A/D转换中有三个基本过程：抽样、量化、编码。4模拟信号数字化传输的系统框图

抽样、量化、编码

数字通信系统

译码和低通滤波

模拟信息源模拟随机信号数字随机序列数字随机序列模拟随机信号5抽样量化编码量化等级

量化电平二进制编码实际抽样值00V00000.01V10.2V00010.21V20.4V00100.42V30.6V00110.59V40.8V01000.80V51.0V01010.99V61.2V01101.18V71.4V011181.6V100091.8V1001A/D转换步骤示意图抽样定理抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。抽样定理的大意是，如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号进行抽样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据它的抽样值就能重建原信号。也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，而只需传输按抽样定理得到的抽样值即可。抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。能否由样值序列重建原信号,是抽样定理要回答的问题。6抽样定理举一个放电影的例子,自然界中连续运动的物体,经过摄像机的拍摄(抽样)后变为一张张“离散”的胶片在放映时由于人眼的暂留效应对光线的变化就有低通特性(人眼对缓慢变化的光线可以察觉到,而对迅速变化的光线则无法察觉)。光线的暂时中断被人眼自动连接上了。所以在屏幕上看到的画面就是一个连续动作的图像。要使“离散”的图像被人眼平滑成连续的图像,要求摄影机在单位时间内能拍摄出足够多的画面(即采样频率要足够高)。如果摄像机在单位时间内拍摄的画面数不够,在放映时看到的动作就有跳动的感觉,而不是连续的感觉,这时就产生了画面的失真。7抽样定理对模拟信号进行抽样和拍电影一样,当抽样频率足够高时,模拟信号迅速变化的部分都采集到了,接收端利用一个低通滤波器进行平化处理,可恢复出原信号。而抽样频率不够高时,模拟信号迅速变化的部分没有都采集到,低通滤波器平滑输出的波形就会产生失真。结论：抽样后的样值序列含有原模拟信号的信息,如果要把样点恢复成原模拟信号,在抽样时一定要满足一定的条件——抽样定理。抽样定理告诉我们,究竟需要多高的采样频率,在收端可以用低通滤波器不失真地恢复出原信号。8抽样定理9根据信号m(t)是低通型信号还是带通型信号,抽样定理可分为低通型信号抽样定理和带通型信号抽样定理。根据抽样脉冲δT(t)是时间上等间隔序列还是非等间隔序列,抽样定理可分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理。抽样器m(t)δT(t)ms(t)抽样定时脉冲根据δT(t)是冲激序列还是非冲激序列,抽样定理可分为理想抽样定理和非理想抽样定理。时间上连续的模拟信号抽样信号抽样过程可看成是m(t)与δT(t)相乘：6.1.1低通抽样定理低通抽样定理:一个频带限制在(0,fH)Hz内的时间连续信号m(t),如果以1/(2fH)秒的间隔对它进行等间隔抽样,则m(t)将被所得到的抽样值完全确定。2fH—奈奎斯特速率；1/(2fH)—奈奎斯特间隔。10

此定理告诉我们：若m(t)的频谱在某一频率fH以上为零，则m(t)中的全部信息完全包含在其间隔不大于1/(2fH)秒的均匀抽样序列里。换句话说，在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次。或者说，抽样速率fs（每秒内的抽样点数）应不小于2fH

，若抽样速率fs＜2fH

，则会产生失真，这种失真叫混叠失真。抽样定理的数学表达式

下面我们从频域角度来证明这个定理m(t)为低通信号,频谱在0~fH范围抽样函数为周期性冲激函数：11抽样后输出信号为ms(t)抽样信号的频谱抽样信号的频谱12所以，理想抽样后信号的频谱Ms(w)由无限多个间隔为ws的M(ω)相叠加而成，这意味着抽样后的信号ms(t)包含了信号m(t)的全部信息。n=0时就是本身，所以通过一个低通滤波器就可以恢复信号m(t)。低通抽样定理13tms(t)-2Ts-Ts0Ts2Ts低通信号冲激抽样过程的时间函数及对应频谱-2ws-ws0

ws2ws……m(t)t0…δT(t)t-2Ts-Ts0Ts2Ts……

-wH

0wHM(w)wδT(w)w……-2ws-ws-wH0wH

ws2wsMs(w)w低通抽样定理14抽样频率fs对频谱M(f)的影响

-wH

0wHM'(w)wMs(w)-2ws-ws0ws2ws……w

-wH

0wHM(w)w-2ws-ws-wH0wH

ws2wsM(w)……w

-wH

0wHM(w)w-2ws-ws

-wH0wH

ws2wsM(w)…w低通信号的抽样定理：

一个频带限制在0~fH内的低通信号m(t)，如果抽样频率fs≥2fH，则可以由抽样序列无失真地重建恢复原始信号m(t)。s≥2Hs-ms+ms<2Hs-Hs+Hs=2H频谱重叠信号恢复15低通滤波器ms(t)如何由样值序列恢复原始基带信号？由抽样频谱图可知,样值序列通过一适当的低通滤波器即可恢复原始信号。

根据时域卷积定理，得到：信号恢复16

该式是重建信号的时域表达式，称为内插公式。它说明以奈奎斯特速率抽样的带限信号m(t)可以由其样值利用内插公式重建。这等效为将抽样后信号通过一个冲激响应为的理想低通滤波器来重建m(t)。由图可见，以每个样值为峰值画一个Sa函数的波形，则合成的波形就是m(t)。由于Sa函数和抽样后信号的恢复有密切的联系，所以Sa函数又称为抽样函数。低通抽样定理在实际中,边界陡峭的理想滤波器无法制作,当fs=2fH时,虽然M(f)的频谱不会出现重叠现象,但通过非理想滤波器得到的频谱仍然有失真。所以实际应用中