有限元5-有限条

有限单元法第五章有限条法15.1引言一、发展概况对于许多具有规则几何形状和简单边界条件的结构来说，完全的有限元分析常常是既浪费又不必要，有时甚至不可能（指超出计算机能力）。（张佑启《结构分析的有限条法》）有限条法(FiniteStripMethod)诞生于二十世纪60年代，一般认为主要创始人有：Y.K.Cheung(张佑启)教授和G.H.Powell(鲍威尔)、D.W.Ogden(奥格登)两人。Y.K.Cheung在1966～1969年间首先用有限条法研究了矩形薄板弯曲问题，后两人开始于板式桥梁的研究工作。2常见的有限条可分为1）根据形状矩形条，扇形条，斜板条2）根据受力弯曲板条，平面应力条，薄壳条本节的主要内容：矩形弯曲板条有限条法在桥梁结构静力、动力和稳定分析方面得到广泛应用，并取得良好的效果。有限条法自从诞生以来，得到了迅速发展，在众多国内外学者的大量研究和实践中，先后提出了高阶有限条、样条有限条、组合有限条等方法，进而提出了有限层法、有限棱柱法、双样条子域法、有限条——传递矩阵法等新方法。34二、有限条法的力学模型有限条法可看作是有限元的一种特殊形式或分支，是一种（有限元）半解析法，适应于一些量大面广的、常用的规则结构形式，采用有限条法可使弹性力学中的二维问题化为一维问题（三维化为二维），使总刚方程降阶，从而提高效率。有限条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的“条”，条间纵向用结线连接，由于桥梁的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法分析时十分有效。

5象有限元一样，有限条法亦需将连续体离散化，所不同的是，不象有限元一样可沿任意方面离散，而只能沿某一方向。如图示矩形板，用有限元分析（矩形元）的网格划分如右图示，而有限条则是沿x方向等分成若干条带。有限条：x方向采用多项式插值函数y方向采用三角级数表示：然后板的位移函数采用一总和函数表示：（梁函数）6三、有限条法与有限元法的比较有限元有限条适用于任何几何形状、边界条件，材料变化，用途极广。用于规则形状的结构，中间可有弹性支撑，特别是桥梁。自由度较多，带宽较大，内存需求较大。自由度较少，带宽较小，内存需求较小。输入数据较多，出错的可能性较大。输入输出数据较少。7四、有限条法的解题步骤1）离散化。用假想的线把连续体分割成若干条。条与条之间通过结线相互联接。2）选择位移模式f(x)项采用多项式，Y(y)项采用连续函数；然后把位移场用结线位移来表达（形函数矩阵[N]），由此可得到条的应变（几何矩阵[B]）和应力（应力矩阵[S]）。83）用虚功原理和最小势能原理得到刚度矩阵和等效荷载。4）集成总刚，引入支座条件，解方程求得结线位移各级数项并叠加。5）计算各条在各组位移下的内力并叠加。95.2梁函数和基本函数为了收敛于正确值，位移函数必须满足下列简单要求：（1）梁函数f(x)，用来表示条元的横向变化规律，应包含刚体位移和x向常应变状态，还要保证相邻条之间的协调。对于弯曲板条，其要求与梁相同。（2）基本函数Y(y)，用来表示条元的纵向变化规律，应满足条的端部条件。如果采用正交级数，会使问题得到简化。通常采用梁的无限自由度振动的振型。位移模式为10一、梁函数梁函数用以表示条元的横向变化规律。图示梁有两个结点(i,j),每个结点两个位移:线位移(挠度)d1，d3角位移d2，d4任意点的位移函数:代入边界条件可得：[L]为平面梁单元的形函数，此处称梁函数。11二、基本函数基本函数用来表示条元的纵向变化规律，Y.K.Cheung将基本函数取为振动梁微分方程（按振动梁微分方程的规律变化）:根据结构力学中“梁的无限自由度振动”理论可知，其解的一般形式为:在结构力学中，上式又称符拉索夫振动梁函数，式中C1～C4为由两端边界条件确定的待定常数，由不同的支承条件，可得出相应的基本函数Y(y)。（5-2-1)12几种常用支承条件的基本函数1．两端简支边界条件：

