多元函数微分1

多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性上页下页铃结束返回首页一、平面点集n维空间

1.平面点集

坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作

E{(x

y)|(x

y)具有性质P}

设P0(x0

y0)是xOy平面上的一个点

是某一正数点P0的邻域记为U(P0

)它是如下点集邻域

点与点集之间的关系

内点如果存在点P的某一邻域U(P)

使得U(P)E

则称P为E的内点

外点如果存在点P的某个邻域U(P)

使得U(P)E

则称P为E的外点

边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边界点边界点内点外点

E的边界点的全体称为E的边界记作E

聚点

有E中的点则称P是E的聚点

D是连通的连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E

则称E为连通集

E1E2是非连通的开集

如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集

举例

点集E{(x

y)|1<x2y2<4}是开集也是开区域点集E{(x

y)|1x2y24}是闭集也是闭区域点集E{(x

y)|1x2y24}既非开集也非闭集

区域(或开区域)

连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域有界集

对于平面点集E

如果存在某一正数r

使得EU(O

r)

其中O是坐标原点则称E为有界点集

无界集

一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集

点集{(x

y)|xy0}是无界闭区域

点集{(x

y)|xy0}是无界开区域

举例

点集{(x

y)|1x2y24}是有界闭区域

我们把n元有序实数组(x1

x2

xn)的全体所构成的集合称为n维空间,记为Rn即

Rn{(x1

x2

xn)|xiR

i12

n}

2.n维空间xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量

点x(x1

xn)和点y(y1

yn)间的距离记作(x

y)规定两点间的距离邻域

设aRn

是某一正数则n维空间内的点集

U(a

){x|xRn

(x

a)}就定义为Rn中点a的邻域

平面点集中由邻域定义的各种概念可以类似地推广.

注：二、多元函数概念二元函数的定义设D是R2的一个非空子集称映射f

DR为定义在D上的二元函数通常记为zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D称为该函数的定义域

x

y称为自变量

z称为因变量

函数值与自变量x、y的一对值(x

y)相对应的因变量z的值称为f在点(x

y)处的函数值记作f(x

y)

即zf(x

y)

值域

f(D){z|zf(x

y)(x

y)D}

函数也可以用其它符号如zz(x

y)

zg(x

y)等

把上述定义中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射f

DR就称为定义在D上的n元函数通常记为uf(x1

x2

xn)(x1

x2

xn)D

或uf(x)

x(x1

x2

xn)D

或uf(P)

P(x1

x2

xn)D

二、多元函数概念二元函数的定义设D是R2的一个非空子集称映射f

DR为定义在D上的二元函数通常记为zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D称为该函数的定义域

x

y称为自变量

z称为因变量

n元函数在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域对这类函数它的定义域不再特别标出

多元函数的定义域函数zln(xy)的定义域为{(x

y)|xy>0}函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x

y)|x2y21}

举例

例1

求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.

解(1)

用X型区域表示:

例1

求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.

解(2)

用Y型区域表示:

z=ax+by+c二元函数的图形点集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D}称为二元函数zf(x,y)的图形.(1)z=ax+by+c的图形是一个平面.举例

(2)方程x2+y2+z2a2确定两个二元函数其图形分别表示上半球面和下半球面,其定义域均为D={(x,y)|x2+y2a2}.(3)z=2x2+y2的图形是椭圆抛物面.三、多元函数的极限二重极限的定义设二元函数f(P)f(x

y)的定义域为D

P0(x0

y0)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数e总存在正数使得当|f(P)A||f(x

y)A|成立则称常数A为函数f(x

y)当(x

y)(x0

y0)时的极限记为也记作类似地,可以定义多元函数的极限.提示

当点P(x,y)沿x轴、y轴趋于点(0,0)时函数的极限为零.

当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时,有因此,函数f(x,

y)在(0,0)处无极限.讨论注:如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,

则函数的极限不存在.

多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似.

解

例2

四、多元函数的连续性二元函数连续性定义二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数上去.设二元函数f(x

y)的定义域为D

P0(x0

y0)为D的聚点

且P0D如果则称函数f(x

y)在点P0(x0

y0)连续

如果函数f(x

y)在D的每一点都连续那么就称函数f(x

y)在D上连续或者称f(x

y)是D上的连续函数

提示多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初等函数的连续性

多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的

提示定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

根据连续性求极限

如果f(P)是初等函数且P0是f(P)的定义域的内点则

例3

解

因为P0(12)为D的内点所以

D{(x

y)|x0

y0}

根据连续性求极限

如果f(P)是初等函数且P0是f(P)的定义域的内点则

例4

解

性质1(有界性与最大值最小值定理)

在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值多元连续函数的性质性质2(介值定理)

在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

用X型区域表示:

解

练习1

求函数的定义域,并画出定义域的图形.其中

解

练习2

求下列极限.

解

练习2

求下列极限.

证明

练习3

证明极限不存在.

当点(x,y)在直线y=kx

上时,有点(x,y)沿不同的直线y=kx

趋于点(0,0)时,函数趋于不