Y(0)=Y"(0)=0

Y(l)=Y"(l)=0代入式(5-2-1)得:或者mm=p,2p,3p……mp

第一振型谐波取,m=1,132.一端简支一端固定边界条件:Y(0)=Y"(0)=0；

Y(l)=Y'(l)=0特解(基本函数):m1=3.9266,m2=7.0683,m3=10.2102,m4=13.3520(m=5,6,…）谐波图与简支梁相似。μ为特征方程tg(m)=th(m)的解。143.两端固定边界条件:Y(0)=Y'(0)=0；Y(l)=Y'(l)=0基本函数:m1=4.7300,m2=7.8532,m3=10.9956,m4=14.1372(m=5,6,…）m为特征方程cos(m)ch(m)-1=0的解。155.3弯曲板有限条法一、位移函数图示简支板，在任意荷载作用下，将产生光滑的变形曲面(位移场)，x、y方向的变形曲线分别如图示，y方向变化规律取为基本函数，x方向变化规律取为梁函数。16现在，沿板的支承方向将其离散成有限个矩形板条。从中取出一典型条元e加以研究，当条元宽度b较窄时，其位移场可采用多项式f(x)和基本函数Y(y)的组合形式表示，可得挠度：(5-3-1)式中f(x)为描述横向位移变化规律的多项式函数，即，梁函数。Y(y)为摸拟板条纵向(y方向)挠度曲线的基本函数。代入得：其横向转角：(5-3-2)17设条元结线i的挠度为wi，转角为θi；结线j挠度为wj，转角为θj，定义四个结线位移的表达式为:(5-3-3)式中:wim，θim，wjm，θjm为第m个谐波所对应的结线i、j的挠度位移幅值和转角位移幅值。18将5-3-3代入5-3-1、5-3-2的左边并消去Ym(y)得:由此解得:思考：对应于不同的协波Ym(y)，结线位移幅值是否相同？19将其代回5-3-1得用结线位移幅值表示的位移场(5-3-4)式中:是对应于第m个谐波的结线位移幅值列阵。(5-3-5)是对应对于第m个谐波的形函数。它与梁函数[L]相比只是增加了乘子Ym(y)。于是板条中任意点的位移用矩阵形式表示为：20二、(沿)结线(i,j)的位移(函数)实际应用时，通常只计算结线上的位移，将x=0和x=b代入得：当x=0时,当x=b时,所以沿结线i,j的位移:21式中[I]为四阶单位矩阵即：结线上沿y方向任意点的位移，是通过由第m个谐波解出的两结线的位移幅值乘以相应基本函数Ym(y)得到的，其最后的位移是r个谐波的叠加。22三、条元应变与几何矩阵[B]由平板理论知： 式中[B]即为弯曲板条的几何矩阵：23子矩阵[B]m的展开形式为:若取简支条元,则式中:为书写方便，Ym(y)写成了Ym24四、条元内力

弹性矩阵[D]与上章相同，弯、扭矩的正方向如图示，且应理解为单位长度上的量。25五、条元刚度矩阵的一般形式由单元刚度矩阵的一般表达式，条元的刚度矩阵:或写成:26其中子块:由于条刚中的子块[S]mn是4×4阶，当取到级数的第r项时，则[S]为4r×4r阶。对于不同的支承条件，由于基本函数形式不同，可导出不同的几何矩阵。将其代入上式，则可求得不同支承条件的条刚。对上式积分可得条刚子块的显式如下。2728式中：Dx,Dy,Dxy,D1为各向异性板的弹性系数,当各向同性时有:I1～I5的5个积分式是：从上述条元刚度矩阵子块公式中可看出，不同支承条件(基本函数)的条刚元素，主要体现在基本函数的积分公式上，将不同基本函数表达式代入，求出其中不同的五个积分，即可得到不同的条元刚度矩阵。295.4用有限条法分析简支弯曲薄板

一、基本函数

由前已知，将符拉索夫振动梁函数微分方程：的通解5-2-1式，代入其边界条件：

Y(0)=Y"(0)=Y(l)=Y"(l)=0后,得简支条的基本函数为:30二、条元刚度矩阵与条元刚度方程1．条元刚度矩阵上节已导得条刚的一般形式为：上节提到，计算条刚元素时，将涉及以下五个积分：31可以证明，在简支条元中，由于基本函数的正交性，当m≠n时，上述五个积分均为0。因此，在简支条元中，非对角元子块均为零，即[S]mn=[0](m≠n)。此时，简支板的条刚可简化为：式中:(5-4-1)(5-4-2)32其中:式中，33

由于条刚不耦联，便可一个谐波一个谐波的单独计算，然后再叠加，因此，简支板是最能体现有限条法优越性的一种情况。另外，从条刚中的元素表达式可见，对应于第m个谐波的条刚，每个元素均随着谐波号发生变化，这也是与前面单元刚度矩阵的不同之处。2.条元结线力与结线位移列阵对应的结线力列阵可表示为:对应于各谐波的条元结线力，也可由条刚与结线位移的乘积获得。343.条元刚度方程

条刚[S]中的全部非对角元素(子块)为零，不仅简化了条刚，更重要的是，使得第m个谐波的结线力只与第m个谐波的结线位移有关，即总刚的非藕联性。因此，可对每个谐波所对应的结线力（位移）单独计算，然后再叠加，所以在下面的讨论中，我们可将条刚暂时理解为4×4阶的。对应于第m个谐波的条元刚度方程为：35三、总刚度矩阵及总刚方程的建立总刚的形成仍然采用前述直接刚度法，即由各结线的平衡条件建立平衡方程，其过程亦与前述大致相同，现简述如下：首先将对应第m个谐波的条刚按结线分块：(5-4-3)36条刚中的每个子块均为2×2。子块具有两重下标，内下标ij指示子块在总刚中的结线位置，外层下标指示子块对应的谐波号。按结线将其展开得:(5-4-3a)然后根据结线平衡条件，即可建立求解结线位移的平衡方程。

37例：图示简支板，将其划分成五个条元。根据结线的平衡条件有：{P2}m={F2}m①+{F2}m②

按照在杆系中的相同方法，将{F2}m①、{F2}m②用5-4-3代替，并将条元结线位移用整体位移代替后,便可得:对每条结线取平衡，均可获得一个类似的平衡方程，于是可装配成总刚，同样可由“对号入座”的方法形成总刚度方程如下：38结线上的外荷载39由式可见，只有相交于结线i的两个板条才可能对总刚矩阵i行子块有“贡献”。因此，形成总刚的某行时，只需考虑对应结线左、右条刚的子块。而与其它条元的条刚无关，由于这一特性，使得简支板总刚的带宽很小（半带宽仅为4），与板单元比较，若上例采用5×5网格，则未知数n=6×6×3=108,半带宽D=3×(7-1)=18，规模要大得多。对每一谐波求解，可得第m个谐波所对应的结线位移，重复上述过程，将1～r个谐波的位移叠加即得最后位移(内力)。由上可见，采用有限条法，不仅可大大提高计算速度，还可视谐波数r的多少，无限逼近其精确解。40四、条元内力

在工程中，板的分析通常是要求获知其内力（或应力），由条元内力矩阵：弯矩和扭矩的物理量与在板的基本理论一节中所述相同。41五、荷载等效变换

荷载的等效变换仍然采用有限元中按能量原理推导的一般公式获得。设结线i、j上对应于第m个谐波的等效结线力为:则一般公式可与为:或写成:42下面给出简支条在几种常用荷载下的公式:1.均布荷载q它比均布力作用的两端固定梁的固端力相比，多了乘子2l/mp。432.集中力44当X0=0时(在i结线上)：当X0=0,y0=l/2(中点)时：453．局部分布力式中:46六、边界条件的处理

当条元的结线边界为非自由时，必须对结线的边界约束情况加以处理，即修改总刚度方程。如上例，若为四边简支板（如图），则对应有：由此可知，可通过处理边界条件，利用简支板的条元刚度矩阵计算另两个边界为各种不同支承情况的板。如结线边界为简支、固定、自由的情况。47应特别指出，当遇非简支板条时（如两端固定）即总刚与m个谐波藕联时，则应对每个谐波均作边界约束处理，这点在编程时应特别注意。如上例的总刚方程，若非简支板而是固支板，且取前三个谐波计算，则总刚方程为:4849注意：由总刚度方程解出的结线位移只是各谐波的位移幅值，而不是结线位移，结线位移应按5-3-3计算，如：50输入原始数据形成原始刚度矩阵形成结线荷载列阵引入支承条件解方程求结线位移，并累加D=D+δm计结线内力并累加，F=F+Fm结束条刚[S]mm计等效结线力弹性矩阵[D],几何矩阵[B]m=1～r循环7.程序设计515.5简支板有限条分析程序设计

结合一个算例，介绍简支板有限条分析程序设计。条元划分图示为在第四章中分析过的四周简支方板，但能否用简支板条方法分析图示四周简支方形板？回答是肯定的。前面提到条元宜沿短边方向划分，如果是一正方形板，可沿某一边长方向划分条元。如果是对称的，也可取半结构计算，如程序中的算例，便是取上一章分析过的12m方板的例题的一半作为计算对象。如下图：52共划分成6个条元，含有7条结线。532.原始数据

条元数M=6；计算次数ZS=4；约束数YS=2；荷载集度q=1；集中力数FJ=0板长L=12m；板宽B0=6m；μ=0.3；E0=3E5；厚度t=0.3约束边界号BJ()=1,14；计算谐波号=1，3，5，7即可得原始数据文件内的输入数据如下：6,4,2,1,012,6,0.3,3E5,0.31,141,3,5,7543.计算结果m=1deflectionrotationline10.000000.03194line20.031360.03028line30.059750.02618line40.083230.02058line50.100630.01411line60.111290.00716line70.114880.0000055DeflectionofMiddle-line00.0350.0680.0930.1090.1150.1090.0930.0680.0350MxMyStrip=12.8391762.302775Strip=24.6580824.161909Strip=35.8440965.603872Strip=46.5771196.628736Strip=56.9732157.240724Strip=67.0973177.44389156DeflectionofMiddle-line57m=3deflectionrotationline10.00000-0.00059line2-0.00055-0.00048line3-0.00094-0.00031line4-0.00119-0.00018line5-0.00133-0.00010line6-0.00139-0.00004line7-0.001410.0000058DeflectionofMiddle-line00.0010.0010.000-0.001-0.001-0.0010.0000.0010.0010MxMyStrip=1.2164175.2930753Strip=2.2466782.4666353Strip=3.2417718.5670096Strip=4.2316401.6212149Strip=5.2245702.6473111Strip=6.2222065.655017159DeflectionofMiddle-line60m=5deflectionrotationline10.000000.00008line20.000060.00005line30.000100.00002line40.000110.00001line50.000110.00000line60.000120.00000line70.000120.0000061DeflectionofMiddle-line00.0000.00-0.000-0.0000.0000.000-0.000-0.0000.000MxMyStrip=15.760285E-029.216719E-02Strip=25.123232E-02.1278349Strip=34.723469E-02.141498Strip=4.0455429.146269Strip=54.494305E-02.1478104Strip=64.481358E-02.14816562m=7deflectionrotationline10.00000-0.00002line2-0.00002-0.00001line3-0.00002-0.00000line4-0.00002-0.00000line5-0.00002-0.00000line6-0.00002-0.00000line7-0.000020.000006364DeflectionofMiddle-line00.000-0.0000.0000.000-0.0000.0000.000-0.0000.0000.000MxMyStrip=12.216982E-024.090515E-02Strip=21.726382E-025.088195E-02Strip=31.641952E-025.344707E-02Strip=41.627663E-025.401566E-02Stri